直线的方向向量与平面的法向量

1、直线的方向向量与平面的法向里直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图3211 .如图321,直线l/m,在直线l上取两点A、B,在直线m上取两点C、D,向量AB与CD有怎样的关系？【提示】AB/CD.2 .如图直线1，平面&直线l/m,在直线m上取向量n,则向量n与平面a有怎样的关系？nxa直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量,一条直线的方向向量有无数个.直线1工出取直线l的方向向量a.则向量a叫做平面a的法向量.空间中平行关系的向量表示设两条不重合的直线l,m的方向向量分线线别为a=(ai)bi,ci),b=(a2)b2)C2)平行贝Ul/m?aIIb?(ai.忻，c二

2、)=k(a2,bz,C2)线面平行面面平行设l的方向向量为a=(ai,bi,ci),a的法向量为u=(a2)b2)c2),则l/a?au=0?aia2+bib2+cic2=0设&B的法向量分别为u=(ai)bi,ci),v=(a2)b2)c2),贝Uall供u/v?gi_,bi-ci)=k(a2)b2)c2)求平面的法向量图322已知ABCD是直角梯形，/ABC=90°,SAL平面ABCD,SA1=AB=BC=1,AD=5,试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向且里.(2)求平面SCD的一个法向量.【自主解答】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分

3、别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),1d(2,0,0),S(0,0,1).(1),.SAL平面ABCD,AS=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.ADLAB,AD±SA?.ADL平面SAB,-1一，一.AD=(2，0,0)是平面SAB的一个法向量.1一(2)在平面SCD中，DC=G1,0),SC=(1,1,-1).设平面SCD的法向量是n=(x,v,z),则nLDC,n±SC.nDC=0所以一得方程组nSC=0)x= - 2y；x+y=0x+yz=0.z=y)令y=1得x=2,z=1，n=(2,-1,1)

4、.1 .若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.2 .一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n=(x)y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(ai)bi,ci),b=(a2)b2)02).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组na=0)nb=0.(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.3 .在利用上述步骤求解平面的法向量时，na=0)方程组有无数多个解，只需给x,y,nb=0z中的一个变量赋于一个值)即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.正方体ABCD

5、AiBiCiDi中，E、F分别为棱AiDi、AiBi的中点，在如图323所示的空间直角坐标系中，求：图323(1)平面BDDiBi的一个法向量.(2)平面BDEF的一个法向量.【解】设正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2)(1)连AC,因为ACL平面BDDiBi,所以AC=(2,2,0)为平面BDDiBi的一个法向量.(2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2).设平面BDEF的一个法向量为n=(x,y,z).nDB=02x+2y=0(nDE=0,x+2z=0,y=-x1z=2x.令x=2得y=2

6、,z=-1.，n=(2,2,1)即为平面BDEF的一个法向且里.长方体ABCDAiBiCiDi中，E、F分别是面对角线B1D1,AiB上的点，且DiE=2EBi,BF=2FAi.求证：EF/ACi.【自主解答】如图所示，分别以DA,DC,DDi所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设DA=a,DC=b,DDi=c）则得下列各点的坐标：A(a,0,0),C(0,b,c),E(2a,2b,33c), F(a,3,23c).b, 0- FE=(-|,b,3),ACi=(a,- fE=3AC1.又FE与ACi不共线,- ,直线EF/ACi.利用向量法证明线线平行的方法与步骤:图324如图32

7、4所示，在正方体ABCDAiBiCiDi中，E、F分别为DDi和BBi的中点.求证：四边形AECiF是平行四边形.【证明】以点D为坐标原点，分别以DA,DC,DDi为正交基底建立空间直角坐标系，不妨1设正万体的棱长为1,则A(1,0,0),E(0,0,万)，1Ci(0,1,1),F(1,1,2),-AE=(-1,0,1),FC1=(1,0,2),EC1414一一一=(0,1,2),aF=(0,1,2),.aE=fC1,eC=aF,AE/FC1,EC1/AF,又.EAE,F?EC1,.AE/FC1,EC1/AF,，四边形AEC1F是平行四边形.利用空间向量证明线面平行图325如图325,在正三棱

8、柱ABCAiBiCi中，D是AC的中点,求证：ABi/平面DBCi.【自主解答】以A为坐标原点建立空间直角坐标系.设正三棱柱的底面边长为a(a>0),侧棱长为b(b>0),山由a电a则A(0,0,0),B(2a,20),Bi(2a,2,访，_aCi(0,a,b),D(0,2，0),一73a一43.ABi=(a,2,b),BD=(aQQ),DCi=(0,2,b).设平面DBCi的一个法向量为n=(x)y,z),n BD =当ax=0,n DCi = 2y+ = 0,x= 0)a不妨令y=2b)则n=(0,2b)a).由于A<Bin=abab=0)因此A<BiLn.又ABi

9、?平面DBCi,.ABi/平面DBCi.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证.方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直.在长方体ABCDAiBiCiDi中，AAi=2AB=2BC,E,F,Ei分别是棱AAi,BBi,A1B1的中点.求证：CE/平面CiEiF.【证明】以D为原点，以DA,DC,DDi所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图.设BC=1,则C(0,1,

10、0),E(1,0,1),Ci(0,1,2),1F(1,1,1),Ei(1,2,2).设平面C1E1F的法向量为n=(x,v,z),一1一.CE1=(1,2,0),FC1=(1,0,1),nCTE1=0,nFC1=0,1x=2y)即2取n=(1,2,1).x=z,.CE=(1,1,1),nCE=12+1=0,.oEln,且CE?平面C1E1F.，CE/平面CEF.向量法证明空间平行关系图326（12分）如图326,在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF/AB,EFLFB,AB=2EF,/BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.求证：FH/平面EDB.【思路点拨】先通过

11、推理证明FH工平面ABCD,建立空间直角坐标系，再设证明HF、BE、bD共面.【规范解答】.四边形ABCD是正方形,/ABXBC,又EF/AB,/EFXBC.又EFLFB,，EFL平面BFC.EFLFH,，ABLFH.2分又BF=FC,H为BC的中点，.FH±BC.FH工平面ABC.4分以H为坐标原点，HB为x轴正方向，HF为z轴正方向.建立如图所示的空间直角坐标系.设BH=1,则B(1,0,0),D(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1).6分.HF=(0,0,1),BE=(-1,1,1),BD=(2,2,0),设HF=入BE+BD=M1,1,1)+G2,2,0)=(X-

12、2以，一人一2以，？)8分 .(0,0,1)=(A2%A2内儿一21i=0 ，解得|JL=2/=11 .HF=bE2bD10分，向量hF,bE,bD共面.又HF不在平面EDB内，/HF/平面EDB.12分【思维启迪】1.建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件.2.证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全.1 .利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据

13、运算结果的几何意义来解释相关问题.2 .证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.1 .若A(1,0,1),B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)【解析】AB=(2,4,6)=2(1,2,3).【答案】A2 .下列各组向量中不平行的是()A. a=(1,2,2),b=(-2,-4,4)B. c=(1,0,0),d=(3,0,0)C. e=(2,3,0),f=(0,0,0)D. g=(2,3,5),h=(16,24,40)【解析】b=(2,4

14、,4)=2(1,2,2)=2a,.'a/b,同理：c/d,e/f.【答案】D3.设平面a内两向量a=(1,2,1),b=(1,1,2),则下列向量中是平面a的法向量的是()A.(-1,2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,1,-1)【解析】平面a的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合.【答案】B4.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线11,12的方向向量分别是a=(1,3,-1),b=(8,2,2);(2)平面鹏3的法向量分别是u=(1,3,0),v=(3,9,0);(3)直线1的方向向量，平面a的法向量分别是

15、a=(1,4,3),u=(2,0,3).【解】(1).ab=1X8+(3)x2+(1)X2=0,.,.11112.(2) .v=(-3,-9,0)=-3(1,3,0)=-3,a/3(3) .a、u不共线，.不与a平行，也不在a内.又au=7#0,J与口不垂直.故l与a斜交.一、选择题1.(2013吉林高二检测)li的方向向量为vi=(1,2,3),12的方向向量V2=(入4,6),若li/l2,则七()A.1B2C.3D.412【解析】11/12,，V1/V2,则q=4，J入=2.【答案】B2 .(2013青岛高二检测)若循=QD+旌,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.

16、在平面内D.平行或在平面内【解析】.aB=就+.aB、cD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.【答案】D3 .已知平面a内有一个点A(2,1,2),a的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中，在平面a内的是()3A.(1,1,1)B.(1,3,2)33C.(1,3,2)D.(1,3,2)1【解析】对于B,AP=(1,4,一,一1则nAP=(3,1,2)(1；4,2)=0,3/n±AP,则点P(1,3,2)在平面a内.【答案】B4.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个法向量的单位向量是()A.(1,1,1)B.C.1(

17、3,13)D.【解析】设平面ABC的法向量为n = (x,y,z),AB=(0,1,1),BC=(1,1,0),AC=(ABn=y+z=01,0,1),则BCn=-x+y=0，x=y=z,ACn=x+z=0又.单位向量的模为1,故只有B正确.【答案】B图3275.如图327,在平行六面体ABCDAiBiCiDi中，点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则()AiMIIDiP;AiMIIBiQ;AiM/平面DCCiDi;AiM/平面DiPQBi.以上正确说法的个数为()A.iB.2C.3D41一【解析】aiM=AA+aM=aA+2AB,一一一一1一一一一一DtP

18、=D1D+DP=AiA+2AB,A1M/Dtp,所以A1M/D1P,由线面平行的判定定理可知，AiM/面DCC1D1,A1M/面D1PQB1.正确.【答案】C二、填空题6.(2013泰安高二检测)已知直线l的方向，一、，一-1向量为(2,m,1),平面a的法向量为(1,2，2),且l/%则m=.【解析】Y/a,M的方向向量与a的法向量垂直，11cC.(2,m,1)(1,22)=2+2m+2=0,.m=8.【答案】87.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,5),点P(x,1,3府平面ABC内，则x=【解析】AB=(222),AC=(1,6,8),AP=(x4,2,0),由题意知A

19、、B、C、P共点共面，AP=“+pAC=(2%2N2N+(-%6%80=(-2X-%2Ark6由一2入80.2H6尸一28一4，而x4=一2811=0）尸1）2-山.x=11.【答案】118 .下列命题中，正确的是.（填序号）若m,n2分别是平面%3的一个法向量，则mIIn2?allB;若n2分别是平面%3的一个法向量，贝U？n1n2=0;若n是平面a的一个法向量，a与平面a共面）则na=0;若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.【解析】一定正确，中两平面有可能重合.【答案】三、解答题图3289 .已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点（如图328所示），并且OE=kgoF=koB,oH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面;(2)ACIIEG;(3)OG=kOC.【解】(1)由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面.(2)EG=eH+mEF=OH-OE+m(OFOE)=k(OD-OA)+km(OB-OA)=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC).AC/EG.(3)由(2)知OG=EGEO