(完整word版)导数中求参数的取值范围

1、导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法1.分离参数，恒成立转化为最值问题2.分离参数，结合零点和单调性解不等式3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意1 已知函数 fxex - ax （ a R ， e 为自然对数的底数）（ ）讨论函数 f x 的单调性；（ ）若 a 1 ，函数 gxxmfxexx2x 在 2,上为增函数，求实数 m 的取值范围解：（ ）函数 f的定义域为 R ， fxa xxe当 a0 时， fx0 ， fx 在 R 上为增函数；当 a0 时，由 fx 0 得 xln a，当 x,ln a时， fx0 ，函数 fx在,ln a上为减函数，当 xln a,时， fx0 ，

2、函数 fx在 ln a,上为增函数 4分（ ）当 a 1 时， gxx mexx exx2x ，gx 在 2,上为增函数； gxxexmexm 10在 2,上恒成xex1m立，即ex1 在 2,上恒成立，6分2xex2exex exx 2xexexhx1hxx2x2ex1 ， x 2,e 1e 1令，则，令 Lxexx2 ， L xex 1 0 在 2,上恒成立，即 Lxexx2在 2,上为增函数，即 LxL 2e240 ，xex1hxh 22e21hx0 ，即h x1在2,e21 ，ex上为增函数， 2e212e21, 2m1 ，所以实数 m 的取值范围是1 12 分e2e12(2016 &

3、#183;全国甲卷 )已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1， f(1)处的切线方程；(2)若当 x (1， )时， f(x)0，求 a 的取值范围解： (1)f(x)的定义域为 (0， )当 a 4 时， f(x) (x1)ln x4(x1)，1f(1)0，f (x)ln xx3，f (1) 2.故曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.a x1(2)当 x(1， )时， f(x) 0 等价于 ln x 0.x1a x 1设 g(x)ln x，x112a2x2 2 1a x1则 g (x)xx x12，g(1) 0.x1当

4、a 2，x(1， )时， x22(1a)x 1 x22x 1 0，故 g(x)0，g(x)在(1， )上单调递增，因此g(x) 0；当 a2 时，令 g (x)0 得 x1 a 1a 1 21，x2 a1a 1 2 1.由 x21 和 x1 x2 1 得 x11，故当 x(1， x2)时， g (x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)0.综上， a 的取值范围是 ( ，23(2016 ·全国乙卷 )已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2 有两个零点(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1， x2 是 f(x)的两个零点，证明： x1x2<2.解： (1)f

5、(x) (x1)ex 2a(x1) (x1)(ex2a)设 a0，则 f(x)(x2)ex， f(x)只有一个零点设 a>0，则当 x(， 1)时， f (x)<0；2当 x (1， )时， f (x)>0，所以 f(x)在(， 1)内单调递减，在 (1， )内单调递增a又 f(1) e，f(2)a，取 b 满足 b<0 且 b<ln 2，则 f(b)>a(b 2) a(b1)2 a b23b >0，22故 f(x)存在两个零点设 a<0，由 f (x) 0 得 x1 或 x ln( 2a)e若 a 2，则 ln( 2a)1，故当 x(1， )时

6、，f (x)>0，因此 f(x)在 (1， )内单调递增又当 x 1 时， f(x)<0，所以 f(x)不存在两个零点e若 a<2，则 ln( 2a)>1，故当 x(1，ln( 2a)时， f (x)<0；当 x (ln( 2a)， )时， f (x)>0.因此 f(x)在(1， ln( 2a)内单调递减，在 (ln( 2a)， )内单调递增又当 x 1 时， f(x)<0，所以 f(x)不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0， )(2)证明：不妨设 x1<x2，由 (1)知， x1 ( ，1)， x2(1， )，2x2( ，1)，又 f(

7、x)在(， 1)内单调递减，所以 x1x2 <2 等价于 f(x1)>f(2x2)，即 f(2 x2 )<0.由于 f(2x2) x2e2 x2a(x2 1)2，而 f(x2)(x22)ex2a(x2 1)2 0，所以 f(2x2) x2e2 x2(x2 2)ex2 .设 g(x) xe2x (x2)ex，3则 g (x)(x1)(e2xex)所以当 x>1 时， g(x)<0，而 g(1) 0，故当 x>1 时， g(x)<0.从而 g(x2)f(2 x2)<0，故 x1x2<2.4已知函数 f(x)ax 1 ln x(aR)(1)讨论函

8、数 f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数 f(x)在 x 1 处取得极值， ? x (0， )，f(x) bx2 恒成立，求实数 b 的取值范围1ax1解： (1)由已知得 f (x)axx(x0)当 a 0 时，f (x) 0 在(0，)上恒成立，函数 f(x)在(0，)上单调递减，f(x)在(0， )上没有极值点1当 a 0 时，由 f (x)0，得 0xa，1由 f(x)0，得 xa，11f(x)在 0， a 上单调递减，在a， 上单调递增，1即 f(x)在 xa处有极小值当 a 0 时， f(x)在(0 ， )上没有极值点，当 a 0 时， f(x)在 (0， )上有一个极值

9、点(2)函数 f(x)在 x1 处取得极值， ，解得， 1ln x2? 1 b，f(1) 0a1f(x)bxxx1ln xln x2令 g(x)1x x ，则 g(x) x2 ，令 g (x)0，得 xe2则 g(x)在(0， e2)上单调递减，在 (e2， )上单调递增，4g(x)min g(e2) 1 1 ，即 b 1 1 ，e2e21故实数 b 的取值范围为， 1 e2 5(2015 ·全国卷 )已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于2a 2 时，求 a 的取值范围1a.解： (1)f(x)的定义域为 (0

10、， )， f(x)x若 a 0，则 f (x)>0，所以 f(x)在 (0， )上单调递增1若 a>0，则当 x 0，a 时， f (x)>0；1当 x a， 时， f (x)<0.所以 f(x)在 0，1上单调递增，在1a， 上单调递减a(2)由(1)知，当 a 0 时， f(x)在 (0， )上无最大值；1当 a>0 时， f(x)在 x a处取得最大值，最大值为111f a lna a 1 a ln aa 1.1因此 fa >2a2 等价于 ln aa1<0.令 g(a)ln a a 1，则 g(a)在(0， )上单调递增， g(1)0.于是，当

11、 0<a<1 时， g(a)<0；当 a>1 时， g(a)>0.因此， a 的取值范围是 (0,1)6(2016 ·全国甲卷 )已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1， f(1)处的切线方程；(2)若当 x (1， )时， f(x)0，求 a 的取值范围解： (1)f(x)的定义域为 (0， )当 a 4 时， f(x) (x1)ln x4(x1)，51f(1)0，f (x)ln xx3，f (1) 2.故曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.a x1(2)当 x(1， )时， f(

12、x) 0 等价于 ln x 0.x1设 g(x)ln xa x 1，x112ax22 11a x则 g (x)xx1 2x x1 2，g(1) 0.当 a 2，x(1， )时， x22(1a)x 1 x22x 1 0，故 g(x)0，g(x)在(1， )上单调递增，因此g(x) 0；当 a2 时，令 g (x)0 得 x1 a 1a 1 21，x2 a1a 1 2 1.由 x21 和 x1 x2 1 得 x11，故当 x(1， x2)时， g (x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此 g(x)0.综上， a 的取值范围是 ( ，27.(2016 山·东高考 )设 f(x) x

13、ln xax2(2a1)x，a R(1)令 g(x) f (x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数a 的取值范围解： (1)由 f (x)ln x2ax2a，可得 g(x)ln x2ax2a， x (0， )1 12ax所以 g (x) x 2a x 当 a 0， x (0， )时， g (x)0，函数 g(x)单调递增；1当 a 0， x 0，2a 时， g(x)0，函数 g(x)单调递增，1x 2a， 时， g(x) 0，函数 g(x)单调递减所以当 a 0 时， g(x)的单调增区间为 (0， )；6当 a 0 时， g(x)的单调增区间为0，1

14、，单调减区间为1， 2a2a(2)由(1)知， f (1) 0 当 a 0 时， f (x)单调递增，所以当 x(0,1)时， f (x)0，f(x)单调递减；当 x (1， )时， f (x)0，f(x)单调递增所以 f(x)在 x 1 处取得极小值，不合题意1 1当 0a2时， 2a1，1由(1)知 f(x)在 0， 2a 内单调递增，1可得当 x(0,1)时， f (x)0，当 x 1，2a 时， f (x)01所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在1，2a 内单调递增，所以 f(x)在 x 1 处取得极小值，不合题意1 1当 a2时， 2a1，f (x)在 (0,1)内单调递增，在

15、(1， )内单调递减，所以当 x(0， )时， f (x) 0，f(x)单调递减，不合题意11当 a2时， 02a1，1当 x 2a， 1 时， f(x)0，f(x)单调递增，当 x (1， )时， f (x)0，f(x)单调递减所以 f(x)在 x 1 处取极大值，符合题意1综上可知，实数a 的取值范围为2， m8.(2016 ·海口调研 )已知函数 f(x)mx x ， g(x)3ln x(1)当 m 4 时，求曲线 yf(x)在点 (2，f(2)处的切线方程；(2)若 x(1， e(e 是自然对数的底数 )时，不等式 f(x)g(x) 3 恒成立，求实数 m 的取值范围744解

16、： (1)当 m4 时， f(x)4x x， f(x)4x2，f (2)5，又 f(2)6，所求切线方程为 y65(x2)，即 y 5x4(2)由题意知， x(1，e时，mmx x 3ln x3 恒成立，即 m(x2 1)3x 3xln x 恒成立，x(1， e，x210，3x 3xln x则 m恒成立x213x3xln x令 h(x)， x (1， e，x21则 mh(x)min 21· 3 x21· 3 x lnx 6lnx 6h(x)x21 2，x2 1 2x(1， e，h (x)0，即 h(x)在(1， e上是减函数当 x (1， e时， h(x)min h(e)9

17、 e 2 e19 em 的取值范围是 ， 2e2 9.(2017 ·福建省质检 )已知函数 f(x) axln( x1)，g(x) exx1曲线 y f(x)与 y g(x)在原点处的切线相同(1)求 f(x)的单调区间；8(2)若 x0 时， g(x) kf(x)，求 k 的取值范围解： (1)因为 f (x) a1(x 1)，g(x)ex 1，x 1依题意， f (0)g(0)，即 a10，解得 a1，1x所以 f (x) 1，x 1x1当 1 x 0 时， f (x) 0；当 x0 时， f (x) 0故 f(x)的单调递减区间为 (1,0)，单调递增区间为 (0， )(2)由(1)知，当 x 0 时， f(x)取得最小值 0，所以 f(x)0，即 xln(x1)，从而 ex x1设 F(x)g(x)kf(x)exkln(x1) (k1)x1，则 F (x) exkk(k1) x 1 (k1)，x1x 1()当 k1 时，因为 x 0，所以 F (x)x1 1 当且仅当x02 0(x1时等号成立 )，此时 F(x)在 0， )上单调递增，从而 F(x) F (0)0，即 g(x) kf(x)()当 k1 时，因为 f(x) 0，所以 f(x)kf(x)由()知 g(x) f(x)0，所以 g(x)f(x) kf