矩形专题培优训练

1、四边形-矩形专题培优训练基础与巩固1 .下列条件中，不能判定四边形ABCDfe矩形的是（）.A.AB/CDAB=CDAC=BDB./A=ZB=/D=90°C.AB=BCAD=CD且/C=90°D.AB=CDAD=BC/A=90°2 .已知点A、B、GD在同一平面内，有6个条件：AB/CDAB=CDBCAD,?BC=ADAC=BD/A=90°.从这6个条件中选出（直接填写序号）3个，能使四边形ABCD1矩形拓展与延伸4.已知：如图，在YaBCW,以AC为斜边作RtAACIE且/BEM直角.？求证：？四边形ABC此矩形.例5、已知：如图，O是矩形ABCD对角

2、线的交点，AE平分/BAD,/AOD=120,求/AEO的度数.智力操如图，以ABC勺三边为边，在BC?勺同侧分别作3?个等边三角形，?gPAABDABCEACF请回答问题并说明理由：（1）四边形ADEF什么四边形？（2）当ABC两足什么条件时，四边形ADEF1矩形？一.选择题（共7小题）1 .（2009?绥化）在矩形ABCD中，AB=1,AD*,AF平分/DAB,CE!BD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中：AF=FH;CA=CH;BE=3ED.正确的是（）A.B.C.2 .如图，矩形ABCD中，DELAC于E,且/ADE:/EDC=32,贝U/BDE的度数为（）A.360B.18&#

3、176;C.270D.9°3 .（2007?莱芜）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD斤叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF,若CD=6,则AF等于（）A.B.C.D.84 .如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果/BAF=60°,则/AEF=（）A.600B.700C.750D.80°5 .如图，矩形纸片ABCD的边AD=9,AB=3,将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的口别为（）A.4,匹1B,5,依C.4,丽D.5,2小6 .已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角

4、线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个7 .（2007剂池）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上的动点，PE±AC于E,PF±BD于F,则PE+PF勺值为（A.B.2C.D.1二.填空题（共7小题）8 .（2009张春）如图，l/m,矩形ABCD的顶点B在直线m上，则/5三度.9 .如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积S与矩形QCNK的面积&的大小关系是SiS:（填法”或之”或

5、“=”10 .如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BGCDAD上，且AF=CG=2BE=DH=1点P是直线ERGH之间任意一点，连接PEPRPG、PH,则4PEF和4PGH的面积和等11 .如图，RtAABC中，/C=90°,AC=3,BC=4,点P为AB边上任一点，过P分另作PE±AC于E,PF±BC于F,则线段EF的最小值是.12 .如图在4ABC中，BC=&AC=6,AB=10,它们的中点分别是点D、E、F,WJCF的长为.13 .如图，四边形ABCD中，对角线AC±BD,E、F、G、H分别是各边的中点，

6、若AC=&BD=6,则四边形EFGH的面积是.14 .如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG,则AG的长为.三.解答题（共16小题）15 .如图，已知RtAABC中，/BAC=90,AB=ACP是BC延长线上一点，PE!AB交BA延长线于E,PF±AC交AC延长线于F,D为BC中点，连接DE,DF.求证：DE=DF16 .如图，在矩形ABCD中，AB=24cm,BC=8cm,点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时

7、，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）.当t为何值时，四边形QPBC为矩形？21.（2008?咸宁）如图，在4ABC中，点。是AC边上的一个动点，过点O作直线MN/BC,设MN交/BCA的角平分线于点E,交/BCA的外角平分线于点F.（1）求证：EO=FO（2）当点。运动到何处时，四边形AEC支矩形？并证明你的结论.23 .如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm,AC=16cm）AC,BD相交于点O,若E,F是AC上两动点，分别从A,C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s.（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；（2）点E,F在AC上运

8、动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由.24 .如图所示.矩形ABCD中，F在CB延长线上，且BF=BCE为AF中点，CF=CA求证：BE!DE.初二下矩形专题培优训练参考答案与试题解析一.选择题（共7小题）1 .（2009?绥化）在矩形ABCD中，AB=1,AD=/,AF平分/DAB,过C点作CELBD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中：AF=FH;BO=BF;CA=CH;BE=3ED.正确的是（）A.B.C.D.考点：矩形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质.分析：这是一个特殊的矩形：对角线相交

9、成60。的角.利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答.解答：解：AB=1,AD=g,BD=AC=2OB=OA=OD=OC=1OB=OA=OD=OC=AB=CD=1 .OAB,AOCD为等边三角形.AF平分/DAB,/FAB=45;即4ABF是一个等腰直角三角形.BF=AB=1,BF=BO=1. /FAB=45； /CAH=45-30=15: ./ACE=30°（正三角形上的高的性质） /AHC=15;由正三角形上的高的性质可知：DE=OD2,OD=OB,BE=3ED故选D.点评：本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质.2 .如图，矩形ABCD中，DELAC于E,且/ADE:/E

10、DC=3:2,则/BDE的度数为（）A.36°B,18°C,27°D,9°考点：矩形的性质；三角形内角和定理.分析：本题首先根据/ADE:/EDC=32可推出/ADE以及/EDC的度数，然后求出ODC各角的度数便可求出/BDE解答：解：已知/ADE:/EDC=32?/ADE=54,/EDC=36,又因为DE，AC,所以/DCE=9036°=54°,根据矩形的性质可得/DOC=1802X54=72°所以/BDE=180/DOC/DEO=18故选B.点评：本题考查的是三角形内角和定理以及矩形的性质，难度一般.3 .（2007?莱

11、芜）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF,若CD=6,则AF等于（）A.B.C.D.8考点：矩形的性质.专题：操作型.分析：先图形折叠的性质得到BF=EFAE=AR再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出/EAD的度数，设FE=x,则AF=2x,在ADE中利用勾股定理即可求解.解答：解：由折叠的性质得BF=EFAE=AB,因为CD=6,E为CD中点，故ED=3,又因为AE=AB=CD=6所以/EAD=30,贝U/FAE（90°30°）=30°,2设FE=x则AF=2x在4AEF中，根据勾股定理，（2x）2=

12、62+x2,x2=12,xi=2'hj3,x2=2二（舍去）.AF=2V1X2=4/3.故选A.点评：解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答.4 .如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果/BAF=60°,贝U/AEF=（）A.60°B,70°C,75°D,80°考点：矩形的性质.专题：计算题.分析：根据矩形的性质，求出/EAF=15,从而得出/AEF的度数即可.解答：解：ZEAF是/DAE折叠而成，90"-ZBAF90。-60”/EAF=/DAE,/ADC=/AFE=90；/EAF=15;在4AEF

13、中/AFE=90,/EAF=15,/AEF=180°/AFE/EAF=180°90°15=75:故选C.点评：本题考查了矩形的性质，图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量.5 .如图，矩形纸片ABCD的边AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为（）a.4,Vnib.5,MToC.4,2J3D.5,2/3考点：矩形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）.专题：计算题.分析：利用直角三角形ABE可求得BE,也就是DE长，构造EF为斜边的直角三角形，进

14、而利用勾股定理求解.解答：解：连接BD交EF于点O,连接DF.根据折叠，知BD垂直平分EF.根据ASA可以证明DOEBOF,得OD=OB.则四边形BEDF是菱形.设DE=x,贝UCF=9x.x2= (9 x) 2+9.。425- 22. 5呼，则讦寸五在直角三角形DCF中，根据勾股定理，得:解得：x=5.在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得在直角三角形BOF中，根据勾股定理，得故选B.点评：此题主要是能够根据对角线互相垂直平分得菱形DEBF,根据菱形的性质得到边之间的关系，熟练运用勾股定理进行计算.6 .已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩

15、形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个考点：矩形的判定与性质.分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数.解答：解：已知如图：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有（1）和（4）.故选C.点评：本

16、题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关键.7 .（2007?河池）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上的动点，PE±AC于E,PF±BD于F,贝UPE+P用勺值为（）A.B.2C.D.1考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质.专题：动点型.分析：根据AE24ADC;ADFFADAB找出关系式解答.解答：解：设AP=x,PD=4x./EAP=/EAP,/AEP=/ADC; AAEPAADC,故-=(I同理可得DF24DAB,12PE+PF=.故选A.5点评:此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可.填空题（

17、共7小题）8 .（2009?长春）如图，l/m,矩形ABCD的顶点B在直线m上，则/a=25度.考点：矩形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理.专题：计算题；证明题.分析：建立已知角和未知角之间的联系是关键.作平行线的截线，根据平行线的性质建立它们之间的联系.解答：解：延长DC交直线m于E.l/m,：/CEB=65在RtABCE中，/BCE=90,/CEB=65,./a=9O°ZCEB=90-65=25:点评：此题很简单，只要熟知两直线平行的性质及三角形内角和定理即可.9 .如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积Si与矩

18、形QCNK的面积S2的大小关系是&=S2;（填多”或之”或“=考点：矩形的性质；三角形的面积；三角形中位线定理.专题：证明题；几何综合题.分析：根据矩形的性质，首先设矩形的边长分别为a,b,Si的边长分别为x,y,利用比例得出xy=abby.要使矩形的面积最大,故让&的边长分别是ABC,4ADC的中位线，得出边长的值，然后求出面积即可（也可用矩形的对角线平分矩形的面积分析得出答案）.解答：解：设矩形ABCD的边长分别为a,b,Si的边长分别为x,y.MK/AD强,即型AD BD a BD贝 U x=?a.BD同理：y=_!_?b.BD而qBK'DK贝1Si=xy=ab.

19、同理S2=HLLab.BD2所以Si=S?.故答案为Si=&.点评：本题的关键是利用函数分析最大取值，即都是三角形的中位线.然后利用三角形的面积公式即可求得相等.10 .如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BCCDAD上，且AF=CG=2BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH,贝IJPEF和4PGH的面积和等于.考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质.分析：连接EGFH,易证得4AE的ACHG,AFHDAGEEJ,即可得FH=EGEF=GH由此可证得四边形EFHG是平行四边形，可过P作E

20、F、GH的垂线，可发现所求的两个三角形的面积和实际等于平行四边形EFHG面积的一半，按此思路进行求解即可.解答：解：连接FHEG;AF=CG=ZAE=CH=41=3,/A=/C=90;AEFCHG,&AEF=Schg=3;同理可证：AFHgAGEB,SAfhdfSagebfI.5;：FH=EGEF=GH即四边形EFHG是平行四边形；且S平行四边形=S矩形2SaAEF2SFHD=11;过P作ERGH的垂线，交EF于M,GH于N;则SAEFP+Sghf=-EF（PM+PN）WeF?MN±S?efh导，.22口2故答案为：2点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四

21、边形的判定和性质以及图形面积的求法，能够判断出四边形EFHG是平行四边形是解答此题的关键所在.11 .如图，RtABC中，/C=90°,AC=3,BC=4,点P为AB边上任一点，过P分另作PE±AC于E,PF±BC于F,贝U线段EF的最小值旱12-f5-考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；三角形的面积；勾股定理.专题：计算题.分析:解答:点评:根据勾股定理求出AB,证矢!形EPFC推出EF=CP过C作CD，AB,得到CD=EF求出CD的长即可./ACB=90；AC=3,BC=4,由勾股定理得：AB=5,.PEIAC,PF±BC,/PEC=/PFC=/AC

22、B=90四边形EPFB矩形，EF=CP即EF表示C与边AB上任意一点的距离,根据垂线段最短，过C作CD,AB,当EF=DC最短，根据三角形面积公式得：一ACXBC=-ABXCDraFaCD-12CD5故答案为：u.CD=EF是解止匕题本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的面积，垂线段最短，勾股定理等知识点的理解和掌握，能得到的关键.12 .如图在4ABC中，BC=8,AC=6,AB=10,它们的中点分别是点D、E、F,则CF的长为5.考点：矩形的判定与性质；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理.分析：利用勾股定理的逆定理可以推知/ACB=90;然后利用三角形中位线定理可以求得平行四边形CEFD

23、是矩形、EF与CE的长度；最后在直角三角形DFC中利用勾股定理求得CF的长度.解答：解：:在ABC中，BC=8,AC=6,AB=10,ABAd+Bd,/ACB=90;又点D、E、F分别是BCAC、AB的中点，EF/BC,且EF匚BC=4,二口1FD/AC,且FD=AC=3,四边形CEFD是矩形，EF=CD。力町飞口匹5；故答案是：5.点评：本题综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理.解答该题的突破口是根据已知条件在ABC中，BC=8,AC=6,AB=10'利用勾股定理的逆定理推知4ABC是直角三角形.13 .如图，四边形ABCD中，对角线AC±BD,E

24、、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是12.考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理.专题：计算题.分析：根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF,判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积.解答：解：E>F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，L1L1EH/BD且EH=1BD,FG/BD且1BD,22EH/FG,EH=FG同理EF/HG,EF=HG又ACLBD,四边形EFGH是矩形，四边形EFGH=EFXEacxLbD*46=122221点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的

25、理解和掌握，此题难度不大，属于中档题.314.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG,则AG的长为.考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理.分析：根据勾股定理可得BD=5,由折叠的性质可得AADGAADG,则A'D=AD=3,A'G=AG,则A'B=5-3=2,在RtAA'BG中根据勾股定理求AG的即可.解答：解：在RtAABD中，AB=4,AD=3,:BD=屈福曲解十=5,由折叠的性质可得，ADGZA'DG,A'D=AD=3,A'G=AG,A'B=BDA'D=53=2,设

26、AG=x,贝UA'G=AG=x,BG=4x,在RtAA'BG中，x2+22=（4x）2解彳导x=2即AG=二.2点评：此题主要考查折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识.认真分析图中各条线段的关系，也是解题的关键.三.解答题（共16小题）15 .如图，已知RtAABC中，/BAC=90AB=AQP是BC延长线上一点，PE±AB交BA延长线于E,PF±AC交AC延长线于F,D为BC中点，连接DE,DF.求证：DE=DF.考点：矩形的判定与性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：连接AD,由题意可判断出四边形AEPF是矩形，再根据矩形的

27、性质可得出AE=FP由RUABC中，/BAC=90,AB=AC,D为BC中点可得出AD=BC,/1=/2=45°=/3,再由全等三角形的判定定理可得出AD中CDF,进而可得出结论.解答：证明：连接AD（如图）， /BAC=90；PE±AB,PF±AC四边形AEPF是矩形，AE=FRAB=AC,/BAC=90,°D为BC中点，AD=DC,/1=/2=45=/3, /EAD=/FCD=135,°/CPF=45=°Z3,CF=PF=AE AADEACDF（SASDE=DF.点评：本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内

28、角和定理，涉及面较广，难度适中.16 .如图，在矩形ABCD中，AB=24cm,BC=8cm,点P从A开始沿折线ABCD以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）.当t为何值时，四边形QPBC为矩形？考点：矩形的判定与性质.专题：计算题；动点型.分析：求出CQ=2t,AP=4t,BP=24-4t,由已知推出/B=/C=90,CD）/AB,推出CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，得出方程2t=24-4t,求出即可.解答：解：根据题意得：CQ=2t,AP=4t,贝UBP=244

29、t,四边形ABCD是矩形，/B=/C=90；CD）/AB,:只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，即2t=244t,解得：t=4,答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形.点评：本题考查了矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中.21. （2008?咸宁）如图，在ABC中，点。是AC边上的一个动点，过点O作直线MN/BC,设MN交/BCA的角平分线于点E,交/BCA的外角平分线于点F.（1）求证：EO=FQ（2）当点。运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.考点：矩形的判定.专题：几何综合题.分析：（1）根据平行线性质和角平分线

30、性质及，由平行线所夹的内错角相等易证.（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证解答：（1）证明：,CE平分/ACB,/1=/2,又MN/BC,/1=/3,/3=/2,EO=CQ（2分）同理，FO=CQ（3分）EO=FO（4分）（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.（5分）EO=FO点。是AC的中点.:四边形AECF是平行四边形，（6分）CF平分/BCA的外角，:/4=/5,又/1=/2,/2+/4X18=90:2即/ECF=90度，（7分）四边形AECF是矩形.（8分）点评：本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论.23.如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm,AC=16