直线平面简单几何体专题讲座

1、直线、平面、简单几何体专题讲座3一、选择题1 .已知直线1，平面a,m表示直线，0表示平面，有以下四个命题：m/aa_Lm;a_L01/0;1/m,m匚Ba_L0;假设0与1相交,则0必与a相交.上述命题中，真命题的个数是（）.A.4B.3C.2D.12 .在正三棱锥 S-ABC中，E为SA的中点,F为ABC的中心，SA=BC=2,那么异面直线EF与AB所成的角是A.60°D.30°3 ,侧面积为3n，突然一阵风吹来，圆锥倒在水平面上，现在圆锥3. 一个圆锥直立在水平面上，其底面积为的最高点离水平面的高度是（）.A.3B.4C.8D.24.点P是ABC所在平面外一点，P在A

2、BC上的射影是ABC的中心，PA与底面所成角为0,侧面PBC与底面所成的二面角为a,那么tgactg0的值为（A.2B. 3C. (1/2)D. (1/3)5.对于直线m、n和平面a、0,a±3的一个充分条件是（A.mXn,m/a,n/0B.m_Ln,aA3=m,n仁aC.m/n,n_L0,m匚aD.m/n,mXa,n_L0,那么y关于6.一棱锥被平行于底面的平面截成一小棱锥和一个棱台，假设小棱锥及棱台的体积别离为y和xx的函数的图象的大致形状为（).(如图 7-43).图7-437.假设一个长方体的全面积是22,体积是8,那么如此的长方体（A.有一个C.有无数多个D.不存在8 .球

3、与其内切等边圆柱、等边圆锥的表面积别离为msn、t,那么mn、t（）A.三数成递增等差数列B.三数成递减等差数列C.三数成等比数列D.以上结论都不对9 .一个正四棱台上、下底面的边长分别为a、b,高为h,且侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是（）.A.(1/h)=(1/a)+(1/b)B.(1/h)=1/(a+b)C. (1/a)=(1/b)+(1/h)D. (1/b)=(1/a)+(1/h)10.一间民房的屋顶有如图的三种不同的盖法：单向倾斜；双向倾斜；四向倾斜.记三种盖法屋顶面积别离为P1、P2、P3图7-44假设屋顶斜面与水平面所成的角都是A.3>P11.如图7-45OA是

4、圆锥底面中心。到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部份，那么母线与轴的夹角为（图7-45A.arccos(1/B.arccos(1/2)C.arccos(1/7-46 (1),把六12.三个12cmX12cm的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分为A、B两片(如图片粘在一个正六边形的外围(如图7-46(2),然后折成多面体(如图7-46(3),则此多面体的体积为()图7-46A.216 c648 c864 c1728 c m二、填空题13.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为也,那么那个圆锥的侧面积是 14 .在长方体AC 1中，已知极点 A上三条棱长别离是、2,若

5、是对角线AC与过点A的相邻三个面所成的角别离是a、0、y,那么cosa+cos0+cos丫=15 .如图7-47,侧棱长为2的正三棱锥v-ABC中，/AVB=/BVC=/CVA=40°.过A作截面AEF与VRVC别离交于E、F点，那么截面AEF的最小周长为图7-4716 .一个大木球放在水平的地面上，球在太阳下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处；同一时刻，一根高1米的垂直立于水平地面上的尺子的影子的长度是2米，那么球的半径为.三、解答题17 .如图7-48,已知ABC皿矩形，E是以DC为直径的半圆圆周上一点，且平面CDH平面ABCD求证：CE1平面ADE图7-4818 .如图7-

6、49,已知正四棱柱ABCD-ABCiDi中，点E在棱DiD上，截面EAC/DiB,且面EAC与底面ABCDf成的角为45°,AB=a.AB图7-49(1)求截面EAC的面积；(2)求异面直线AiBi与AC之间的距离;(3)求三棱锥BiEAC的体积.19 .一个气象探测气球以每分钟14m的垂直分速度由地面上升，通过10分钟后由观看点D测得气球在D的正东,仰角为45。；又过10分钟后测得气球在D的北偏东60。，仰角为60。.假设气球作直线运动，求风向与风速.20 .如图7-50,已知平行六面体ABCD-ABCiDi的底面ABC提菱形，且/CCB=/CiCD=/BCD=60°图7

7、-50(1)证明：ClC，BQ(2)假定CD=2,CCi=(3/2),记面CiBD为a,面CBMB,求二面角a-BD-0的平面角的余弦值;（3）当（CQZCC）的值为多少时，能使AC,平面CBD?请给出证明.专题七直线与平面参考答案及提示§1异面直线1 .C;2.C;3.C;4.C;5.45°6.60°7.mcos0;8 .证法1.假设AD与BC共平面a,A,B6a告aUaP6a,故P、A、B、C、D均在aJ受a,b,c（Za,与a、b、c不共面矛盾.AD与BC异面.证法2.;aAc=P,.a、c确信平面a.a、b、c异面，C*P,.C任且ADUa,B更AD,故B

8、C与AD异面.9 .过D作BC的平行线，过C作BD的平行线，相交于点M,则/AD汕AD与BC所成的角.设BC=2,由面面垂直的性质，有DB,平面ABC答案为arccos（飞疗口/10 .存在且有两条.设AB是a、b的公垂线段，M是AB的中点.过M作ai/a,bi/b,ai与bi确信平面a,在a上作ai与bi的交角的平分线1（有两条），1即符合要求.第10题证明：设P是1上任一点，作PQ>±a1,垂足为Q1,QiQ±a,垂足为Q.PRi±bi,垂足为R,RiR±b,垂足为R.面AMQiQ±a.PQi，aiPQi，面AMQ/PQiQ=90&#

9、176;.同理可证/PRiR=90°.PQi±aifPQi±a,又QiQ±a-a，面PQiQ-PQ±a,同理可证PR,b.RiR=BM=MA=QiQ,且PQi=PRi恒成立RtPRiRRtAPQiPR=PQ.§2二面角/4)1D;2C;3A;4B;530°或150°690°7(DE垂直平分 SC,那么 RtASACDEC,可计算8设SA=1时，AB=1,BC=SB=品;又AB±BC,故AC=、回出/SCA=30,因此/EDC=60.9 (1)-BC±PA,BC±AC,.BC,

10、平面PAC,.平面PBCL平面PACAFLPC,.AFL平面PBG即EF为AE在平面PBC内的射影.又PB±AE,PB,EF(三垂线定理的逆定理)，故/AEF邛.(2)RtAPASRtAPFAACZAF)=(PA/PF);RtAPEFRtAPCREF/BQ=(PF/PB).ctga-ctg3=(AC/BQ(EF/AF)=(ACZAF)(EF/BQ=(PA/PF)(PF/PB)=(PA/PB)=sin丫.10 (1)直角梯形ABCD的面积是M底面=(1/2)(BC+AD)-AB=(1+0.5)/2X1=(3/4),四棱锥S-ABCD的体积是1/3) X S AXM底面=(1/3)X 1

11、X ( 3/4) = ( 1/4)第10题图(2)延长BA、CD相交于点E,连结SE,那么SE是所求二面角的棱.AD/BC, BC= 2AD,E A= AB= S A,SE±SB.SAL面ABCD得面SEBL面EBCEB是交线，又BC±EB,BC，面SEB,故SB是CS在面SEB上的射影，CS±SE.所以/BSC是所求二面角的平面角.SB=、后,BC=1,BCLSB,tgZBSC=(BC/SB)=(/2)即所求二面角的正切值为（、泛/2）L /6) a.33三垂线定理1B;2D;3C;4B;5AC±BR660°,AB ±B C .8在

12、平面ABC讷，过点A作AHCD,垂足为E,连结PE.由PAX平面ABCD及三垂线定理，知PHCD,故/PEA是二面角P-CD-A的平面角.在 Rt DAE中，AD=3a, / ADE=arcsin(、行 /5),那么 AE=AD sin / ADE= (3/5)a./3)在RtAPAE中，tg/PEA=(PAXAE)=(9(1),DA1面ABE,DA，BE,又AB是直径，BEAE,DAnAE=A,BE，面DAE又AF匚面ADE,BELAF.又AFE,DEABE=E,AF,面DBE.由BD匚面DBE,得AF±BD.(2)由(V柱/Vd-abc)=(nr,2r)/(1/3)Saabe，2

13、r=3几，得Saabe=r，过E作EClLAB,垂足为O,则Saabe=(1/2)-2rOE=r2,OE=r,O为AB中点.过O作。口BD,垂足为T,连ET.二面EAB1面ABCD,EOL面ABCD.由三垂线定理知ET±BD./ETO确实是二面角ABDE的平面角.ra在RtAEOT中，OE=4,OT=OB-sin45°=("/2)r./3) .ET=(寸电/2)r,.cos/ETO=(OT/ET)=(10:PA平面ABGBC,AB,依照三垂线定理可得BC±PB,/PBA是二面角PBCA的平面角，即/PBAm.PA平面ABCPA仁平面PAC平面PACL平面

14、ABC平面PACH平面ABC=AC取AC的中点O,连BQ由已知条件可得BOLAC,BO!平面PAC作OHLPC,垂足为H,连BH,那么OH>BH在平面PAC上的射影，由三垂线定理可得PCXBH,./OHB是二面角APC-B的平面角，即/OHB=.令BA=BC=1,PA=a.OH6APAC,.-.(OH/O。=(PA/P。.1.oh=(pa-O(yp。=(/(2技+2)在RtAPAB中，tga=tg/PBA=(PA/AB)=a.在RtAOHB中，年tgB=tg/OHB=(OB/OH=Y由可得tg20=(a2+2)/a2=1+(2/a2).代入，可得tg20=1+(2/tg2a),即1+tg

15、2B=2(1+ctg2a).sec20=2csc2a,(1/cos2p)=(2/sin2a),即sina=、后cosB.§4正方体、四面体1.B;3.D;也；6.；<x（迫，（1/8）8. （1）如图甲，连结AiB,那么E为AiB的中点，连结BG,那么F为BG的中点.显然，D1E是平面AiBCD内的直线.由于 Bi。/平面Ai BCDG是平面AlBCD外的点，而B为此平面内的点，故直线BC1与平面A1BCDB,.点F为平面A BCD外一点，于是Ai F与平面 AiBCD相交，且相交，且B为交点.点F在BC上，且异于点交点ADiE,故AiF与DiE为异面直线.第8题（甲）（2）如

16、图乙，设BF的中点为G连EG那么EG/AF,且EG=（1/2）AF,那么EG与ED所成的锐角即为所求异面直线的夹角.连结 Di G 在 RtAi ED中，Di E2 =Ai D+Ai E2 =12 + (/2) 2(3/2) ,DiE=Rt A GG Di 中,GD=DiC+GC!，(3/4)=(17/8) ,EG= (1/2) AiF=/4.A ti第8题（乙）在EGD中，cosZDiEG=(DiE2+EG2-DiG2)/(2DEEG=-(1/6).故异面直线AiF与DE所成的角为-arccos(1/6)（3）如图丙，因为VA-efdi =VF aiedi ,而 SA AiEDi = (1/

17、2) Ai Di A i E= (1/2) X1X (、但 /2)=(/4)故关键是求出极点F到底面AED的距离，即到平面AiBCD的距离.易求点C到此平面的距离为（"/2）,因此F到此平面的距离为 （,故 Va 1 - EFD1 =* Al EDI=(1/3) S Al EDI (/4) = (1/3) X (/4) X ( +,泛/4)=(1/24)第8题（丙）9. （1）如图甲，连结BDAGAD.AB5± BCAB，CDAB，平面BCD平面ABDg过AB平面ABCg过ABf 平面ABDL平面BCD平面 ABCL平面BCD依照三垂线定理，得CD!AC.又CD±

18、BC,CDL平面ABC:平面ABCL平面ACD.因此有三个直二面角A-BD-C,ABC-D,D-AC-B.第9题（甲）关于（2）,第一应找出对应角，再考虑范围或余弦值.（2） ABL平面BCRAD与平面BCD所成的角/ADBw,CDL平面ABGAD与平面ABC所成的角/DAC书.由最小角定理（斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内通过斜足的直线所成的一切角中最小的角）知a</ADC因此0°<a+0</ADCf=90°过B作BE,AD,垂足为E,过B作BF±AC,垂足为F（参见图乙），可证CD!BF,AC±BF,BFL平面ACD又BHAD

19、,依照三垂线定理可得AD±EF,第9题（乙）BEF是二面角B-AD-C的平面角.cos/BEF=(EF/BE)=(AEtgB)/AEtg(90。)=tgatgB.对于第(3)问，得首先建立目标函数，再求最大值.（3） AD=a,AB=Asina,BD=Acosa,CD=Asin0.V=(1/3)Sabced-AB=(1/3)-(1/2)BC-CD-AB=(1/6)JAZM-CT”CD-AB=(a3/6)-sin0sina.G一血V2=(a，/36)(cos2a-sin20)sin20sin2a& ( a6/36) ( cos2 a - sin2 0 ) +sin2 0 +si

20、n2 a /3 3=(a6/36) - ( 1/27) ( 18/a3)此时sin2a=sin2B=cos2a-sin2p,MP2sin/5/2) a ,故截面是菱形.2a=cosa,.tg2a=(1/2)，即tga=(/2),现在a=0=arctg(10.(1)因截面AECF的四边相等，且都为(第10题又/BiAiE=/BiAiF, AiBi在截面内的射影是/EAiF的平分线AiC.故/BiAiC即为AiBi与截面所成的角.连结BiC,那么AiBi±BiC,tg/BiAiC=(BiCi/AiBi)=(、也a/a)=亚， 1ZBiAiC=arctg、行. 2)连结BG,那么BG/EF

21、,故BG的中点O到截面AiECF的距离即为点B到截面AiECF的距离. 面AiBiC上面AiECF,在面AiBiC内过。作OHLAiC,垂足为H,那么OHL平面AiECF,.OH的长为所求点B到截面AiECF的距离.RtOHCsrtAA(OH/AiBi)=(OC/AiC),即OH=(AiBi，OC/AiC)=(a，(晶/2)a/a)=(质/6) a .GF,=(1/2),Z F C B .从而/G F A与/ C F B互余.(3)取AG=(1/4)AD,连结(AG/AF)=(FB/BC)RtAGAFRtAFBC./GFA=第8题/GFC=90°,即GF，FC.设AiGi=(1/4)

22、AiDi,AiFi=AiE/FC,GiFi/GF,GiFi±AiE,连结FI,FiI为记为e.(1/2)AiBi,连结GiFi交AiE于I.FI在底面A1B1C1D1上的射影.故/FIF1为所求二面角的平面角,即所求二面角的大小为0=arctg、2 o2) ; 71cm ;§5立体几何的综合问题;3.B;5.(3aV)/(2sls8.由于煤质相同，那么一样体积的两种蜂窝煤有一样的热量.4/3) h .小表示.因此设大蜂窝煤的半径为R,高为H;小蜂窝煤的半径为r,高为h.则R=2r,H=一块大蜂窝煤的体积为tiR,fl,用V大表示；一块小蜂窝煤的体积为Tir2h,1V大=tt

23、RH=tt(2r),(4/3)h=(16/3),Ttr2h=(16/3)V小，即V大：V小=16：3.由上述数据，我们可以作出多种设计，如图所示，就是较为简单的两种炉膛设计.这两种炉膛内所放蜂窝煤的体积相同，能释放出一样的热量.但是，两种炉膛内的燃烧表面积不相同，燃烧表面积大的释放热量快，火焰猛.若不考虑蜂窝煤中间的小孔，其燃烧的表面积应该是两端底面积(煤球之间重叠不计)，加上各个侧面之和，所以S大=2TtR2+3X27tRH=2Tt(2r)2+3X2jtX2rX(4/3)h=8jtr2+16tirh,S小=2，4Ttr+4'4'2tirh=8Ttr2+32ttrh,S小S大=

24、16;trh>0.因此，小蜂窝煤在同样的体积下，燃烧的表面积大，释放热量快，即火旺些，用煤多；而用大蜂窝煤的炉灶火小些，节省煤.9.(略)10. (1)AiAL底面ABC,AiA±BC.又BC±AC,BC,平面ACA.又BC匚平面BCR.平面ACA，平面BCB.(2)易知/BAC为二面角B-AAiC的平面角.设/BAC=6,圆柱的底面半径为R,那么VAI-ABC=(1/3)SaABC,A1A=(1/3)-(1/2)AB-ACsin0-AiA=(1/3)-(1/2)-2Rt-2Rcos8sin0-A】A=(1/3)Rt2sin20-AiA, 圆柱=tiR2AiA.由题设得(1/3)R2sin20-AiA/：tiR2AiA.=(1/2E/Dti). sin20=(、后/2)，故0=30°或60°.(3)作AD)±AC,垂足为D;再作DUAB,垂足为E.连结AE,易证/AE