导数及其应用整知识体系构建

1、第三章导数及其应用整章知识体系构建 理）思想、方法、技巧提炼及能力提升一. 主干知识整合1了解导数概念的某些实际背景 如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜 率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2、 熟记基本导数公式：xm（m为有理数、sinx、cosx、ex、ax、Inx logax的 导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号 ;会求一些实际问题（一般指单 峰函数 的最大值和最小值。有关导数的内容，在200

2、0年开始的新课程试卷命题时，其测试要求都是很 基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求 结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般 有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二 层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等 ;第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不 等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和 传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试卷具有更广泛的实际意义，更体 现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统

3、教材 是无法解决的。二. 常用的数学思想1. 函数与方程思想；2.导数思想；3.数形结合思想。三. 方法、技巧提炼1. 定义法:根据导数的定义，将所求问题转化为可用导数定义来解决。2. 导数几何意义法；3. 导数法求函数的单调区间<讨论函数的单调性)；4. 导数法证明不等式；5. 导数法求函数的极值、最值；6. 导数法解决实际问题四. 案例探究,内化整合例1(2006年德州市统考 > 已知函数f(x>=x3+3ax2+3(a+2>x+1既有极大值又有极小值， 则实数a的取值范围是。思路分析：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。解

4、：T f' (x>=3xn6ax+3a+6,令f' (x>=0 则 x2+2ax+a+2=0又 f(x>既有极大值又有极小值2 f' (x>=&有两解，即 =4a-4a-8>0解得av -1或a> 2。锦囊妙计：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体 现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。【举一反三】已知f(x>=x3+3ax2+3(a+2>x+1，试讨论函数y=f(x>的单调性提示：按分> O，A =O，A <0三种情况分别就 a的不同取值进行讨论。例2设函数f(

5、x>=ax3-22bx+cx+4d(a、b、c、d R>的图象关于原点对称，且x=1时，f(x>取极小值- 目。(1>求a、b、c、d的值；(2> 当 x -1,1时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论(3>若x1,x2 -1,1时，求证：|f(X1>-f(X2>| 电。【考查目的】本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。解(1> 函数f(x>图象关于原点对称，对任意实数x，都有f(-x>=- f(x>. -ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2

6、-cx-4d，即 bx2-2d=0恒成立. b=0,d=0,即f(x>=ax3+cx. f' (x>=30i+c.I x=1 时,f(x>取极小值-. f' (1>=且f(1>=-勺，即 3a+c=0且 a+c=-f .解得 a=，c=-1.(2>证明：当x -1,1时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(xi,yi>、B(X2+y2>，使得过这两点的切线互相垂直，则由f' (x>=x1，知两点处的切线斜率分别为kl=X12-1,k2=X22-1,且(X12-1>(X22-1>=-1.

7、(*>22 XI、X2 -1,1, X1 -1<0 X2 -K0- (xi2-1>(x22-1>>Q这与(*>相矛盾，故假设不成立.(3>证明： f' (x>=x1,由f' (x>=0|x=±.当x (4, -1>或<1，+X)时,f' (x>0o 当 x (-1， 1>时,f' (x0. f(x>在-1,1上是减函数，且 fmax(X>=f(-1>=勺,fmin(X>=f(1>=-勺.在-1,1上, |f(X>| < .于是 X1

8、,X2 -1,1时，f(X1>-f(X2>| 邮(X1>| + |f(X2>|wg +2 二.故X1,X2 -1,1时,|f(X1>-f(X2>| < .锦囊妙计：若X0点是y=f(x>的极值点，则f' (X0>=0,反之不一定成立； 在讨论存在性问题时常用反证法； 利用导数得到y=f(x>在-1,1上递减是解第(3>问的关键.例3已知平面向量=(,-1>.=(，| >.(1>证明丄；(2>若存在不同时为零的实数k和t，使 =+(t2-3>，=-k +t ， 丄，试求函数关系式k=f(t&g

9、t;(3>据(2>的结论，讨论关于t的方程f(t>-k=0的解的情况.【考查目的】本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方 程根的个数间的关系以及综合应用能力。解(1>.-I =X I +(-1> x | =0. 丄 .(2>v 丄，二创=0即+(t2-3> (-k +t >=0.整理后得-k 出 +t-k(t 2-3>+ (t2-3> - =0=0,=4,=1,2 2上式化为-4k+t(t -3>=0，即 k=勺 t(t -3>(3>讨论方程jt(t2-3>-k=0的解的情况，可以看作

10、曲线f(t>=t(t2-3>与直线y=k的交点个数.于是f' (t>=(t2-1>=t(t+1>(t-1>.令f ' (t>=0,解得tl=-1,t2=1.当 t变化时,f ' (t>、f(t>的变化情况如下表:t(-x-1 >-1(-1,1>1(1,+ x>f' (t>+0-0+F(t>/极大值极小值/当t=-1时，f(t>有极大值，f(t>极大值=.当t=-1时，f(t>有极小值，f(t> 极小值二月. 函数f(t>= t(t2-3>的图象

11、如图13-2- 1所示， 可观察出：(1>当k>勺或kv-时方程f(t>-k=0有且只有一解； (2>当k=或k=-时力程f(t>-k=0有两解；(3>当-v k v 3时方程f(t>-k=0有三解.锦囊妙计：导数的应用为函数的作图提供了新途径。例 4.已知函数 f(x>=ln(1+x>-x,g(x>=xlnx.(1>求函数f(x>的最大值；(2>设0v av b,证明:0v g(a>+g(b>-2g( T >v (b-a>ln2.【考查目的】本题主要考查导数的基本性质和应用，对数函数性质和平

12、均值不等式知识以及综合推 理论证的能力。解：(1>函数f(x>的定义域为(-1，+>，f' (x>=因-1.令f' (x>=0，解得 x=0.当-1 vxv0时，f' (x> >0。当 x>0时，f' (x>v 0.又f(0>=0，故当且仅当x=0时，f(x>取得最大值，最大值为0.<2)证法一：g(a>+g(b>-2g(回 >=aln a+b In b-(a+b> In 凶=al n 由 <1)结论知 In(1+x>-x<0(x>-1，且x

13、丰 0>由题设0<a<b,得综上I证法二：I.设)，则当0<x<a时，I ，因此 L 在.一 内为减函数;当x>a时， I ，因此F(x>在 一I上为增函数.从而，当x=a时，F(x>有极小值F(a>.，则当x>0时，I ，因此_L上为减函数。即_，综上，原不等式得证。【举一反三】2. <07杭州市模拟）已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的 n N*，都有 4Sn=（an+1>2（1>求数列an的通项公式；（2>若2n>tSn对于任意的n N*成立，求实数t的最大值。思 路 分 析：利用

14、Sn-Sn-i=an（ n2>易得an=2 n-1,从而Sn=n2则问<2）转化为t< 0恒成立，故只需求出数列O 的最小项，有以下求法：法一：研究数列bn的单调性。法二：数列作为一类特殊的函数，欲求自I的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得 .乂 .1 为函数4还说明了<1）证明：设LEJ，要证命题成立只需要证明关于t的方程S 的极小值也是最小值点，又<注：不能直接对求导，为什么？）锦囊妙计：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分 地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在。特别提示：例2、例3、例4充分体现了导数作为工具分析和解决

15、一些如函数性质、 方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例 一点：欲用导数，得先构造函数。例5已知双曲线A二丨 与点MV1，1），如图所示.<1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；<2）设<1）中的两切点分别为A、B，其 MAB是正三角形， 求m的值及切点坐标。【考查目的】本题考查导数的几何意义在解读几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了 和谐的勾通。 -1有两个符号相反的实根。设方程 :的两根分别为tl与t2,则由tit2=m<0，知ti, t2是符号相反的实数，且tl, t2均不等于0与 1,命题获证。V2）设 Lz

16、sJ ，由 <1）知，ti+t2=2m，tit2=m，从而，即线段AB的中点在直线 |上o又，AB与直线 I垂直故A与B关于|对称,设|,则屛2有t -2mt+m=0及夹角公式知由得由知，代入知工|锦囊妙计：求切线方程的常见方法有:1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、利用导数的几何意义。小结：深刻理解导函数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函 数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、 函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导 数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。五. 突破难

17、点，提升能力难点1导数的运算法则及基本公式应用例1求函数的导数：命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及 抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问 题转化为基本函数的导数错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出 差错技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导32(2>解: y=卩，p=ax bsin wx,尸av by v=x,y=sin 丫 =wxy' =(>' =3=3(av

18、by>'=3 f(av by' >=g(av by' >2 2=3(ax bsin wx> (a b w sin2 xw(3>解法一：设 y=f( p,尸，v=x2+1,则yx=y iV vx=f' ( v 2x=f'(二 > 叵 2x解法二：y'吒f（凹'=（凹 =f，( I > (X2+1> - (X2+1> 'f'(二 >例2利用导数求和2n 1*(1>Sn=1+2 x+3x + + nx(xm 0, N >(2>Sn=C +2C +3C

19、+ +nC ,(n N*>命题意图：培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力知识依托：通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维由求导公式(xn>' =n1,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构错解分析：本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想技巧与方法：第(1>题要分x=1和xm讨论，等式两边都求导.解：(1>当x=1时$=1+2+3+ + n=n(n+1>。当XM时，x+x2+x3+" + xn= I ,两边都是关于X的函数，求导得(X+X2+X3+xn>'=( I &

20、gt;'即 Sn=1+2x+3x2+ + nxn 1 =(2> / (1 + x>n=1+C x+C x2+C xn,两边都是关于X的可导函数，求导得n(1 + x>n 1=C +2C x+3C x2+ nC xn 1,令x=1 得，n 2n1=C +2C +3C + +nC ,即Sn=C +2C +计 nC =n 2n 1锦囊妙计1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数表示函数的平均改变量，它是的函数，而f，x0>表示一个数值，即f 'x>= L訂本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式, 即导数的定义，

21、这是顺利求导的关键.3对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导 法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意 变换的等价性，避免不必要的运算失误 4复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系难点2导数的应用问题利用导数求函数的极大(小值，求函数在连续区间a,b上的最大、最小值，或利用 求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题 变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点例 1已知 f(x

22、>=ax3+bx2+cx(a 工 0在 x=±1 时取得极值，且 f(1>= 1.(1>试求常数a、b、c的值；(2>试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面 的继续深入是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调 性与其导数关系的理解知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化这是解答本题的闪光点错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f' ( &

23、#177; 1>的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍技巧与方法：考查函数f(x>是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值解：(1>f'x>=3ax2+2bx+cx=±1是函数f(x>的极值点，x=±1 是方程 f'x>=0,即 3ax2+2bx+c=0 的两根由根与系数的关系，得又 f(1>= 1,. a+b+c= 1,由解得a= PH(2>f(x>= L x3 'I x,f' x&

24、gt;=目 X2- f = I (x 1>(x+1>当 xv 1 或 x> 1 时，f'x> > 0当一1 v xv 1 时，f' x> v 0 函数f(x>在(一8, 1>和(1,+ 8：上是增函数，在(一1, 1> 上是减函数 当x= 1时，函数取得极大值f( 1>=1, 当x=1时，函数取得极小值f(1>= 1.例2在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40km的B处，乙厂到河岸的垂足 D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂

25、的水管费用分别为每千M3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？命题意图：学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力知识依托：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题， 再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解错解分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式 技巧与方法：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则/ BD=40,AC=50 X, B