直线圆锥曲线有关向量的问题

1、精品直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点:Ax2(或 A'y2 B'y C' 0)Bx C 01 .直线与圆锥曲线的公共点的情况直线：axbyc0曲线：f(x,y)0感谢下载载(1)没有公共点方程组无解(2)一个公共点i)相交A0ii)相切A0,0(3)两个公共点A0,02 .连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：一丁|ab|:1k2xix2.;1k2yiy23 .以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题4 .几何与向量综合时可能出现的向量内容(3)给出可万十丽二百

2、，等于已知产是加2V的中点；(5)给出以下情形之一：蕊而；存在实数凡使月月;月;若存在实数区产，且比*户三L使天:三值i+/岳，等于已知4及c三点共线.(6)给出op二E+,等于已知p是正的定比分点，儿为定比，即获二a而1+义（7）给出山-砺二0，等于已知MALMB，即/工业?B是直角，给出山砺二加七0，等于已知AMB是钝角,给出拓；砺=>u，等于已知上用同是锐角。（9）在平行四边形ABCD中，给出（前4赤）.（冠-诟）=0,等于已知ABCD是菱形；（10）在平行四边形ABCD中，给出|煎+而月通一瓦i|,等于已知ABCD是矩形；（11）在AAWC中，给出点二请=无等于已知口是小的外心（

3、三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在AAEC中,给出戌+而+而=6,等于已知。是，ISC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在3从me中，给出山TON=而，等于已知口是&4方c的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（16）在h43c中，给出M5=g（荏+N日），等于已知/口是必夙:中死边的中线；Wj考怎么考主要题型：1.三点共线问题；2.公共点个数问题；3.弦长问题；4.中点问题；5.定比分点问题；6.对称问题；7.平行与垂直问题；8.角的问题。近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为(1)考查学生对平面向量知识的简单运用

4、，如向量共线、垂直、定比分点。(2)考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。特别提醒：法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。例1.过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O1 ,则点P的轨迹方程是(uuuuuruuruuu为上标原点，右bp2PA且OQ?ABA 23 23x y 1(x 0,y 0) 2C. O3 2_ 2-x 3y 1(x 0, y 0)2B-23 23x y 1(x 0, y 0) 2D. O3 2_ 2-x 3y 1(x 0,y 0)

5、2x2例2.已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率.4(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上，OB=2OA,求直线AB的方程.y2x2-32解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为a2'+-=1(a>2),y2x2,则a=4,故椭圆C2的方程为石+丁=1.(2)解法一：A,B两点的坐标分别记为(xa,yA),(xb,yB),.41 + 4k2由OB=2OA及(1)知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中，得(1+4k2)x2=4,所以xA=将丫=

6、卜*代入'+=1中，得(4+k2)x2=16,164所以xB=又由OB=2OA,得xB=4xA,4+k21616即72=石，4+k21+4k2解得k=土,故直线AB的方程为y=x或y=x.解法二：A,B两点的坐标分别记为(xa,yA),(xb,yB),.由OB=2OA及(1)知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入一+y2=1中，得(1+4k2)x2=4,4所以xA=42,由oB=2oA,1+4k21616k2得xB=yB=2,1+4k21+4k2将xB,yB代入二十=1中，得/一:=1,即4+k2=1+4k2,1641+4k2解得k

7、=土,故直线AB的方程为y=x或y=x.uuuuuu例4已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，OAOB0,点C坐标为(0,2p)(1)求证：A,B,C三点共线；uuuuuuu(2)若AM=BM(R)且OMAB22(1)证明：设A(x1，xp)，B(x2,x2p),uuuuurx2x2由OAOB0得x1x2-0,x#22p2puuurx2uurx2又QAC(x1,2px1),AB(x2x1,x22p:222x1(2P_)(x2x1)0,2p2puuuruuuAC/AB,即A,B,C三点共线。10试求点M的轨迹方程。4p2,2x1)2pR)知OM AB,垂足为M ,所以点

8、M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨uuunuuu.(2)由(i)知直线AB过定点C,又由OMAB0及AM=BM(0)。y2 i的左、右焦点.（n）设过定点m（o,2）的直线1与椭圆交于不同的两点A、B,且/AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线 l的斜率k的取值范围.迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0,yx2例6设Fi、F2分别是椭圆一4ULUTUUUUU（l）若P是该椭圆上的一个动点，求PFiPF2的最大值和最小值；解：（i）解法一：易知a2,bi,cM所以F1,F273,0，设Px,y,uuur贝UPFiUULUIPF2.3x,y,.3x,yx2因为x2,2,故当x

9、=0,即点P为椭圆短轴端点时,uurPFiuuuuPF2有最小值-2当x= 2,即点ulutuuuuP为椭圆长轴端点时，PFiPF2有最大值解法二：易知a2,bi,c73,所以Fi点,0,F273,0，设Px,yuLurPFiuuuuPF2uuurPFiuuuuPF2cosF1PF2uuuruuiuPFiPF2ULLT2PFiuuuu2uLuur2PF2RFiF2UUUUPF2、.3i2xy23（以下同解法一）(n)显然直线0不满足题设条件,可设直线1：ykx2,Axi,y2,Bx2,y2,联立y2x4kx消去y,整理得:k2工42.一一x4kx30xix24k2ik4x2k224k4k230

10、得:又00A0B900cosA0Buuu0OAuurOBuuuuuu.OAOBx1x2V1V20又Vl、22kx2k2x1x22kxiX23k2k2k28k24k2k2k2k2k20,k242故由、得自我提升1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,(-13),若点C满足OCOAOB，其中R,且=1,则点C的轨迹方程为(A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0x+2y-5=02、已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x2)iyj，b=(x2)iyj,且满足|a|+|b|=4.则点P(x,y)的轨迹是.(C)A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线5.

11、2012许昌一模设Fi、F2分别是双曲线y2x2 9 = 1的左、右焦点.若点 P在双曲线上，且PFiPF2=0,则|PFi+PF2|=()A.2/25. D 解析根据已知PF1F2是直角三角形,向量 PFi + PF2 = 2PO,根据直角三角形.一.，.厂斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.PFiPF2=0,则|PFi+PF2|=2|PO|=|FiF2|=2/106.已知A、B为抛物线x2=2py(p>0)上两点，直线AB过焦点F,A、B在准线上的射影分别为C、D,则y轴上恒存在一点K,使得KA?KF0;CF?DF0;存在实数使得ADAO;若线段AB中点P在在准线上的射影为有FT?A

12、B0。中说法正确的为2X7.已知椭圆一2uuur交点为Q,且AQ2.y1,过P(1,0)作直线uuuPB,求直线l的方程。解：直线l过P(1,0)故可设方程为y=k（x-1）,的中点与PQ的中点重合.得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0y21l,使得l与该椭圆交于A,B两点，l与y轴的uuur因为AQuuuPB，所以XAk(x1)xB-B14k2，又xP+xQ=1故4k22k212k2亚，所求的直线方程为2,2T(xo1)8.2012x2y2瑞安质检设椭圆M：a2+2=1（a>五）的右焦点为F，直线l：x=A,若OFi+2AFi=0（其中O为坐标原点）.求椭圆M的方程;（2

13、）设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N：x2+（y2）2=1的任意一条直径（E,F为直径的两个端点），求PEPF的最大值.a2解：（1）由题设知，A,a2_2，0F1（皆三，0）由OF1+2AF1=0,得a22=2Va2-2.解得a2=6.所以椭圆M的方程x2y2为6+2=1.(2)解法1:设圆N:x2+(y2)2=1的圆心为N,贝UPEPF=(NE-INP)(NFNP)=(NFNP)(NFNP)=NP2-NF2=INP2-1.x0y2-设P(x0,y0)是椭圆M上一点，则"6+5=1,所以NP2=xO+(y02)2=2(y0+1)2+12.因为yoC业,所以当yo=-1时，NP2取

14、得最大值12.所以PE酢的最大值为11.X2=X1,解法2:设点E(X1,"F(x2,y2),P(x°,y°),所以y2_y1.可得PEPF=(x1xo)(x2xo)+(y1yo)(y2yo)=(x1一xo)(一x一xo)+(y1一yo)(4一y1yo)=x2x2+y0y2+4y14yo=x2+y04yo(x2+y24y1).因为点E在圆N上，所以x2+(y1-2)2=1,即x2+y24y1=3.x2y2又因为点P在椭圆M上，所以+7=1,即x2=63y2.所以PEPF=2y04yo+9=2(yo+1)2+11.因为yo42,2J2.,所以当yo=1时，(PEPF)min=11.x9.设椭圆C:-2ayb21(ab0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF,8一的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q,且APPQ5r(1)求椭圆C的离心率；(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:xJ3y50相切，求椭圆C的方程.解：设Q(x。，0),由F(-c,0)，A(0,b)知FA(c,b),AQ(x0