弦长公式的应用

1、弦长公式的应用若直线I与圆锥曲线相交于点A(x1, y1) , B(x2 , y2)时，则弦 AB 的长:| AB | x 1 k 2 ab | x 2Xi |1k 2 abI Y2yi I由I AB| . （x2 x1）2 （y2 y1）2和kABX一空即可导出这个公式。X2 X1本文说明它的应用。1.弦长问题动点C到A、B两点的距离之差的绝对例 1.已知点 A（ ,3，0）和B （ . 3，0）,值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长。解：设点C （X，y）,则|CA| |CB| 2，根据双曲线的定义，可知点 C的轨迹是双曲线b2由2a 2，2c |AB| 2 3

2、得 a21， b22故点c的轨迹方程是X2因为设 D(X1，2J 122得 x 4 x 60x 20，所以直线与双曲线有两个交点。yj，E（X2，y2），则1,X1 X2故 | DE |112 |x1 x2 |X2)24 x1 x22.求曲线的方程l: y 2x 2与抛物线C交于Mi、M2两点，若AM、|M!M2|、IAM2I成等比数列,求抛物线C的方程。2解：设抛物线 C: y 2px(p 0)， Mi(Xi，yi)，“2(X2，目八，显然点A在直线l上,2y2 px，得y2 x 22y px 2 p 0，所以YiY2p，y 1 y 22 p由图 i，知 Yi 4，Y24，图i又 |Mi M

3、2|2 |AMi|AM2|，即 即2i2 |Yii2 2 （ Yi4），亦即（Yi y 2 ） 24 Yi y 2Yi y24（ yi y2 ） i6，p 8 p 2 p 4 p i6 ， 解得 p 2或p 8 （舍去）故抛物线C的方程为y2 4x。例3.已知F是定点,l是定 直线，点F到直线l的距离为p(p0)，点M在直线I上滑动，动点N在MF延长线上，且满足1 FN|MN |，求动点N的轨迹方程。|mf|解：如图2所示，以点F为原点，过点F垂直于I的直线为x轴建立直角坐标系。设 N(x, y)(x 0)，则 kFN-.x由于 |MN | |MF|NF|,根据公式，得'2J T 2-

4、1 X2 (x p) 1 X2 p 1 ；2X， 化简，得 p x2 y2 x p(x 0), 平方整理，得点N的轨迹方程为2 2 2 2 2(p 1)x p y 2px p 0(x0).3.围问题2例4.过椭圆 1(2 m 5)的左焦点F且倾斜角为45。的直线I与椭圆m m 1及其准线的交点从左至右依次为C、D，记 f (m)|AB| |CD|，求 f (m)的取值围。解：由条件，知直线l:1,椭圆准线：xA( m，m 1),D(m，1).设 B(x1,%)，C(x2,y?)，其中 mx1x2m，则|AB I、2 (|CD |f (m)-112 |x1X1 m),、112 |m|CD(m)|(2m因为II AB |x 12ym2X2|、2 (mX2),II 、2|X1 x2 |.所以m1)x2 m12 mx1. 得2m 0.f (m).2 12m 12m2m110、一 222m14 . 22m练习:2 2设双曲线笃当 1（a 0，b 0）的右顶点为A，P是双曲线上的一个动点（异于a b顶点）。从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点。（1