直线和圆锥曲线的交点及弦长

1、直线和圆锥曲线的位置关系厂V"例32.AB为过椭圆>+=1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右核心，那么AFB的面积crlr最大值是()(A)Z?2(B)ab(C)ac(D)bc五、圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情形：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组，通过消元取得一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件别离是>()、=0、A<0.直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率加直线与圆锥曲线的两个交点坐标别离为4%/).8(占,乃

2、),那么它的弦长IA闿=J1+笳忖一|="+3)(+?)2_4内£=+?N必I注:实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技术罢了(因为y-y2=k(xx-Xj),运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是，那么|A却=旧一对.注：1.圆锥曲线，一要重视概念，这是学好圆锥曲线最重要的思想方式，二要数形结合,既熟练把握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2 .当涉及到弦的中点时，通常有两种处置方式：一是韦达定理：二是点差法.3 .圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径试探:一是成立函数，用求值域的方式求范围：二是成立不等式，通过解不等式求范闱

3、。例32.AB为过椭圆二+二=1中心的弦，F（c,0）为椭圆的右核心，那么的面积crb一最大值是（）（A）b?（B）砧（C）uc（D）机，例33假设直线，=履+2与双曲线V一丁=6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是（）（A）（孚.半）（8）（0.半）（C）（一半.0）（0）（一半一）例34.假设双曲线X2右支上一点P（a,b）到直线y=x的跄离为&，那么”+/?的值是（）.（A）-，（B）-（C）_1或,（D）2或一22222例35抛物线产/上的点到直线2a-y=4的距离最近的点的坐标是()1139(A)(-,-)(B)(1J)(0(-,-)(D)(2,4)例36抛物线.V2=4

4、x截直线)，=2x+Z所得弦长为3石，那么k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例37若是直线y=k(x-l)与双曲线/一/=4没有交点，那么女的取值范围是.例38已知抛物线y=2/上两点43，以），8。2,乃）关于直线）'=x+"i对称，且X/）=一!，那么小的值为-2四、求点的轨迹问题例25.B例26.D例27.C例28.A例29.B例30.%+16尸0（椭圆内部份）例31.y2=-Sx五、圆锥曲线综合问题例32解析：S*以=2S4",.当点A位于短轴极点处面积最大.答案：D例33.D例34.B例35.B数形结合估算出D例36D；rI261273例或女

5、33例38,2例39解：设A8：y=-Lx+,明代入双曲线方程得11F+4加tYG2+i）=o,2那个地址/=（4加2-4X11-4（wr+/）J=/6（2/+）>o恒成立，4m设AG/J7）,B&2方2），A8的中点为A/（必g），则X+肛=一丁，：2m112mx（）=>yo=-x（）+m=,11211若A、B关于直线v=2x对称，那么M必在直线y=2x上，:工竺=-±"得m=1，由双曲线的对称性知，直线与双曲线的交点的A、B必11112关于直线y=2x对称.2191存在A、B且求得A（三，三，）vnviivnvii例39双曲线3f-«=l上

6、是不是存在关于直线产2x对称的两点A、B?假设存在，试求出A、B两点的坐标：假设不存在，说明理由.1.圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C：f（x,丫）=0与直线1：丫=1+1）相交于八（西，），|）、8（不，乃）两点，那么弦长|AB|为:（1）心=+Y氏F=Jl+k>J（勺+町立-4町幺2或|AB|=J1+J|力-y2|=l+p-*/仇+七>-4yM（2）假设弦AB过圆锥曲线的核心F,那么可用焦半径求弦长，AB=|AF+;BF|.例1过抛物线），=-1/的核心作倾斜角为。的直线/与抛物线交于A、B两点，旦|AB=8,分析一：由弦长公式易解.解答为：抛物线方程为x2=-4y,核心为(0,

7、-1).设直线1的方程为y-(-l)=k(x-0),即y=kx-l.将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0.Axl+x2=-4,xl+x2=-4k.由IAB=8得：8=Jl+%2J(一44丫一4x1x(4)，k=±l又有ianar=±l得：=巳或。=些.44分析二:利用焦半径关系.=一月+g怛日=一为+§二.AB=-(y1+y2)+p-(kx1-1)+(kx2-l)+p=k(xi+x£)+2+p.由上述解法易求得结果，可由同窗们自己试试完成.2.与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题在解析几何中求最值，关键是成立所求量关于自变量的函数关系，再利用代

8、数方式求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标G,y)的取值范围.例2已知/+4(y1)2=4,求：x2+y2的最大值与最小值；(2)x+y的最大值与最小值.解一：将X2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y=-3(7-1)2+y.由点(x,y)知足V+4(y-1)2=4知：4(y-1)24即y-l|Wl，0WyW2.,.当y=g时,.+力皿=,当y=0时,(x2+y2)min=0.解二：分析：显然采纳中方式行不通.若是令"x+y,那么将此代入Y+4(yT)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值.令x+y=u,那么有x=u-y,代入/+4