矩阵的有定性及其应用

1、资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除矩阵的有定性及其应用摘要：矩阵的有定性是矩阵论中的一个重要概念，二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，而在本文中，主要讨论阐述的是实矩阵的正定性，半正定性以及它们的实际应用.本文在介绍实矩阵的正定性,半正定性的定义及其判别方法后,简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性及半正定性的应用,全文分三章，第一章，矩阵的正定性及半正定性的定义.在第二章,正定性矩阵和半正定性矩阵的判别方法，第三章，在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例.关键字：矩阵实矩阵正定性半正定性应用1 / 12资料内容仅供您学习参考，如有不当之

2、处，请联系改正或者删除一、二次型有定性的概念设户是一个数域，为eP,个文字国,，,项的二次齐次多项式/（$,七，%）=q鬲+2a2xx2+203再再+2即自旗+22工；+加23工2工3+,+2a2nX2Xn+q篇=XEq卢（%=知，'/=1，2,，）/-IJ-I称为数域户上的一个元二次型，简称二次型.当%为实数时，称/为实二次型。当今为复数时，称/为复二次型。如果二次型中只含有文字的平方项,即）（X,%2,，匕）=4%2+d2xl+称f为标准型.定义1二次型/=（玉,G,天）可唯一的表示成/（占,工2,X“）=fAx其中，X=（X,%2,，xj，A=（%）"X”为对称矩阵,称

3、上式二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（都是对称矩阵），称A的秩为二次型/的秩.定义2具有对称矩阵A之二次型f=XrAX,如果对任何非零向量X,都有X，AX>0（或X7X<0）成立，则称/=X74X为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.（2）如果对任何非零向量X,都有0（或X，AXVO）成立，且有非零向量X。，使凡/吠0=0,则称/=X"X为半正定（半负定）二次型,矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）。二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的。二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关

4、系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、矩阵正定性及半正定性的一些判定方法1）矩阵正定性的一些判别方法定理1设A为正定矩阵，若AgBGA与8合同），则3也是正定矩阵.定理2对角矩阵D=diag（4,公正定的充分必要条件是4>0（/=1,2,。定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零。定理4A为正定矩阵的充分必要条件A的正惯性指数p=.定理5矩阵A为正定矩阵的充分必要条件矩阵是:存在非奇异矩阵C,使A=C7co即A与七合同.推论1若A为正定矩阵,贝AI>0。定理6秩为的元实二次型/=X，AX,设其规范形为10 / 12主对角线上元素均为正数的对角

5、矩阵D,使得A=PDP证明先证必要性.因为A是n阶正定实对称矩阵,由引理1知,它的各阶顺序主子矩阵也是正定对称矩阵。又任一正定实对称矩阵都是非奇异的，所以A的各阶顺序主子式均不为零并且均大于零.由引理3知，对于对称矩阵A一定存在特殊下三角方阵P,主对角线上元素均不为零的对角矩阵D,使得A=PDP，并由引理2知D的主对角线上所有元素d)O(i=U,n)再证充分性。假设对n阶实对称矩阵A,存在一特殊下三角方阵P以及主对角一上元素均为正数的对角矩阵D,使得A=PDP，则因D的主对角线上元素0(i=l,2,n),从而由引理2知A的各阶顺序主子式均大一地零，所以知A是一n阶正定实对称矩阵.由此定理可得到

6、一种判定一n阶实对称矩阵A是否正定的方法：将A分解成上述定理中形式，即A=PDP然后，观察D的主对角线是否全为正数.若是，则A正定；又由引理2知，若D的主对角线上元素全为负数，贝IJA负定。2)矩阵半正定性的一些判别方法1. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。2. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。3. n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零,但至少有一个主子式等于零。注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的.三、矩阵正定性

7、及半正定性的应用实矩阵的正定性及半正定性在实际生活中及理论研究中都有着重要的实际应用，以下是对实矩阵正定性及半正定性应用的一些简单介绍：1)一些基本例子例1设M是n阶实对称矩阵,则必存在正实数t,使得tl+M为正定阵，其中I是单位矩阵.证明：矩阵正定的充要条件：对任意x不等于0向量,有X'MX>0,X*(TI+M)X=TX'X+X'MX,在所有的X中选一个X,使X'MX的值最小，X'MX二一MAX,其中MAX>0,而这时对应的X'X的值为K,且K肯定大于0,又K,MAX都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX0,即X'(TI+

8、M)X=TX'X+X'MX)0故TI+M正定。例2设二次型f=#+4刘+2公心2巧巧+4叼七问丸取何值时,f为正定二次型？解F的矩阵为.1丸-A=242-124F正定的充要条件是A由顺序主子式全大于零.事实上,A的顺序主子式为：4=1>01A一1A3=442=-4"-44+8=-4(/1-1)(4+2)-124于是,£正定的充要条件是从2>°且网>°。联解不等式组：4-汇>0-4(2-1)(2+2)>0可得-2<久v1。当一22vl时,f正定.2)在实际问题吊经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由

9、二次型的正定性加以解决。定义3设元函数/(X)=/a，X2,%)在X=*M2,的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。记vy(x)=-,:、,出。W'(X)称为函数/'(X)亚dx2dxn)在点X=(冷冷，/尸处的梯度.定义4满足W(X。)=。的点X。称为函数/(X)的驻点。定义5H冈=编方/(X)dxf</'(X)6，X)dxdx2啊(X)6 吁(X)亚西*巧(X)岗称为函数/(X)=/(x，X2,5)在点XeH处的黑塞矩阵。显然”(X)是由/(X)的3个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。定理8(极值存在的必要条件)设函数/(X)在点X。=(端,石广.,石)7处存在一阶

10、偏导数,且X。为该函数的极值点，则w(x°)=0.定理9(极值的充分条件)设函数/(X)在点X°eR的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且守(X。)/陪，旷,，好=0的dx2dxn)则：(1)当”(x。)为正定矩阵时，/(X。)为/(X)的极小值；(2)当”(X。)为负定矩阵时，/(X。)为/(X)的极大值；(3)当”(X。)为不定矩阵时，/(X。)不是/(X)的极值。应注意的问题：利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足，那结论就不一定成立。例3求三元函数/'(&quo

11、t;Z)=x2+23，2+3z2+2x+4y-6z的极值。解先求驻点，由/=2x+2=0'fv=4y+4=0得x=-l,y=-l,z=lX=6z-6=0所以驻点为4(再求(Hessian)黑塞矩阵因为九=2/=。,人=0,/vy=4,/v.=0,/=6,-200-所以=040,可知”是正定的，所以在4点取得极小值：006当然，此题也可用初等方法%z）=（x+1尸+2（y+1尸+3（z-1尸6求得极小值-6,结果一样。3）控制星统稳定性与正定矩阵稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的要求.1877年Routh,1895年Hunvitz分别研究了系统的稳定性与特征方程系数的关系，

12、并分别给出了线性系统稳定性的代数判据，至今仍有广泛应用.若系统特征方程为0心+%,-4i+$+0=0,则系统的Hunvitz矩阵H由特征方程的系数按下述规则构成：主对角线上元素为特征方程自如一至。的系数，每行以主对角线上的系数为准，若向左，则系统的注脚号码一次下降，若向右，系数的注脚号码则一次上升，注脚号码若大于n或者小于零，此时系数为0。Hurwitz判据为:系统稳定的充分必要条件是an>0的情况下，对角线上所有顺序主子式均大于零。当系统的Hunvitz矩阵的阶数n较大时，应用Hurwitz判据比较麻烦，故它常应用于n较小的场合。在这里我们改进了Hurwitz判据，避免了计算Hurwi

13、tz矩阵所有的顺序主子式，使其对于较大的n也是很方便的.4）正定矩阵在三维空间里的图形变换应用正定矩阵在对三维空间里的图形进行线性变换时不改变图形的形状，这就是它的最大意义例如：任意一个向量x,跟他垂直的超平面把空间分成两部分，一部分和x在同一侧，即满足和x的内积为正的那侧，一部分在异侧，内积为负。由定义，正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧。如果它有实特征值，必定是正数，否则的话它会把这特征向量变到另侧。一个线性变换把一组幺正基el,，en变到另一组向量丫1,。，vn,这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体。这多面体的体积就是线性变换的行列式。对正定变换来说，其行列式为正，所以这

14、个多面体非退化，且vl,Vil确定的定向和el,en确定的定向相同。补充：不会保持形状不变。保持不变的必须是等距,就是说，必须是正交变换O（n）.正定变换一般最常见的情况是正定对称变换。正定对称变换最常见的情况是用来定义内积。即定义（x,y>=x，Ay为x,y的内积©欧氏空间的内积用I来定义，即（x,y>=x*y.5）利用半正定二次型的性质证明不等式定理10二次型半正定的充分必要条件是它的标准型的所有系数都是非负的。证明充分性设Jx,X2,+a2x；+.+anx1.若，外,之。，则/（七,，X”）之。，即二次型是半正定的.必要性若二次型是半正定的，而对于某个，有4<

15、0,则令7=0,%=。，7=1，亿=0这时可以找到变量西,，毛的一组适当值M，士',汇，使得,x：）=qv0则与此假设矛盾,所以4N0,i=1,2,，一定理11设实二次型/（演,±,=，若P为实可逆方阵g（y，刈，）'“）=y7（P'AP）y，则/占,x"）=XAX半正定等价于g（X，为，）'“）=/（4人0）丫半正定；换句话说，经过非退化线性变换后，半正定的二次型仍然是半正定的。证明由*=夕丫有丫=P一1*,并且易知XWO等价于于是，对任意的ywo,则xwo,因此片（。72»=（尸-，）丁（尸7尸）（。-，）=*7*之0则8（），

16、22，.,此）半正定。反之，vx，o,y=p-xwo,因此，xtax=ryYa（ry）=yt（ptap）y>o.则g（Xl，W，x"）半正定。定义6形如子式的K级子式称为矩阵A=（%）x的K级主子式，其中1</（</2<<</7o定理11实二次型f（X,占，,%）=££4四七=X"X半正定的充要条件是矩阵A的一r-1j-1切K级主子式非负。证明必要性设二次型/（.占，%）=££%*%是半正定的，则存在对角矩阵r-iD=C/AC.其中C是变二次型的标准型的变量变换矩阵，D=diag（a,/,为）.再由

17、定理1知，«,>0.因此，detA=detB1detDdetB=定,。2，a"）（detB）>0。又已知其中B=,同时,若二次型/（玉,勺,4）是半正定的，则所有二次型4（%,）=/（0,0,x-,0,%0,0）都是半正定的，因此所有k级主子式非负.充分性已知A的一切k级主子式非负，设4为A的/级顺序主子式,则对于任意正实数£,有町+£令aiI.r-la2a22+£Ct2lj、|A+sE=.（204O1）町ai2%+£二£n+qU”+,+q（1</</z）其中4（14攵K/）。由（2.4.1）式知，|

18、4+«目>0,又1«攵<，所以矩阵A+eE的一切顺序主子式全都大于零，所以矩阵A+£E是正定矩阵。设为A的特征值，贝-4=0,所以卜+环一（/1+£闻=0,所以，2+£是矩阵A+e石的特征值，因为矩阵A+eE是正定矩阵，所以，2十£>0,取3为任意小的正数，则X20,再根据定理：矩阵A是半正定的充要条件是4的特征值非负.所以，A为半正定矩阵.6）利用二次型半正定性证明不等式。其证明思路是，首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件，判断该二次型（矩阵）为半正定，从而得到不等式.例3（Cac6y不等式）设%

19、尔，=12为任意实数，则（1?也）2<（i>:）x（ix）。r-1r-1/-I证明记/（,%公）=Z（"丙+b4+2（工m）中2+（Z”：）x；因为对于任意彳&，都有/（内,）之。，故关于与天的二次型/但,公）是半正定的。因而定理1知，该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即Nr-1>（J。i?也ix故得（£他了勺士力力度.。r-lj-1r-1例4证明£>”（£>尸证明记/（司,石,一（£>）2=XAX,其中将矩阵A的第2,3,，列分别加到第一列,再将第2,3,，行减去第1行，得（0-100于是A的特征值为0,由定理可知，A为半正定矩阵，即二次型是半正定的，从而得,土）20，即>结论得证.j-1r-1例5设a,A7是一个三角形的三个内角,证明对任意实数,V,y,z,都有x2+y2+z2>