级数判敛题型与题法专题讲座

1、级数判敛题型与题法专题讲座智 轩一级数判敛的数学定势级数考点不外乎两大方面（本讲为判敛法）： 1、 判 敛；2. 展开与求和。我们只要掌握正项级数的5大判敛方法，对于任意项级数或函数项级数加上绝对值后，也就转化为正项级数的5大判敛类型了。不过这时原来的正项级数的“收敛和发散”概念成为“绝对收敛和条件收敛或发散”的概念。作为任意项级数的特例的交错级数还要掌握莱布尼茨判敛法，对于函数项级数的幂级数还要掌握阿贝尔定理，三角函数的付里叶级数还要掌握狄利克雷定理。二、正项（不变号）级数敛散性的5大判据与常用技巧1. 达朗贝尔比值法 2. 柯西根值法 3. 比阶极限法 核心思想，贯穿整个判敛题型。 代数式

2、 极限式 ，其中：和都是正项级数。 应用技巧 大收小收，小发大发，同阶同敛散。只有大收小发情形下，比较法才可判敛。评 注： 判别正项级数收敛的一般思路：先看是否成立，如不成立，则发散，如收敛，则根据级数通项的特点考虑比值法或根值法，如果比值法或根值法的极限不易求出或等于1，则使用比较法或其极限形式。 比阶法的极限形式是核心方法，必须熟谙应用技巧，否则读者在做题时会糊涂。比较法中最常用的技巧是找到合适的基准级数。主要技巧有3：对原级数通项放缩、利用同阶无穷小及利用佩亚若余项泰勒展开。 凡是由达朗贝尔比值法给出的收敛性结论，由柯西根值法必可以给出相同的结论；反之却不一定（参见例1）。4柯西积分法

3、若为非负数递减连续函数，则基数与积分的两散性相同。5对数判敛法若时，成立，则正项级数收敛，否则发散。三、级数敛散性判定的模型和基准 模 型 常常用作基准收敛的级数主要有2个： ，常常用作基准发散的级数有3个 四、级数敛散性判定过程中需要用到的基本结论1不等式 平均值不等式： 对数不等式： 三角不等式： 积分比较不等式：如 ； 型不等式：为严格单调增加序列2阶次级别 的无穷大阶次由低到高排列，此结论相当重要，务必记住！ 五、级数敛散性判定的部分题型和题法与技巧题型一达朗贝尔比值法与柯西根值法的题型【例1】讨论级数的收敛性。 解：根据达朗贝尔比值法，有 根据柯西根值法，有 可见，柯西根值法审敛精度

4、高。【例2】讨论级数的收敛性解：因为 ，故该级数收敛。【例3】，试讨论级数的敛散性。 解：题型二 比阶极限法的题型【例4】讨论级数的收敛性解：，故该级数发散。【例5】讨论级数的收敛性解：，故该级数发散。【例6】讨论级数的收敛性解：【例7】讨论级数的收敛性解：【例8】讨论级数的收敛性解：根据对数不等式放缩通项 ，故该级数收敛。【例9】讨论级数的收敛性解： ，故该级数发散。【例10】讨论级数的收敛性解: ，故该级数收敛。【例11】讨论级数的收敛性解: ，我们只要讨论。，故该级数收敛。【例12】讨论级数的收敛性解: ，故该级数发散。【例13】判别（1） 和（2） 的敛散性。解：(1) 根据只有大收小发才可判敛的原则，无法判断的敛散性； 显然，要想办法让比较极限为零。 故我们另选参考级数根据大收小收，小发大发 ， (2)对 选比较基准级数 故原级数收敛。评 注：如能利用等价无穷小等手段估计出级数一般项的阶次，选用的比较基准级数形式就很容易确定。 如级数，可直接选用基准级数就可知原级数收敛。 又如级数，也可选用基准级数就可知原级数收敛。【例14】判别级数的敛散性 解 方法一：试探比阶法 上述极限=，故原级数收敛。 方法二：泰勒展开法 题型三 对数判敛法的题型【例15】讨论级数的收敛性解： 时该级数收