研究生历考研数学一真题及答案(五)分析

1、历年考研数学一真题1987-20151987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=01函数y=x2x取得极小值.(2)由曲线y=lnx与两直线y=e+1X及y=0所围成的平面图形的面积是.1=X(3)与两直线|y=-1+t、z=2+t及叶=yl2=巨都平行且过原点的平面方程为111设l为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分2,、,一(2xy-2y)dx+(x-4x)dy=.(5)已知三维向量空间的基底为%=(1,1,0),=(1,0,1),出=(0,1,1)，贝U向量p=(2,0,0)在止匕基底下的坐标是

2、.二、(本题满分8分)2求正的常数a与b,使等式lim广_dt=1成立.x>0bxsinx0.at2三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy),求二u二v-,-.xex(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中301A=110,求矩阵B.0141四、(本题满分8分)求微分方程y”%6y“+(9+a2)y=1的通解，其中常数a>0.五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设limUU包=_1，则在x=a处x-a(x-a)(A)f(x)的导

3、数存在，且L(a)¥0(B)f(x)取得极大值(C)f(x)取得极小值(D)f(x)的导数不存在s(2)设f(x)为已知连续函数,I=tJ；f(tx)dx,其中t>0,s>0,则I的值(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数k>0,则级数f(_1)n'nJn(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a=0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于(A)a(B”a(C)an(D)an六、(本题满分10分)求哥级数£3xn的收

4、敛域，并求其和函数.ndnl_2七、(本题满分10分)求曲面积分I=x(8y1)dydz2(1-y2)dzdx-4yzdxdy,1其中£是由曲线f(x)=z=g1*y3绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于工x=02八、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每一个X,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且fx)¥1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x.九、(本题满分8分)问a,b为何值时，现线性方程组x为+x2+x3+x4=0x2+2x3+2x4=14-x2+(a-3)x3-2x4=b、3x1+2x2+x3

5、+ax4=1有唯一解，无解,有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中，事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为；而事件A至多发生一次的概率为.(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出1个球，此球是白球的概率为.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为.(3)已知连续随机变量x的概率密度函数为f(x)=3e-x,则x的数学期望为,x的方差为

6、.而十一、(本题满分6分)设随机变量X,丫相互独立，其概率密度函数分别为fx(X)=(10'X'1,fY(y)=y>0,求Z=2X+Y的概率密度函数.I0其它loy<01988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题，每小题5分，满分15分),公、n(1)求哥级数£(x”的收敛域.nn32(2)设f(x)=ex,fN(x)=1-x且中(x)之0,求甲(x)及其7E义域.(3)设£为曲面x2十y2+z2=1的外侧，计算曲面积分I=Jfx3dydz+y3dzdx+z3dxdy.T二、填空题(本题共4小题，每小题3分，满分12分.把

7、答案填在题中横线上)(1)若f(t)=limt(1+工)2tx，则f气)=.xf：x31一.(2) 设f(x)连续且(f(t)dt=x,则f(7)=.(3)设周期为2的周期函数，它在区间(.1,1上斗义为f(x)=2T<xW0,则的傅里叶(Fourier)级数在x=1处收x0：xM1敛于.(4)设4阶矩阵A=%丫2,丫3,%,B=0垃，丫3,%,其中,丫3,屹均为4维列向量，且已知彳亍列式IA=4jB=1,则行列式A+B=.三、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)可导且f'(

8、x0)=1,则AxT0时，f(x)在沏处的微分dy是(A)与心等价的无穷小(B)与心同阶的无穷小(C)比Ax低阶的无穷小(D)比Ax高阶的无穷小(2)设y=f(x)是方程y"-2y，+4y=0的一个解且f(Xo)>0,f'(Xo)=0,则函数f(x)在点为处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3) 设空间区域a:x2+y2+z2ER2,z之0,夏2:x2+y2+z2ER2,x之0,y之0,z之0,贝u(A)hixdv=4I”dvi11i2(B) illydv=4illydv;(C) iiizdv=4iiizdv'.1；2

9、(D) iiixyzdv=4hixyzdv(4)设哥级数£an(x-1)n在x=1处收敛，则此级数在n1x=2处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5) n维向量组卬%III,&(3«s«n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数ki,k2,此ks,使k1al+k2a2+川+ks%¥0(B) oi,物川,肉中任意两个向量均线性无关(C) .,如川,肉中存在一个向量不能用其余向量线性表不(D)伪，如川,中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设u=yf(2)十xgd),其中函数f、g具有二阶连续导数

10、，yx-2-2求xTy:x；x.y五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程y3y'+2y=2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x-1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).01000 ,P= 2-10，求A, A5.-1_211_六、(本题满分9分)设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为与(k>0为常数，r为A质点与M之间的距离),质点M沿直r线y=J2x-x2自B(2,0)运动到0(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、(本题满分6分)10已知AP=BP,其中B=卜000八、(本题满分8分)200200已知矩阵A=001与

11、8=0y0相似.01x_00T-求x与y.九、(本题满分9分)设函数f(x)在区间a,b上连续，且在(a,b)内有f<x)a0,证明：在(a,b)内存在唯一的之使曲线y=f(x)与两直线y=f),x=a所围平面图形面积S是曲线y=f(x)与两直线y=f(£),x=b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于型则事件A在一次试验27中出现的概率是.(2)若在区间(0,1)内任取两个数，则事件”两数之和小于6"的概率为.5(3)设随机变量x

12、服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，已知求一个满足P，AP=B的可逆阵P.2x1-ur_(x)=_e2du,(2.5)=0.9938,-二2二则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为卜一、(本题满分6分)设随机变量x的概率密度函数为fX(x)=求随二(1-x2)'机变量Y=1-3又的概率密度函数fy(y).1989年全国硕士研究生入学统一考试每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把数学(一)试卷所选项前的字母填在题后的括号内)3 0设矩阵 A = 1 40 0一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知f=2,则|im0f(3

13、-h)-f(3)=.1一,(2)设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2J°f(t)dt,则f(x)=(3)设平面曲线L为下半圆周y=4H,则曲线积分L(x2y2)ds=.(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu一01000,I=010,则矩阵3_P01_1(A-2I)=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.(1)当X下。日寸，曲线y=xsinx(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线，又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线(2)已知曲面z=4-x2-y2上点p处的切平面平行于平面2x+2y+z1=0，则点的坐标是(

14、A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数，则该非齐次方程的通解是(A) c1y1c2y2y3(B) Gy1c2y2-(C1c)、3(C) ay1c2y2-(1-g-C2)y3(D) Gy1c2y2(1_c1_c2)y3(B)(D)-4-2(A)必有一列元素全为0(B)必有具有连续的导数，且中(0) =0,计算问z为何值时,线性方程组设函数f(x)=x2,0Mx父1,S(x)=£bnsinnnx,<x<-He,其中n1bn=2f(x)sinnnxdx,nmIZBJII51

15、S(-)等于02(A)2(C)14设A是n阶矩阵，且A的行列式A=0,则A中两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)设z=f(2x-y)+g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导2,g(u,v)具有连续二阶偏导数，求三.二x：y(2)设曲线积分xy2dx+y中(x)dy与路径无关,其中甲(x)(00)xy2dx+y中(x)dy的值.(3)计算三重积分JH(x+z)dv,其中C是由曲面rizy与z=11x21y2所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数f(x)-arctan年展为x的哥级数.

16、1-x五、(本题满分7分)x设f(x)=sinx-J0(x-t)f(t)dt,其中f为连续函数，求f(x).六、(本题满分7分)证明方程lnx-广)1-cos2xdx在区间(0,收)内有且e.0仅有两个不同实根.七、(本题满分6分)X+必=九*4x1+x2+2x3=2+2<6x+X2+4x3=2九+3有解，并求出解的一般形式.八、(本题满分8分)假设£为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明(1)1为A工的特征值.九(2)同为A的伴随矩阵A*的特征值.九九、(本题满分9分)设半径为R的球面工的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上，问当R为何值时,球面Z在定球面内部的那

17、部分的面积最大？十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)率P(B)=0.6及条件概率P(B|A)=0.8,则和事件A|JB的概率P(AUB)=.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为.(3)若随机变量U在(1,6)上服从均匀分布，则方程x2+£x+1=0有实根的概率是.十一、(本题满分6分)(1)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的概设随机变量X与丫独立，且X服从均值为1、标准差(均方差)为我的正态分布，而丫服从标准正态分布.试求随机变量Z=2XY+3的概率密度函数.1

18、990年全国硕士研究生入学统一考试二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.数学(一)试卷每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)'x=+2(1)过点M(1,21)且与直线y=3t-4垂直的平面方程是.z=t-1(2)设a为非零常数，则iim(±)x=.x=x-a(3)设函数f(x/=1Ix-1,则10lx>1ff(x)=.22(4)积分dxe-ydy的值等于0x(5) 已知向量组%=(1,2,3,4),“2=(2,3,4,5),%=(3,4,5,6),为=(4,5,6,7),则该向

19、量组的秩是所选项前的字母填在题后的括号内)x(1)设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt,则F，(x)等于(A) -e/f(e')-f(x)(B) -ef(e)f(x)(C)e，f(e/)f(x)(D)e)f(x)(2)已知函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=f(x)2,则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n)(x)是(A) n!f(x)n1(B) nf(x)n1(C)f(x)2n(D)n!f(x)2n(3)设a为常数，则级数£SnqQ_ndn'一n(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a的取值有关(4)已知f(x)在x

20、=0的某个邻域内连续，且f(0)=0,limf(x)=2,则在点x=。处f(x)X01-cosx(A)不可导(B)可导，且f(0)=0(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知0、8是非齐次线性方程组ax=b的两个不同的解，、生是对应其次线性方程组AX=0的基础解析，K、k2为任意常数，则方程组AX=b的通解(一般解)必是(A) ki电+k2(电+牝)+.2的(B) 匕电+卜2(电一的)十2法(C) kiai+k2(Bi+m+T(D) kiai+k2(3i-fe)2ln(1x)2dx.(2-x)(2)设z=f(2x-y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的一.阶偏-2导数，求二;x.y求微

21、分方程y“+4+4y=e/x的通解(一般解).四、(本题满分6分)求哥级数才(2n+1)x。的收敛域，并求其和函数.n=0五、(本题满分8分)求曲面积分I=yzdzdx2dxdyS其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z之0的部分.六、(本题满分7分)设不恒为常数的函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b).证明在(a,b)内至少存在一三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)点之使得代)>0.七、(本题满分6分)设四阶矩阵质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).2的大小等于点P与原点O之间

22、的距PO.4)1-1001-1B=001900002-1，”00341132102离，其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于三求变力F对2质点P所作的功.且矩阵A满足关系式A(EC'B)C=E其中E为四阶单位矩阵，C表示C的逆矩阵，C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.八、(本题满分8分)求一个正交变换化二次型f=xj+4x2+4x2-4x1x2+4x1x3-8*冰成标准型.九、(本题满分8分)十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数,.1，x一.一f(x)=万e,-二:x：二则X的概率分布函数F(x)=.(

23、2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P(aB)=.(3)已知离散型随机变量x服从参数为2的泊松k2(Poisson)分布，即PX=k=,k=0,1,2,川，则随机变量k!Z=3X.2的数学期望E(Z)=.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(x,Y)在区域D:0<x<1,|y<x内服从均匀分布，求关于x的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差D(Z).(C) ex ln 21991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)

24、M*=1十/，贝"屯=.|y=costdx(2)由方程xyz十Jx2+y2十z2=右所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=.(3)已知两条直线的方程是11：金=匕=：匕=一.则过11且平行于I2的10-1211平面方程是.1(4)已知当xt0时,(1+ax2)3-1与cosx-1是等价无穷小贝U常数a=.5200(5)设4阶方阵a=I2100,则a的逆阵001-20011_A-=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)x2(1)曲线y=1三1 -e(A)没有渐近线(B

25、)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)=:"f&dt+ln2,则f(x)等于(A)exln2(B)e2xln2(D)e2xln2(3)已知级数-1)»n=2,£a2n,=5,则级数宣an等于n三nq1nq1(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(_1,1)和(_1,_1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则Kxy+cosxsiny)dxdy等于D(A)211cosxsinydxdy(B)211xydxdyD1D1(C)4ii(xycosxs

26、iny)dxdy(D)0D1(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式abc=E，其中E是n阶单位阵，则必有(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)求吧,cosVx)2.(2)设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=M6x2+8y2在点P处沿方向(的方z向导数.一一一2(3)m(x2+y2+z)dv,其中Q是由呷线V=2z绕z轴旋转x0一周而成的曲面与平面z=4所围城3立体.四、(本题满分6分)过点O(0,0)和Apr,0)的曲线族y=asinx(a>0)中，求一'条

27、曲线L,使沿该曲线。从到A的积分L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小.五、(本题满分8分)将函数f(x)=21x(-1MxM1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数£-1的和.ndn六、(本题满分7分)设函数f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导，且31f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使(c)=0.3七、(本题满分8分)已知%=(1,0,2,3),牝=(1,1,3,5),%=(1,1,a+2,1),%=(1,2,4,a+8)及B=(1,1,b3,5).(1) a、b为何值日寸，B不能表不成01,02,购,04的线性组合？(2) a、b为何值时，0

28、有孙沁,如勿的唯一的线性表示式？写出该表示式.八、(本题满分6分)设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为2、方差为仃2的正态分布，且P2<X<4=0.3,贝UPX<0=.(2)随机地向半圆0<ycj2ax-x2(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于e的概率

29、为(本题满分6分)f (x, y)二2e"x 2y) x 01y 00 其它设二维随机变量(X,Y)的密度函数为求随机变量Z = X十2Y的分布函数.处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Qdy=dx(2)函数u=ln(x2+y2+z2)在点m(1,2,-2)处的梯度gradum(3)设 f (x)=-1T<xW0,则其以2n为周期的傅1x20：x_二里叶级数在点xln处收敛于微分方程 y* + y tan x = cos x 的a2b1III_anb1a1b2 a2b1 )11 anb2IIIIIIIIIIIIaha2bnIIIanbn.ai#0,bi=0,(i=1

30、,2川，n).贝U矩1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数y=y(x)由方程ex4y+cos(xy)=0确定，则二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)21(1)当xT1时，函数7ex的极限(A)等于2(B)等于0(C)为,(D)不01都是线性方程组-1AX=0的解,在但不为二只要系数矩阵(2)级数克(-1)n(cos3(常数a>0)n1(A)发散(B)件收敛(C)绝对收敛(D)敛性与a有关在曲线x=t,

31、y=T2,z=t3的所有切线中，与平面x-2y，z=4平行的切线(A)只有1条(B)只(C)至少有3条(D)不存(4)设f(x)=3x3+x2x,则使f存在的最高阶数n为(A)1-21(C).01一0(D)42(A)0(B)1(C)2(D)321-1-n-21三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)求limex-sinxT1-，x2设2=f(exsiny,x2+y2),其中f具有二阶连续偏导数，2求三二x：y1x2-xe四、(本题满分6分)求微分方程yl2y=3y=e豌的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分JJ(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dx

32、dy,其中工为上半球面z，.a2-x2-y2的上侧.六、(本题满分7分)设f"(x)<0,f(0)=0,证明对任何、>042>0,有f(X"2)：二f(xi)f(x2).七、(本题满分8分)在变力F=yzT+zxj+xyk的作用下，质点由原点沿直线.222运动到椭球面+4=1上第一卦限的点M(，,，),问222abc当已、”、U取何值时，力F所做的功w最大？并求出w的最大值.八、(本题满分7分)设向量组内,0C2,0C3线性相关，向量组0C2,炙,的线性无关,(1)1能否由见为线性表出？证明你的结论.约能否由,如他线性表出？证明你的结论.九、(本题满分7分

33、)设3阶矩阵A的特征值为=1%=2人=3,对应的特征向量依次为(1)将B用。&,&线性表出.求An®n为自然数).十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1,贝U事件46A、B、C全不发生的概率为(2)设随机变量x服从参数为1的指数分布，则数学期望EXe"二卜一、(本题满分6分)设随机变量x与丫独立，x服从正态分布N(N,q2),Y服从工不上的均匀分布，试求Z=X十丫的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数中表示，其中x上一e2dt).1993年全国硕士

34、研究生入学统一考试数学(一)试卷二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数F(x)=(2.1)dt(xA0)的单调减少区间为22(2)由曲笨3X+2V=12绕y轴旋转一周得到的旋转z=0面在点(0,上四处的指向外侧的单位法向量为(3)设函数f(x)=nx+x2(-n<x<n)的傅里叶级数展开式为也+9acosnx+bnsinnx),则其中系数b3的值为2n1(4)设数量场u=lnJx2+y2+z2,则div(gradu)=.(5)设n阶矩阵A的各

35、行元素之和均为零，且A的秩为n.1,则线性方程组AX=0的通解为.所选项前的字母填在题后的括号内)sinx(1)设f(x)=J0sin(t)dt,g(x)=x+x，则当xt0时，f(x)是g(x)的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为(A) 204cos2%口冗(B) 404cos21dIJi(C) 204cos2三d1二c(D) -04(cos2?)d(3)设有直线l1:q=T=也与Jx-y=6贝h与1-21-2yz=312的夹角为(A)6(B)-(C)3(D)-设曲线积分JJf(t

36、)-exsinydx-f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0,则(A)(C).xxe-e2x_xee/-12f (x)x等于2x . x(D)1._已知一1Q = 2-331t,P为三阶非零矩阵，且满足9PQ=0,贝U(A)t6时P的秩必为1(B) tp的秩必为2(C) t ¥6时P的秩必为1(D) t¥6 时p的秩必为2三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1)求lim(sin2+cos1)x.xxxx求Hxjex-1(3)求微分方程x2y，+xy=y2,满足初始条件y|g=1的特解.四、(本题满分6分)计算2xzdydz+y

37、zdzdx-z2dxdy,其中工是由曲面£z=Jx2+y2与z=q'2-x2-y2所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)一n2求级数工(一1)(1的和.nW2六、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1)设在0,y)上函数f(x)有连续导数，且fx)>k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,依C)内有且仅有一个零八、.(2)设baa>e,证明ab>ba.七、（本题满分8分）已知一次型f（x1,x2,x3）=2x12+3x；+3x；+2ax2x3（aa0）通过正交变换化成标准形f=y12+2y2+5y2,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、（

38、本题满分6分）设A是nMm矩阵,B是mxn矩阵，其中n<m,I是n阶单位矩阵，若AB=1,证明B的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A从点（0,1）出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点（_1,0）与A同时出发，其速度大小为2V,方向始终指向A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.把答案填在题中横线上）（1）一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为.（2）设随机变量X服从（0,2）上的均匀分布，则随机变量丫=X2在（0,4）内的概率分布密度fY（y）=.卜一、（本题满分6分）设随机变量

39、X的概率分布密度为f(x)=1e*，-二二x；：.2（1）求X的数学期望EX和方差DX.求X与凶的协方差，并问X与|X|是否不相关？十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.（3）问x与凶是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)lim0cot二(-1-)=.Jsinxx每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设兀Jjrsinx1x2HJIcos xdx,N = 2一 (sin x cos x)

40、dx,P= 2.(x sin x-cos x)dx, "2-2一2则有(2)曲面z-ex+2xy=3在点(1,2, 0)处的切平面方程为(A) N：P：M(B) M：P：N-2设u=e'sin3,则包在点(2,工)处的值为y二x.y二(C) N:二M:二P(D) P：:M：N二元函数f(x,y)在点(xo,y。)处两个偏导数(4)设区域d为x2+y2ER2,则22xy!.!.(-2)dxdy=.dab(5)已知a=1,2,3,B=1,1,1,设A=/B,其中/是a的转23置，则An=.f：(xo,yo)、fy'(xo,yo)存在是f(x,y)在该点连续的(A)充分条件

41、而非必要条件必要条件而非充分条件(C)充分必要条件非充分条件又非必要条件(B)(D)既(3)设常数,且级数克收敛，则级数n1<:(-i)nannJ.ni(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与之有关(4)limatanx'b(1-c0sx1=2，其中a2+c、0,则必有x0cln(1-2x)d(1e")(A)b=4d(B)b=-4d(C)a=4c(D)a=Mc已知向量组如孙如“线性无关，则向量组1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷(2)曲面z-ex+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为.-2(3)设u=esin),则上在点(2)处的值为

42、y；x.y二.(4) 设区域D为x2+y2<R2,则22.(4七)dxdy=.dab(5)已知a=1,2,3,B=12J,设A=，其中I是a的转23置，则An=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上).，1gc0tLsinxx2sinx4M=2cosxdx,N=-21x2-;(sin3xcos4x)dx,P=""2设.2二(x2sin3x-cos4x)dx,-2则有敛性与7-有关(A) N:二P：:M(B)

43、 M：:P：:Nlimatanx+b(1-cosx)2=2，其中a2+c0,则必有x力cln(12x)d(1e，)(A)b=4d(B)b=_4d(C)N:二M:二P(C)a=4c(D)a-4c(D)P:二M:二N二兀函数f(x,y)在点(Xo,丫。)处两个偏导数已知向量组孙孙如如线性无关，则向量组(A)的+a2,a2+a3,&+a4,a4十四线性无关fx(Xo,y。)、fj(xo,yo)存在是f(x,y)在该点连续的(B)oq-0C2,02-0C3,%陶，陶一的线,性无关(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数九0

44、,且级数克an2收敛，则级数ni(C)(D)Oi+,叱+a3,a3+a4,a4-的线,性无关oq+a2,a2*a3,oc3a4,a4-%线性无关T)nn=1(A)发散收敛(B)条件三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)x=cos(t2)2(1)*2F1，求也、编在t芈y=tcos(t)cosududxdx212,u的值.(2)将函数f(x)=1ln1xarctanx-x展开成x的帚级41-x2(C)绝对收敛(D)收数.四早=0,证明级数9 f (1)绝对收敛. nm n(3)求1dX.sin(2x)2sinx四、(本题满分6分)II2.计算曲面积分.dydz2zdxdy,其中s是由曲面S

45、XyzX2+y2=R2&z=R,z=R(R>0)两平面所围成立体表面的夕卜侧.五、(本题满分9分)设f(x)具有二阶连续函数，f(0)=0,f0)=1,且xy(x+y)-f(x)ydx+f'(x)+x2ydy=0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设f(x)在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且七、(本题满分6分)已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.八、(本题满分8分)设四元线性齐次方程组(I)为x*x2=0,Ix2-M=0又

46、已知某线性齐次方程组(n)的通解为k1(0,1,1,0)-k2(-1,2,2,1).(1)求线性方程组(I)的基础解析.(2)问线性方程组(I)和(n)是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.九、(本题满分6分)设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A，是A的转置矩阵，当A*=A，时，证明|A#0.十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,贝UP(B)=.(2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为X01P1122则随机变量Z=maxX,Y的分

47、布率为.十一、(本题满分6分)设随机变量X和丫分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42)，且X与丫的相关系数、,=一1,设2=入十丫，y232(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.(2)求X与Z的相关系数.(3)问X与丫是否相互独立？为什么？1995年全国硕士研究生入学统一考试二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.数学（一）试卷每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）2（1）lim（1+3x严=lx。0st2dL(abLc=2,(a+b)M(b+c)Uc+a)=.(4)哥级数£nx23的收敛

48、半径nm2n(-3)n设三阶方阵a,B满足关系式A,BA=6A+BA，且所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线L：X+3y+2z+1=0，及平面：,2x-y-10z3=0n:4x_2y+z2=0,贝巾直线L(A)平行于tl(B)在冗上(C)垂直于冗(D)与冗斜交(2)设在0,1上f"(x)>0,则f0),1(1),f(1)f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是(A) f(1).f(0).f(1)-f(0)(B) f(1).f(1)-f(0).f(0)(C) f(1)-f(0).f(1).f(0)000，则b=17(D)f(1)-f(0)-ff(0)(3)设f(x)可导

49、，F(x)=f(x)(1+|sinx),贝Uf(0)=0是f(x)在x=0处可导的(A)充分必要条件(B)充n 4nn 1(B) AP2P1 = B(D) P2PiA = B分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件设un=(-i)nin(1+)，贝！J级数,n(A)J%与juj都收敛(B)Ju”与n1n4n43u2都发散n(C)fUn收敛，而fU2发散(D)fUn收n1n4n4设七a12a3"ana12a13一0101一1001A=a21a22a23,B=a21a22a23,P1=100尸2=010a31a32a331a32a331001一101则必

50、有(A)APiP2=B(C)P1P2A=B有一阶连续偏导数，且a#0.求电.；:zdx、一，i(2)设函数f(x)在区间0,1上连续，并设10f(x)dx=A,r、11求J0dxjxf(x)f(y)dy.四、(本题共2小题，每小题6分，满分12分)(1)计算曲面积分QzdS,其中工为锥面z=&T7在柱体x2+y2W2x内的部分.(2)将函数f(x)=x一1(0<x<2)展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内人上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知|MA=画,且L过点§1),求L的方程.三、(本题共2小题，每小题5

51、分，满分10分)(1)设u=f(x,y,z),中(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,中者B具六、(本题满分8分)设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有(t,i)(i,t)0,0)2xydx+Q(x,y)dy=0)2xydx+Q(x,y)dy,小Q(x,y).七、(本题满分8分)假设函数f(x)和g(x)在a,b上存在二阶导数，并且g“(x)#0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证：(1)在开区间(a,b)内g(x)¥0.(2)在开区间的内至少存在一点之使:.g()g()八、(本题满分

52、7分)设三阶实对称矩阵A的特征值为九1=-1,%=%=1,对应Jj九、(本题满分6分)设A为n阶矩阵，满足AAI(I是n阶单位矩阵，A，是A的转置矩阵),|A|<0,求人十”.十、填空题(本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设x表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E(X2)=.(2)设x和丫为两个随机变量，且34PX_0,Y_0，PX_0=PY_0=：,贝UPmax(X,Y)20=.十一、(本题满分6分)设随机变量x的概率密度为fx(x)=e'x-0,|0x：二0求随机变量Y=eX的概率密度fY(y).19