导数中的零点问题

1、导数中的零点问题1 已知函数 .(I)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；(H)求函数的单调区间；(山)记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围2已知函数(I)若的图像与直线相切，求(H)若且函数的零点为 ，设函数试讨论函数的零点个数 . (为自然常数)3已知函数 .( 1)若时，讨论函数的单调性；2)若函数在区间上恰有 2 个零点，求实数的取值范围4 .已知函数(为自然对数的底数，)，在处的切线为.(1) 求函数的解析式；(2) 在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱若存在，请求出横坐标为整数 的点坐标；若不存在，请说明理由.5.已知函数fX2x2lnx aaR, a

2、 0 .(1 )讨论函数f x的单调性；(2) 若函数f x有最小值，记为g a，关于a的方程 g a a21 m有二9a6.已知函数f x x 2ax (a R ,e为自然对数的底数 ).e(I)求函数f x的极值;(H)当 a1时，若直线i : ykx 2与曲线y f x没有公共点，k的最大值7 .已知函数(为自然对数的底数)(1) 求曲线在点处的切线方程；(2) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3 )设，当函数有且只有一个零点时，求实数的取值范围8 已知函数 .( 1 )若函数有两个零点，求实数的取值范围；( 2 )若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数9 已知函数 .(I)讨

3、论的单调性;(H)是否存在实数，使得有三个相异零点若存在，求出的值；若不存在，说明理由10 已知函数 .（ 1 ）求函数的单调区间；（ 2 ）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围11 已知函数 .（ 1 ）讨论的导函数零点的个数；（ 2 ）若函数的最小值为，求的取值范围(1)证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切;(2) 若不等式有且只有两个整数解，求的范围.13 .已知函数 fxQ9ax3 bx2 3x a,bR 在点1, f 1处的切线方程为y 20 .(1)求函数 fx的解析式；(2)若经过点M 2,m可以作出曲线y f x的三条切线，求实数m的取值范围.14 已知函数 f

4、 xx22- aln x, a R处的切线方程；1.52.1.946.（ 1 ）若 f x 在 x 2 处取极值，求 f x 在点 1, f 1 （ 2）当 a 0时 ，若 f x 有唯一的零点 x0 ，求 x0 注 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.6 0, 2.1 2, 参考数据： ln2 0.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln715 已知函数f xex m xln x m 1 x ；m1f x 0,（ 1 ）若，求证：在 上单调递增；2 ）若 g x =f ' x ，试讨论 g x 零点的个数16 已知函数 f x eax ?sinx 1 ，其中 a 0

5、(I) 当 a 1 时，求曲线 y f x 在点 0， f 0 处的切线方程；(n)证明： f x在区间0,上恰有2个零点.参考答案1 .(i)；(n)当时，减区间为；当时，增区间为，减区间为；(皿).【解析】【分析】(1) 先求出函数f ( x)的定义域和导函数 f'( x)，再由两直线垂直的条件可得f '( 1)=-3，求出a的值；(2) 求出f '( x)，对a讨论，由f '( x)> 0和f '( x)v 0进行求解，即判断出函数的 单调区间；(3) 由(1)和题意求出()的解析式，求出()，由()> 0和 ()v 0g xg x g

6、 xg x进行求解， 即判断出函数的单调区间， 再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b 的范围【详解】(I)定义域，()当，单减区间为当时令，单增区间为；令，单减区间为 当时，单减区间当时，减区间为；当时，增区间为，减区间为；(m)令，令，；令，是在上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点在上有两个零点只须【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、 函数零点等基础知识， 注意求出 函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力2（ 1 ）（ 2）有两个不同的零点【解析】分析： （I）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得.（H）因，故为减函数，结合可得的零点.又是

7、分段函数，故分别讨论在上的单调性，结合 利用零点存在定理得到有两个不同的零点详解：（I）设切点，所以，故，从而又切点在函数上，所以即，故，解得， （H）若且函数的零点为，因为，为上的减函数，故当时，因为，当时，；当时，则在上单调递增，上单调递减，则,所以在上单调递减当时，所以在区间上单调递增又，且；又，所以函数在区间上存在一个零点，在区间上存在一个零点综上，有两个不同的零点点睛：处理切线问题的核心是设出切点坐标，因为它的横坐标沟通了切线的斜率和函数在该值处的导数 零点问题需要利用导数明确函数的单调性， 再结合零点存在定理才能判断函数零点的个数3（ 1 ）见解析；（ 2 ）【解析】分析： （ 1

8、）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得 函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（ 2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性， 结合零点存在定理与函数图象， 可筛选出函数在区间上恰有 2 个零点的 实数的取值范围 .详解：（ 1） 当时，此时在单调递增； 当时， 当时，恒成立，此时在单调递增； 当时，令在和上单调递增；在上单调递减； 综上：当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增； 在上单调递减；（ 2）当时，由（ 1）知，在单调递增， ，此时在区间上有一个零点，不符；当时，在单调递增； ，此时在区间上有一个零点，不符； 当时，要使在内恰有两个零点，必

9、须满足在区间上恰有两个零点时， 点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题第一个点是围绕导数的几何意义展开， ；第 二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值 （ 最值 ） 展开，设计求函数的单调区间、 极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、 化归与转化思想等数学思想方法； 第三个点是围绕导数研究不等式、 方程展开， 涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力4（ 1 ）（ 2）不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.【解析】分析： （1） 求出f （ x

10、）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=2 ,即可得到 f（ x）的解析式； （2） 令，设图象上一点， ，该处的切线 ，又过点则 过作3条不同的切线，则方程有3 个不同实根 , 进而构造，图象与轴有3 个不同交点详解：（1）, 由题意可知，即（2）,令，设图象上一点，该处的切线又过点则过作3条不同的切线，则方程关于有3个不同实根令，图象与轴有 3个不同交点（1 ）当，是单调函数，不可能有3个零点（2 ）当，或时，当时，所以在单调递减，单调递增，单调递减曲线与轴有个交点，应该满足，当，又，所以无解（3 ）当，或时，当时，在单调递减，单调递增，单调递减，应满足，当，又，无解，综上，不

11、存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、 对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零占个数八、I（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决5.( 1 )当 a 0时，fx在0,上递减，当a0时,f x在0, ' a上递减，在JT,上递增；11(2)In2 In 3m_In3 .332分a【解析】 试题分析:(1 )函数求导得f ' x2x0和a0两种情况讨论即可；ax（2）结合（1 ）中的单调性可得最值g a1Ina，即m aIn a2(a

12、0)，令F a a In a （a 0）,求导得单调性得值域即可9a试题解析：22x(1)f ' x(x0),a x当a0时，f ' x 0，知f x 在 0,上是递减的；2x.a x a'当a0时，f 'x，知fx在0).,a上是递减的，在-a ,ax上递增的x *JmV(2)由(1)知，a 0 ,fminfa1ln a ,即ga1 Ina方程22g aa1 m，即 m a In a(a0)，9a9a2 (123a13a 2令Faa lna(a0)，则 F ' a1<=A9aa9a 29a2在2知Fao, 1和-2 ,是递增的，1 ,_是递减的，

13、3333i c， l a5F a极大F 11ln3F极小F2-1In2In 33333依题意得1ln2In 3 m1 ln3 .33点睛:已知函数有零点求参数常用的方法和思路：(1 )直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.6.(1 )见解析(2) k的最大值为1.【解析】试题分析:(1 )先求导数，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，最后根据导函数符号确定极值，(2 )先将无交点转化为方程在R上没有实数解，

14、转化为xex没有实数解，再利用,1 ，即得k的取值范围是1 e,1eex数研究g xxex的取值范围，即 得,从中确定k的最大值.试题解析：(I)当a0时，f x0， f x为7当a0时，令f x0，得 exa，xx,ln a，f x0 ； xIna所以fx在,In a上单调递减，在Ina,故fx在xIna处取得极小值，且极小值为综上，当a 0时，函数f x无极小值；上的增函数，所以函数f x 无极值.Ina .f x 0.上单调递增，f Ina Ina 1，无极大值.当a 0 , f x在x Ina处取得极小值Ina，无极大值(u)当 a1 时，f xx21xe直线1 : ykx 2与曲线y

15、fx没有公共点，等价于关于x的方程kx 2x21 在R上没有实数解，即关于 x的方程:exk1x 1x *在R上没有实数解.e1当k1时，方程*可化为0 ,在R上没有实数解ex当k1时，方程*化为1xex.k1令gxxex，则有g x1 x ex令gx0，得x1 ,当x变化时，g x的变化情况如下表:x,1-11,g x-0+g xe1当x 1时，g x min，同时当X趋于+ 时，g X趋于+从而g X 的取值范围为所以当1,1时，方程*无实数解，k 1e解得k的取值范围是1 e,1综上，得k的最大值为1.7 ( 1 );( 2);( 3 )或【解析】分析：（1 ）先求切点的坐标，再利用导数

16、求切线的斜率，最后写出切线的方程.（2）先分离参数得到，再求函数的最小值，即得实数a的取值范围.（3）先令，再转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，利用导数和函数的图像分析得到a的取值范围详解：（1），所以切线的斜率.又因为，所以切线方程为，所以切线方程为.（2）由得.当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况将变形得令，所以令，解得X > 1 ；令，解得 XV 1.从而在（0,1 ）内单调递减，在（1, 2）内单调递增.所以，当x=1时，取得最小值 e-1 ,从而所求实数的取值范围是（3 ）令当时，函数无零点；当时，即令，令，则由题可知，当，或时，函数有一个函数零

17、点点睛：第（3）问的转化是一个关键，由于直接研究函数有且只有一个零点比较困难，所以过一次又一次的转化，大大提高了解题效率，优化了解题 . 所以在解答数学难题时，注意数 学转化思想的灵活运用 .8（ 1 ）（ 2） 3【解析】试题分析： （ 1 ）第（ 1）问 ，先把问题转化成的图象与的图象有两个交点，再利用 导数求出 的单调性，通过图像分析得到 a 的取值范围 .（2） 第（ 2）问，先通过函数有两个极 值点分析出函数 g（x） 的单调性，再通过图像研究得到它的零点个数 .试题解析：（ 1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点.当时，二在上单调递增；当时，二在上单调递减.又时，二时，.又时，.

18、综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点.（ 2 ）因为函数有两个极值点， 由，得有两个不同的根， （设） .由（ 1 ）知，且，且函数在，上单调递减，在上单调递增，则 .令，则，所以函数在上单调递增，故， . 又，；，所以函数恰有三个零点 .点睛：对于零点问题的处理，一般利用图像法分析解答. 先求出函数的单调性、奇偶性、周期性、端点的取值等情况，再画出函数的图像分析函数的零点的个数 . 本题第（ 2 ）问，就是 利用这种方法处理的 .9 .（I）见解析.（H）见解析.【解析】试题分析： （ I ）求出，分三种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得

19、函数的减区间；（II ）假设有三个相异零点，由（I）的讨论可知，则必有为极小值，此时极值点满足，即，还需满足，换元后只需证明即可 .试题解析：(1)由题可知当，即时，令得，易知在上单调递减，在上单调递增.当时，令得或 .当，即时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减 .(H)不存在 .理由如下：假设有三个相异零点 .由(I)的讨论，一定有且的极大值大于0，极小值小于 °.已知取得极大值和极小值时或，注意到此时恒有，则必有为极小值， 此时极值点满足，即，还需满足，又，故存在使得，即存在使得 .令，即存在满足 .令，从而在上单调递增，所以，

20、故不存在满足，与假设矛盾，从而不存在使得有三个相异零点.10 (1) 见解析 ;(2) .【解析】试题分析：(1)先求出函数f (x)的定义域和导函数f'( x)，对字母a分类讨论，由f'( x )> 0和f'( x )v 0进行求解，即判断出函数的单调区间； (2 )由(1)和题意求出g (x)的解析式，求出g (x),由g'( x) > 0和g(x)v 0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意 义列出不等式组，求出 b 的范围试题解析：( 1 )定义域为， ，当时，当时，由得，时，时，当时，的单调增区间为，无减区间，当时，的

21、减区间为，增区间为 .（ 2）当时，令，得，在区间上，令，得递增区间为，令，得递减区间为，所以是在上唯一的极小值点，也是最小值点， 所以，又因为在上有两个零点，所以只需，所以，即 .11 （1） 见解析 ;（2） .【解析】试题分析： （ 1 ）先求出，则至少存在一个零点，讨论的范围，利用导数研究函数的单 调性，结合单调性与函数图象可得结果；（ 2）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性，结合函数 图象可排除不合题意的的范围，筛选出符合题意的的范围.试题解析：（ 1 ），令，故在上单调递增，则，因此，当或时，只有一个零点；当

22、或时，有两个零点；（ 2）当时， ，则函数在处取得最小值，当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，使得，若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，又，故不符合题意 .若，则，函数在上单调递增，又，故不符合题意 .若，则，设正数，则，与函数的最小值为矛盾， 综上所述，即12 .( 1 )详见解析；(2)【解析】试题分析：(1)先设切点坐标，根据导数几何意义得切线斜率，根据切点既在切线上也在曲线上，联立方程组可得.再利用导数研究单调性，并根据零点存在定理确定零点唯一性，即得证结论，(2)先化简不等式为，再分析函数单调性及其值域，结合图形确定讨论a的取法，根据整数解个数确定a满足条件，解得的范围.试

23、题解析：(1 )设切点为，贝V，和相切，则，所以，即.令，所以单增.又因为，所以，存在唯一实数， 使得，且.所以只存在唯一实数，使成立，即存在唯一实数使得和相切.(2)令，即，所以，令，贝几由(1)可知，在上单减，在单增，且，故当时，当时，当时，因为要求整数解，所以在时，所以有无穷多整数解，舍去；当时，又，所以两个整数解为 0 , 1，即，所以，即，当时，因为在内大于或等于1,所以无整数解，舍去，综上，13. ( 1) f xx3 3x ; ( 2) 6 m 2【解析】试题分析：(1)求出函数的导函数，然后根据导数的几何意义得到关于a,b的方程组，解方程组求得 a, b后可得函数的解析式. (

24、2)设出切点 xo , yo，求导数后可得 f xo 3xo2 3，即为m切线的斜率， 然后根据斜率公式可得 3xo2 3 x33xo，即2xo3 6xo2 6 m 0 .若xo2函数有三条切线，则函数g x 2x36 x2 6 m有三个不同的零点，根据函数的极值可得所求范围.试题解析；(1)v f xax3 bx23x ,二 f x 3ax22bx3 ,f1ab 32a 1根据题意得，解得f13a2b3ob o函数的解析式为f xx33x(2)由(1)得fx3x23 .设切点为xo,yo，则yoxo33xo , fxo3x23，故切线的斜率为3xo23 ,由题意得 3xo2 3 xo3 3x

25、o m ,xo2即 2xo36xo26m o ,t过点M2,mm 2可作曲线yf x的三条切线方程2xo36 x)26 m o有三个不同的实数解，函数gx2x36x26 m有三个不同的零点.由于gx6x212x 6x x 2 ,当 xo时，gx o, g x单调递增，当0 x 2时，g x o, g x单调递减，当x 2时，g xo, g x单调递增.二当x o时， g x有极大值，且极大值为g o m 6 ；当x 2时，g x有极小值，且极小值为g 2 m 2 .函数g x有3个零点，6 m o- ,2 m o解得6 m 2 .二实数m的取值范围是6,2 .点睛：利用导数研究方程根的方法（1

26、）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求， 画出函数图象的大体形状，标明函数极（最）值的位置， 通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有直观的整体展现.（2）研究方程根的情况，也可通过分离参数的方法，转化为两函数图象公共点个数的问题 处理，解题时仍要利用数形结合求解.14.( 1) 7x y 10 0 ;( 2) 2【解析】试题分析：（1）求导，利用对应导函数为 0求出a值，再利用导数的几何意义进行通过极值的符号确定零求解；（2）求导，讨论导函数的符号变化确定函数的单调性和极值，点的位置，再利用零点存在定理进行求解试题解析:(1)因为f X

27、2x3 ax 2，所以fx216 2a 20，解得a 7 ,则7，即fx在点1, f1 处的切线方程为7 x1 ,即 7 x y 10 0 ；2aln x ,x2x3 axx22x3ax 2，贝U g x6x由 a 0, g0，可得x0,a上单调递减，在6上单调递增由于g 00，故时，g从而可知0，故gx在1,上有唯一零点，设为X1 ,在x 0, XI上单调递减，在X1,上单调递增由于f x有唯一零点 X0，故X1X0 ,且X01又 2l nx031 0X0 31“3令，可知h x在1,上单调递增h x 2ln X0 X0 311由于h 221 n21020.7100 , h 32l n329

28、0 ,7726故方程 *的唯零点 xo2,3，故xo215 .( 1 )见解析（2）当m1时，gx没有零点；m 1时，g x有一个零点；m1时，gx有两个零点.【解析】试题分析：（1） m 1时，ex 1 lnx 1 ，要证 f xx ex i xl nx , f ' x在0, + 上单调递增，只要证:f ' x 0对x 0恒成立，只需证明ex 1x （当且仅当x 1时取等号）x lnx（当且仅当 x时取等号），即可证明（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系，分m 1 m >1, m1讨论，即可判断函数g x零点的个数.试题解析：（1） m 1时，f x ex 1x

29、lnx ,f ' x e 1 lnx 1 ,i xex 1 x，贝ui 'xex11 ,当 X1 时，i ' x0 ,x1i ' x0 ix,11, +当时，故在上单调递减，在上单调递增，所以ix i 10 :,即ex 1x（当且仅当x 1时等号成立），x1令j xx 1 lnxx0 ,则j ' xx1当0x 1 时，j 'x0 ,当x 时，j ' x0，故j x在（o, 1）上单调递减,要证f x在 0, +上单调递增，只要证:令在1+ 上单调递增，所以j x时取等号），f ' x 0对x 0恒成立,j 10，即x lnx 1

30、(当且仅当 x 1f x ex 1 lnx 1 x lnx 1 f x在0? + 上单调递增.(2)由 g xex m lnx m 有 g '令g ' xo0，得m 1 , em0 （当且仅当x1时等号成立）xex m 1x0，显然g ' x 是增函数,xxo exo , mxoIn xo ,xo则 x0, X0 时，g ' x 0 , xxd ,时，g'x 0 ,g X在0, Xo上是减函数，在X0 ,上是增函数， g X有极小值，g xoIn xo2ln x)xo ,xo当m1时，xox极小值=g 1x有一个零点1时，xoxo没有零点;当m1时，xog xoeem mm m又对于函数yex