异面直线所成角求法

1、异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补 形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处 理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空间四边形 ABCD中，AD= BO 2, E, F分别为AB CD的中点，EF=忑，求AD BC所 成角的大小.解：设BD的中点G 连接FG EG 在厶EFG中EF =典FG = EG= 1/ EGM 120°二 AD 与 BC成 60° 的角。2正 ABC的边长为a，S为 ABC所在平面外的一点，S心S吐SO a

2、，E, F分别是SC和 AB的中点求异面直线SA和EF所成角.答案：45°3. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图 S心S吐SC，且 ASA BSC= CSA= y，M N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与 BN所成的角的余弦值.证明：连结CM设Q为CM的中点，连结QN则QN/ SM / QNB是 SM与 BN所成的角或其补角连结BQ 设SO&,在厶BQN中BN= a NQ = SM=丄 a BQ =a2244 COS QN圧2 2 2BN2 NQ2 BQ22BN NQ105AB4.如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，/ BCAf90°，M N分别是Ai

3、Bi和AC的中点，若BOCA= CC,求BM与 AN所成的角.解：连接MN作NG/ BM交BC于G连接AG 易证/ GNA就是BM与 AN所成的角.贝U AG= AN= 5 , GN= BM= .6 ,.30010设：BC= CA= CG= 2,cos/GNAf 6 5 52,655. 如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F分别是BBi、CD的中点.求AE与DiF所成的 角。证明：取AB中点G连结AG FG因为F是CD的中点，所以GF£AD又 AiXAD 所以 GF£AD ,故四边形GFDAi是平行四边形，AG/DF。设AiG与AE相交于H,则/A iHA是A

4、E与DF所成的角因为 E 是 BB 的中点，所以 Rt AiAGA ABE, / GAA=/ GAH 从而 /A iHA=90 , 即直线AE与DF所成的角为直角。6. 如图i 28的正方体中，E是A D的中点(1) 图中哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线(2) 求直线BA'和CC所成的角的大小；(3) 求直线AE和CC所成的角的正切值；(4) 求直线AE和BA所成的角的余弦值解： A?平面BC，又点B和直线CC都在平面BC内，且B?CC ,直线BA与CC是异面直线同理，正方体i2条棱中的C D'、DD、DC AD B ' C所在的直线都和直线BA成异 面直线(2)

5、t CC' / BB，二BA '和BB所成的锐角就是BA和CC所成的角-/ A ' BB =45° 二 BA '和 CC 所成的角是 45° t AA ' / BB / CC，故AE和AA所成的锐角/ A ' AE是AEffiCC所成的角在Rt AA E中，tan / A AE=生=1 ,所以AE和CC所成角的正切值是-AA 22/ /取B' C 的中点F,连EF、BF，则有EF= A?B4 AB,/ ABFE是平行四边形，从而 BF= AE,即BF/ AE且BF=AE. BF与BA所成的锐角/ A' BF就是

6、AE和BA所成的角（图 1 29）设正方体各棱长为2,连A F,利用勾股定理求出 A BF的各边长分别为 A' B= 2 2 , A' F= BF= 5，由余弦定理得： cos/A BF=(疵)2(回2阳2纭2 2詔2<557. 长方体ABCABCD中，若AB=BC=3 AA=4,求异面直线BiD与BC所成角的大小。解法一：如图，过B点作BiE/ BG交CB的延长线于E点。则/DBE或其补角就是异面直线 DB与BC所成角，连结DE交AB于M DE=2DM=35 ,cos / DBE=7 34 /.Z DBE=arc cos 7'34170170A,A解法二：如图，

7、在平面DDBB中过B点作BE/ DB交DBi的延长线于E,贝UZCBE就是异面直线DB与BC所成的角，连结 GE,在ABiCE中，ZCiBiE=135，CE=3j5，cos ZCiBE=34，/ZC iBE=arc cos。170i70练习：8. 如图，PA 矩形ABCD已知PA=AB=8 BC=10求AD与PC所成角的余切值为。9.在长方体 ABCDABCD中,B和AC所成角的余弦值.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为 平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结BC交BC于0，过0点作OE/ DB,贝U/ BOE为所求的异面直线 DB与BC所成的角

8、。连结EB,由已知有 BD=34，BC=5，BE二乞？，/ cos Z BOE= 342170/Z BOE=arc cos 7 - 34A.AA.170i n / / L Di/ /-?-：pr/ 1 J /0” / "|(fD. / .'X，. / C解法如图，连DB AC交于O点，过O点作OE/ DB,过E点作EF/CB,则Z OEF或其 补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM/ DC连结 MF OF。贝U OF73，2cos Z OEF= 34，.异面直线bD与BG所成的角为arc cos 34。170170解法三：如图，连结DB交DB于O,连结DA,贝U四边形ABC

9、D为平行四边形。在平行四边形ABCD中过点O作EF/ BC交AB DC于E F,则Z DOF或其补角就是异面直线 DB与BC所成的角。在 ADF中 DF= , cos Z DOF=，/Z DOF=arc cos 7。2170170课堂练习10.在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线 AE和BD所成角的余弦值。补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图，以四边形 ABC为上底补接一个高为4的长方体ABCD-ACD,连结D2B, 贝U DB/D2B,./C iBD或其补角就是异面直线 DB与BC所成的角，连 GD,则iDQ为Rt, cos/CiBD

10、=匚卫4，二异面直线 DB与BC所成的角是arccos7空。170170课堂练习：11.求异面直线AC与BD所成的角的余弦值。在长方体ABCD-A1CD的面BC上补上一个同样大小的长方体，将AQ平移到BE则ZD 1BE或其补角就是异面直线 AC与BD所成的角，在 BDE中, BD=3, ?J宀八”丿.一一寺二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：已知平面a的一条斜线a与平面a所成的角为9 1,平面a内的一条直线b与斜线a所成的角为9,与它的射影a'所成的角为9 2。求证：cos 9 = cos 9 1 cos 9 2在平面？的斜线a上取一点 连接OB则OBL b.P,过点P分别作直线

11、c、b的垂线PO PB垂足为O B在直角 AOP中,cos在直角 ABC中,cos在直角 ABP中,cos所以 cos 1 cosAOAPABAOABAP .ABAOAOAPcos的斜线，OA是PA在 a上的射影,AB cosAPPOBi(D)A4aA*1F 2所以 cos 1 cos 2证明：设PA是aOBOA竺 AB 1已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，MPA PA OA 2A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与C®所成 的角的余弦值为(D )(A)仝4(B)手(C)A.3 b解：设BC的中点为D,连结A D, AD易知三角余弦定理，易知cos

12、cos A1AD cosAAB即为异面直线AB与CG所成的角,由AD AD 3 ,DAB.故选D4A1A AB14.如图，在立体图形P-ABCD 中，底面ABCD1 一个直角 梯形,/ BAD=90 , 旦4AD1 -+ EC3 -AE3 - DU】2AC' BDADBD? AC| |bd|bd cos而 BD BA AD4DAFAAB2 AC2 BC2 AD2 AC2 CD2AD2 BC2 AB2 CD22 22BD?ACBA AD ? ACBA? ACAD? AC- DC2ACBDA1D1 + BCj3 -瓦齐晅|因辛75q q g5如图，在正方体 ABCD-A1GD中，E、F分别

13、是 相邻两侧面BCGB及CDDC的中心。求AE和BF所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点 上。作法：连结BE,取BE中点G及AB中点H, 连GHGH 64.6226EAiB1F1) 2(1)2 (2)2 (1)2(2)21)2 2(1)2 ( 1)21 1 AB6 6|EA11 |B QEA1 B1FA.GA1HzCiD有D71CAC AD ACiDD1 AB AC NC21 AD AC AM2AM NCNC 一 一 AM NC| AM | | NC |1 - AD 21 一 11 1 3AM AB AC AB AC NC2 224

14、 4EG GF -BA 丄 CD BA CD EF BA 丄 CD ? BA 丄 CD 丄求:3333332线BD与AC所成的角的余弦值.一 1 一AB AC AD21 1 1一 1AC -2,7 EF " 1 1 AC - AB2 21 -AD AB ACACAC4 242AD ACFfEDD NFR EA G卩/ 川二J.-JB CC2 PE1-AD2M一 1AC -4(1) AG的长;技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用 i Qii1JL解：(1) | AC1 | AC1 AC1 (AA1 AC)(AA1 AC)(AA1 AB AD)(AA AB AD)| AA1

15、 |2 | AB|2 | AD |2 2AA1 AB 2AA1 AD 2 AB AD由已知得:| AA1 |2 b2,| AB|2 | AD |2 a2AA1, ABAA1, AD120 , AB, AD 901 1AA. AB b acos120ab, AA1 AD b acos120 ab, AB AD 0,1 2 2IAC1I2 2a2 b2 2ab, |AG| 2a2 b2 2ab.(2)依题意得,| AC |2a, AC Ab ADBD1ADBAAA1 AD ABACBD1(ABAD)(AA1 AD AB)ABAAiAD22AA1 AB AD AD2 AB2 AB ADab|BD1

16、|2 BD1 BD1 (AA1 AD AB)(AA1 AD AB)| AA1 |2 | AD|2 | AB |2 2AA1 AD 2 AB AD 2AA1 AB 2a2 b2|BDi| 2a b cos BDi, ACBD1 AC|BD；|AC|b、4a2 2b2 BD与AC所成角的余弦值为bJ4a2 2b2判断是非：(3) (8)(10) 正确，其余错；选择：1(C) ; 2(D) ; 3(D) ; 4(D) .5. (2)相交，(5)平行，其余异面；(6) : (D)，取 AB中点M CC中点N,连BiE和BF; (7)答案：(A)，延长BiAi至M 使AW AD,连MA取 AB中点 N.

17、 8(D) ; 9(E) ; 10(D) ; 11(C);三. 4，取AD中点E,则/ME肚90°3四. 丄，取 AC中点 F,连 EF、BF,求得 BE= AD5，BF= 1 AO 3.2 ;5 22五. L5，分别取AC BG的中点P、Q,贝U PMQ是矩形，设 CC= M3 a,贝U MP= - a;5 2 ?六. 1，取 AC中点 F,连 EF、BF,贝U EF= 4, BE= BF= 3.6异面直线所成的角-作业班级：、判断是非(下列命题中，正确的打(1)梯形的四个顶点在同一平面内； 平行于同一直线的两直线平行； 两条直线确定一个平面； 无公共点的两直线异面； 两异面直线可

18、以同时平行于一直线；(9)姓名：学号:，错误的打“X”)(2)(4)(8)(10)(12)(11)不同在一个已知平面内的两直线异面； 二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行(B)异面(C)平行或异面2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是 ()(A)异面(B)平行(C)平行或异面对边相等的四边形是平行四边形； 垂直于同一直线的两直线平行； 经过三点可以确定一个平面； 两异面直线无公共点；两异面直线可以同时垂直于一直线； 互相垂直的两条直线必可确定一平面(D)(D)不能确定平行或异面或相交3. 两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条

19、直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线(D)不同在任一平面内的两条直线4. a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是()(A)异面 (B)异面或平行(C)异面或相交(D) 相交、平行或异面5.说出正方体中各对线段的位置关系：1A和 CB;1 和 DC.(1) ABA和CC;1C 和 CB;(2)A 1C和 BD;(5)A 1B1 和 DC(3)A(6)BD葺LA+-1观6.CN所成角的余弦值是()(嗚晋(C)5(d)257.如图，ABCiABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，/ BCA=90，的中点 若BC=CA=CC则BD与AF1所成角的余弦值是()301(A)(B)-102(O亘15BC 与 AC(B)相交但不垂直8. 正方体ABCABCD中，直线(A)相交且垂直(D)异面但不垂直9. 设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出