直线参数方程t的几何意义

1、利用直线参数方程t的几何意义1、直线参数方程的标准式(1M点Po(Xo,yo),倾斜角为Q的直线l的参数方程是X =X0 +tc osy = y0 +t s i n(t为参数)t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量,P(x ,y)PoP=tIPoPI=t为直线上任意一点.(2港Pl、P2是直线上两点，所对应的参数分别为tl、t2,则PlP2=t2!tlIP1P2I=It2t1I(3)若Pi、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为tl、t2、t3则P1P2中点P3的参数为t3=t1*JP0P3I=的上22(4盾Po为P1P2的中点，则t1+t2=0,t1t2<02、直线参数方程的一般

2、式过点Po(xo,y°),斜率为k=b的直线的参数方程是ax=xo+aty=yo+bt(t为参数)点击直线参数方程一、直线的参数方程问题1:(直线由点和方向确定)求经过点Po(xo,y°),倾斜角为«的直线l的参数方程.设点P(x,y)是直线l上任意一点，(规定向上的方向为直线L的正方向)过点P作y轴的平行线，过Po作x轴的平行线，两条直线相交于Q点.一1)当PP与直线l同方向或P。和P重合时，P0P=|P°P|则P0Q=P°Pco2QP=PoPsina2)当PP与直线l反方向时，PoP、PoQ、QP同时改变符号PoP=一|PoP|PoQ=Po

3、Pco中QP=PoPsint仍成立设PoP=t,t为参数，又.PoQxxo,xx0tcos"QP=y-y0二y-yo=tsin«rx=x-+tcosot即10,是所求的直线l的参数方程yyy0+tsinaPoP=t,t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点Po(xo,yo)到点P(x,y)的有向线段的数量,且|PoP|=|t|当t>0时，点P在点Po的上方；当t=0时，点P与点Po重合；当t<0时，点P在点P0的下方;特别地，若直线l的倾斜角口 =0时,直线l的参数方程为4 yx = X0 ty 二 y。当t>0时，点P在点P0的右侧;当t=0时，点

4、P与点P0重合；当t<0时，点P在点P0的左侧;PoP(x,y)问题2:直线l上的点与对应的参数t是不是一对应关系？我们把直线l看作是实数轴，以直线l向上的方向为正方向，以定点 为原点，以原坐标系的单位长为单位长,Po问题3:这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了 一一对应关系.Pl、P2为直线l上两点所对应的参数分别为tl、 则 PlP2=? , I P1P2 I =?l /Po0问题4:P2= P1P0+ P0P2= tl+ t2= t2 tl ,I P1P2 I = I t2-tl I:若P0为直线l上两点Pi、P2的中点，Pi、P2所对应的 参数分别为3 t2 ,则ti、t2之间

5、有何关系？ 根据直线l参数方程t的几何意义， PlP=tl, P2P=t2, ”0 为直线 l上两点 Pi、P2 的中点， | PlP| =| P2P|PlP= P2P,即 ti= t2, tit2<0一般地，若Pi、P2、P3是直线l上的点，所对应的参数分别为ti、t2、t3, P3为Pi、P2的中点则t3= 92 (= RP3= P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义, 2 PlP3= t3 tl, P2P3= t3 t2, t3 tl= (t3 t2,)性质一：A、B两点之间的距离为| AB |=| ti-t2 | ,特别地，A、B两点到M 0的距离分别为 |tl|,|t2|.性

6、质二：A、B两点的中点所对应的参数为 k广域，若M0是线段AB的中点，则2tl+t2 = 0,反之亦然。在解题时若能运用参数 t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。 应用一：求距离22例1、直线l过点P0(4,0),倾斜角为 一，且与圆x2 +y2 =7相交于A、B两点。6(1)求弦长AB.(2)求P0A和P0B的长。TT解：因为直线l过点P0(M,0),倾斜角为所以直线l的参数方程为6x=-4+tcos土x=4+t。6,即42,(t为参数)，代入圆方程，得c.n1y=0+tsiny=-t/61y2(Y+3t)2+(-t)2=7,整理得t24疝+9=022(1)设A、B所对应的参数分别为ti,

7、t2,所以ti+t2=4j3,tit2=9,所以|AB|=|t1-t2|=(t1t2)24t1t2=23.(2)解方程t24、/3r+9=0得，t1=3j3,t2=J3,所以P0A=|t1|=3/'3,P0B=|t2|=V3.应用二：求点的坐标例2、直线l过点P°(2,4),倾斜角为一，求出直线l上与点P0(2,4)相距为4的点的坐6标。解：因为直线l过点P0(2,4),倾斜角为一，所以直线l的参数方程为6“33<3x=2+tcosx=2+t66,即2,(t为参数)，(1).二1y=4tsiny=4t6/2设直线l上与已知点P。(2,4)相距为4的点为M点，且M点对应的

8、参数为t,则|P0M|=|t|=4,所以t=±4,将t的值代入(1)式，当t=4时，M点的坐标为(2+2)3,6);当t=4时，M点的坐标为(223,2),综上，所求M点的坐标为(2+2<3,6)或(2243,2).点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。2y = 2x相交于A、B两点，求线段应用三：解决有关弦的中点问题例3、过点P0(1,0),倾斜角为二的直线l和抛物线4AB的中点M点的坐标。l的参数方程为解：直线l过点P0(1,0),倾斜角为,所以直线4f'2x=1+t巴2yp,(t为参数)，因为直线l和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中,L22+L1得：(1)2=2(1+t),整理得t2222一一一2-22t-2=0,:=(-.2)2,1-4x-x(-2)=6>0,设这个二次方程的两个根为3工,由韦达定