2018-2019学年浙江省湖州市高二下学期期末数学试题(解析版)

1、第1页共 19 页2018-2019 学年浙江省湖州市高二下学期期末数学试题一、单选题1.设集合A x R |0 x 2,B x R|x| 1，则AI B()A .(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.( 1,2)【答案】A【解析】先由不等式|x 1得出集合B，再由交集的运算即可求出结果 【详解】由x 1得1 x 1，即B x R| x 1 x R| 1 x 1, 所以A B x R10 x 1.故选 A【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记定义即可，属于基础题型12i2已知复数z满足z(i为虚数单位)，则|z|().1A . 1B. 2C. 3D .5【答案】D【解析】 根据复数的基本运算

2、法则进行化简，然后求模即可.【详解】缺1 2i (1 2i)i厂.2、o.解：z2(i 2i )2 i ,ii|z5,故选：D.【点睛】本题主要考查复数模长的计算，属于基础题.3.已知曲线f x x ax? 2在点1, f 1处切线的倾斜角为，则a等于4()A .2B.-2C .3D .-1【答案】A2【解析】因为f X 3x 2ax，所以f 13 2a，由已知得3 2a 1，解得第2页共 19 页a 2，故选 A.是( )【答案】C中全部为正品的取法，分析可得答案.【详解】 解：根据题意，用间接法分析:从 90 件产品中任取 3 件，有 c9o种取法，其中没有次品，即全部为正品的取法有 取法

3、,则至少有一件是次品的取法有c90c；5种;故选：C.【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题.【答案】【详解】解：只有一个极大值点x2.Q当 x x X2时，f (x)0,4.若 90 件产品中有5 件次品，现从中任取3 件产品，则至少有一件是次品的取法种数A .C5C85B.C5C89C .C90C85D .C90C85【解析】 根据题意，用间接法分析：先计算从90 件产品中任取 3 件的取法，再排除其C85种C .函数f (x)有 3 个极大值,2 个极小值D .函数f (x)有 4 个极大值,3 个极小值【解利用函数取得极大值的充分条件即可得出.f

4、(x)有 2 个极大值,3 个极小值B .函数f (x)的图象如图所示，则(【点睛】第 3 页共 19 页当X2x X3时，f (x)0 当 X3X X4时，f (x)0, X4X X5时，f (x)0, X5X 时，f (x)0,且 f(xj0 , f(X2)0 , f (X3)0, f(X4) 0 , f(X5) 0,函数 f (X)在XX2, xX4处取得极大值.XXi,XX3, X X5处取得极小值.故选：B.4*本题考查极值点与导数的关系，熟练掌握函数取得极大值的充分条件是解题的关键，属于基础题.6 .把函数y sinx(x R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图6【答

5、案】A【解析】先根据左加右减的性质进行平移,1为原来的丄倍，得到答案.2【详解】解：向左平移个单位，即以x代x，得到函数y sin(x ),666 1再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，即以一x代X，得到函数:象上所2 倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是A .ysinX26C .ysinX26By sin 2x 3Dy sin 2x 3再根据横坐标伸长到原来的2 倍时w的值变【点第4页共 19 页21y sin x 26故选：A.【点睛】第 3 页共 19 页本题主要考查三角函数的变换，属于基础题.117 用数学归纳法证明-n 1 n 2边需添加的项是()11 1A 3k

6、1 3k 2 3k 311C 3k 3 k 1【答案】Bk 1项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的8有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（）11244【解析】先排与老师相邻的：C；C3A；18，再排剩下的：A，所以共有18A；432种排法种数，选 D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法:（1）元素相邻的排列问题一一捆邦法”；（2）元素相间的排列问题一一“插空法”；（3）元素“除序法”；（4）带有 含”与不含”至多”至少”的排列组合问题一一间接法.9VABC中，C 90,M

7、是BC的中点，若sin BAM1，则sin BAC3( ).15时，从n k到n k 1，不等式左3n 61 1 2B 3k 1 3k 2 3k 31D 3k 3k,n k 1时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果详解：n k时，左边为111k1 k 23k,1n k 1时，左边为k11 11 12k 33k3k 13k 2 3k 3,所以左边需添加的项是111 11 13k 1 3k 23k 3 k 13k 1 3k 223k 3， 选点睛：研究n k到nA 144【答案】DB. 216C 288D 432有顺序限制的排列问题【解析】分析：分析nB.第6页共 19 页1A -2B CD .

8、卫3333【答案】D第7页共 19 页2c【解析】 作出图象，设出未知量，在ABM中，由正弦定理可得sin AMB，进a而可得 cos2c，在 RT ACM 中，还可得cos3a【详解】，建立等式后可得a ,2b，再由勾股定理可得c 3b，即可得出结论.解：如图，设AC b,ABc,CMMB在ABM中,由正弦定理可得sin BAMsin AMB代入数据解得sinAMB2c3I故 coscos(2AMC)sinsin AMB 冬3a 而在 RT ACM 中，cosACAMb2cQ2b2AMB)化简可得 a42 24a b422 24b (a 2b )0,解之可得a .2b，再由勾股定理可得a2b

9、2c2，联立可得c .3b,bX。第8页共 19 页本题考查正弦定理的应用， 涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属于中档题.第9页共 19 页y 4eln x1生xXi，整理得y%x 4e 4eln x1,%4x0所以4e2x。22，整理得x0214e 4elnx1e2ex022eln x012x 2el nx1，则g x2x02ex2 x.exX0在0e上单调递减，在10 .若存在实数a,b，使不等式4elnx ax b 2x22对一切正数x都成立(其 中 e 为自然对数的底数)，则实数a的最小值是().A .2eB. 4C.eD . 2【答案】B_2【解析】分别画出 f(x) 4e

10、lnx 和 g(x) 2x 2 的图象，依题意存在实数a,b，使不等式4eIn xaxb 2x22对一切正数x都成立，要求参数a的最小值，临界条件 即为直线2 2I:y ax b恰为函数 f(x) 4elnx 和 g(x) 2x 2 的公切线， 设函数 g(x) 2x 2 上 的切点A x0,y0， 则a 4xo，即转化为求 人，设函数 f (x) 4el nx 的切点为B为， , 表示出切线方程，即可得到方程组，整理得到X。22elnxo1 0，令2g xoxo2elnx。1，求出令x即可得解；【详解】解：分别画出 f (x) 4elnx 和 g(x) 2x22 的图象，依题意存在实数a,b

11、，使不等式4el nx ax b 2x22对一切正数x都成立，要求参数a的最小值，临界条件即为 直线l:y ax b恰为函数 f(x) 4elnx 和 g(x) 2x 2 的公切线，设函数 g(x) 2x 2 上 的切点A x0,y0,Xo0,g (x) 4x，所以a 4x。,22所以切线方程为y2x)24xxx,整理得y4xx2x2,同时直线I也是函数 f (x) 4elnx 的切线，设切点为B Xi,yi，所以切线方程为X。第10页共 19 页e,上单调递增，故gX0 ming P10, 显然g 1 0,故当 X)1 时a 4xo4取得最小值，即实数a的最小值为 4,【点睛】 本题考查利用

12、导数分析恒成立问题，两曲线的公切线问题，属于中档题.二、填空题6 2 611.已知多项式(1 2x) a。aiX a?x . aeX，则a。 _ ,a3 _ .【答案】11601 /第11页共 19 页【解析】由二项式定理及用赋值法求展开式项的系数得：令X 0得：a。(1 2 0)61 ,(1 2x)6展开式含 x3的项为 C；( 2x)3160，即 a3160，得解.【详解】解：因为(1 2x)6aa1X a?x2. a6X6,令x 0得:第12页共 19 页ao (12 0)61 ,多项式(1 2x)6展开式含 x3的项为 C6( 2x)3160 ,即 a3160 ,故答案为：1;160.

13、【点睛】本题考查了二项式定理及用赋值法求展开式项的系数，属于中档题.12 已知an是等差数列，公差d不为零.若a2,a3,a?成等比数列，且2印a?1,贝 H a1 _, d _ 2【答案】-,13【解析】根据题意列出关于 印、d的方程组，即可解出这两个量的值【详解】2由题可得，(印2d)d)(a16d)，故有3q2d0,2又因为2厲a?1，即3a1d 1,所以d 1,a1.3【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题13 在厶 ABC 中，内角 A , B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知A,b4的面

14、积为13，则 c=2【答案】1、3cosB即可【详解】由题,Sbc si nA22，则c 1-52贝V a2b2c22bc cos A.63223乎4,即a 2,6 , ABC【解析】 先利用三角形面积公式可得1, 3 ,再利用余弦定理求得a2，进而求得第13页共 19 页实数 a _ , b _.21【答案】丄33【解析】 分别令x 0，令 x b 解方程组可得解.【详解】解：因为函数f(x)3x2x又 fx f a(xb)(xa)2,令x0得：f 0f aba22a3a又a0,所以b a 1,令 xb 得：f bf a0,所以32a a32b b0, 联立得：23a 5a 20,2a -3

15、a 1解得：3或1b 0b3经检验得 a 1,b 0不合题意,21即a,b33所以cos B2 2 , 2a c b2ac2 2221,3花2 213因为B0,，所以B3，故答案为:(1)1迈(2)3【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查利用余弦定理求角14 设函数f(X)x3x2.已知a 0,且f (x)f(a) (x b)(x a)2(x R)，则第14页共 19 页2 1故答案为：-,丄.33【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用及解方程组，属于中档题.15 已知 4 张卡片上分别写有数字1, 2, 3, 4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数

16、的概率为 _ 【答案】3【解析】 解：从 4 张卡片中任意抽取两张，则所有的情况有得cos取得最小值，即可求得的最大值，得到结果【详解】r rr r因为两非零向量a, b满足V2,a b 1,设向量a,b夹角为， 由于非零向量a,b以及；b 构成一个三角形，设b x,x 3，当且仅当x 3时，cos取得最小值E,F T2所以的最大值是-，故答案是.【点睛】该题考查的是有关向量夹角的大小问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理,基本不等式，注意当什么情况下取得最值， 再者就是需要明确角取最大值的时候其余弦 值最小.4 =石种，那么取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数，说明奇数=奇数+偶数，

17、故有，因此利用古典概型可2知概率为316 已知两不共线的非零向量a，v满足a 2,1,则向量a与v夹角的最大值是【答案】【解析】设向量a, b夹角为,由余弦定理求得cosx234x再利用基本不等式求则由余弦定理可得1x24x cos,解得x23cos -4x第15页共 19 页17 .若函数f(x) x(l nx 1) ax b(a,b R)在1,e存在零点(其中 e 为自然对数的底数)，则a22b的最小值是 _【答案】e2b【解析】依题意可得方程lnx - a 1，在1,e上存在解，要使a22b取得最小值，xb则 bo,令g x lnx，利用导数研究函数的单调性，对b分类讨论，分别求出xa2

18、2b的最小值，即可得解，【详解】解：依题意f(x) x(l nx 1) ax b(a,b R)在1,e存在零点，即方程bx(l nx 1) ax b 0在1,e存在解，即lnx - a 1，在1,e存在解，要使a22bx取得最小值，则 b0，令g x lnxb，贝U g x -，xx x x1 b x bb当b 1时，g x220在1,e上恒成立，即g x ln x在xxa 1xg e，即b a1 1- ex1,e上单调递增，所以g 11 bba-,e所以a22b2b2;当1be即e b 1时，当1xb时，gx 0,当b xe时，g x0,即g x在1,b上单调递减，在b, e上单调递增，所以

19、gxmingbInb 1，g 1b,g e1 - e所以lnb1a 1 maxb,1- eln b amaxb,1- e12所以a2bln2b 2b,令tlnb，则bet,t2t2et所以t 2 tte0,第16页共 19 页所以t在0,1上单调递减, 所以2a 2btmax02当be时，贝91 g x -x_b2xx2xb0在1,e上恒成立， 即gxib *ln x在x第17页共 19 页1,e上单调递减,题.三、解答题3218 .已知函数f(x) x 3ax x在x 1处取到极值(1)求实数a的值，并求出函数 f(x)的单调区间；(2)求函数 f(x)在1,2上的最大值与最小值及相应的x的

20、值.111【答案】(1) a ,函数 f (x)在,1单调递减，在，和(1,333增(2)f (x)max2，此时x 2;f (x)min1，此时X 1【解析】(1)先求导，再根据导数和函数的极值的关系即可求出,(2)根据导数和函数的最值得关系即可求出.【详解】解: (1 )由条件得f (x)3x26ax 1,又 f (x)在x1处取到极值，故f (1) 2 6a 0,解得1 a.a22bb2-2e2b丄b2e2be2e4e2$b e2 2e2综上可得2b的最小值为故答案为:【点本题考查函数考查分析问题解决问题的能力及数形结合思想,属于难)上单调递第18页共 19 页3此时f (x)3x22x

21、 1(3x 1)(x1)10，12第19页共 19 页11由f (x)0，解得 x -或x 1，由f(X)0，解得x 1,311因此，函数 f(x)在-，1单调递减，在，和(1,)上单调递增-(2)由(1)可知函数 f (x)在1,1单调递增，在-递增此时x 2;f (x)minmin f( 1), f (1)1此时x 1.【点睛】 本题考查了函数的单调性、极值问题，最值问题，考查转化思想，属于中档题.19 .一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等,已知从盒子里一次随机取出11 个球，取到的球是红球的概率为，从盒子里一次随机取3出 2 个球，取到的球至少有101

22、个是白球的概率为一.11(1)求m,n的值；(2)若一次从盒子里随机取出个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率42【答案】(1)m 4, n 8 (2)55【解析】(1)设该盒子里有红球m个，白球n个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m,n.(2) 一次从盒子里任取 个球，取到的白球个数不少于红球个数 ”分为一次从盒子 里任取个球，取到的白球个数为 个”和一次从盒子里任取 个球，取到的白球个数 为 2 个，红球数为 1 个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率.【详解】(1)设该盒子里有红球m个，白球n个根据题意得11解方程组得m 4, n 8, 故红球有 4

23、 个，白球有 8 个.1,1单调递减，在(1,2)单调-故f (x)maxmax1-,f(2) 2,解:第20页共 19 页(2)设 一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A.设一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数为2 个，红球个数为 1 个”为事件C，则故P(A) P(B) P(C)55因此，从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为【点睛】 本题考查实数值、概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、互斥事件概率 加法公式等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，属于中档题.20 .如图，在矩形 ABC 中，AB 3,AD 6, E 在线

24、段 AD 上，DE 2，现沿 BE(2)若A在平面 BCDE 上的射影 0 在直线 BC 上，求直线AC与平面ABE所成角的正弦值【答案】(1)见解析(2)色卫16【解析】(1)取CM 2BM，再根据平几知识证FM /A B, DM /BE，最后根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理及其性质得结果；(2)建立空间直角坐标系，利用向量数量积求出平面ABE法向量，根据向量夹角公式求夹角，最后根据向量夹角与线面角关系得结果【详解】设一次从盒子里任取 3 个球，取到的白球个数为3 个”为事件B，则P(B)C121455P(C)CsC3122855，4255第21页共 19 页D(1)平面ABE，AB

25、FM /A B, Q FM因为BMBC32 DE, BM /DEDM /BE,Q DM平面ABE，BEFM平面(2)取CM 2BM,因为CF 2FA，所以平面ABE，所以FM /平面ABE，四边形BMDE为平行四边形，即平面A BE，所以DM /平面ABE，因为I DM M , FM , DM平面FDM，所以平面FDM /平面ABE，因为DFFDM，所以FD平面A BE以 O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设t,3,0), A(0,0, m)(m0），因为|AB| 3,| AE| 4 t2m29,(4设平面ABE法向量为 n(x,y,z),r uur则nBEr uuur0,n BA0

26、,即n (4,3,0)0,n0,tt)299,m43.74即4x 3y0,3x 7z 0,令x 14313,z?,n(1,uuu因为AC，所以COS15门G。,r uuun, A C15 9443 2163丁73、1416因此直线AC与平面ABE所成角的正弦值为【点睛】33不16本题考查线面平行判定定理以及利用空间向量求线面角，考查综合分析论证与求解能第22页共 19 页第23页共 19 页力，属中档题221.已知A X1,1,B X2,y2为抛物线y 16x上的相异两点，且 捲x?8.(1) 若直线AB过M (2,0)，求AB的值；(2) 若直线AB的垂直平分线交x轴与点p，求PAB面积的最

27、大值.【答案】(1)4.15( 2)256 69【解析】(1)设直线AB的方程为ty x m，联立抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，计算可得所求值；(2)设线段AB的中点为 M(x。，yo)，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，以及直 线方程，可得p的坐标，设出直线AB的方程代入抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离 公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最大值.【详解】解：(1 )当垂直于x轴或斜率为零时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为ty x m,2 2代入方程y 16x，得y 16ty 16m0(16t)24 16m0故y1y216tyiy21

28、6m2 2 2x x%y2y w 2*%8X28?16 1621结合m 2解得t.4因此，|AB|助t2|y y2J1 t2J(16t)24 16m 45.(2)设线段AB的中点为 M (Xo, yo),第24页共 19 页由题意知x 12,y o是的一个解,且点P坐标为(12,0).即 x 卷(y yo) 4 ,84(64 yo2)(64 yo2),点P(12,o)到线段AB的距离h |PM I . (12一4)L(。一yo)2,64一yo2,g 1 1，- -1 1 一 64 %264 yo2128 2y2、3256 rSABP二 hgAB|：#(64yo)(64yo)Jg(- -v628M239当且仅当64 y 128 2yo，即 yo-3时，上式取得等号.3所以ABP面积的最大值为-46.9【点睛】本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明，考查三角形面积的表达式的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用，属于中档题.222 .已知函数f (x) In x 2x mx(m R).(1) 若函数 f (x)在其定义域内单调递增，求实数m的最大值；则X