(完整版)必修四平面向量数量积的物理背景及其含义(附答案)VIP

1、平面向量数量积的物理背景及其含义 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律， 理解其几何意义 .3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直知识点一平面向量数量积的定义(1) 定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 ab，即 ab|a|b|cos ，其中 是 a 与 b 的夹角(2) 规定：零向量与任一向量的数量积为0.知识点二向量数量积的几何意义1投影的概念垂直于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1 |b|cos .

2、如图所示： OA a， OB b，过 B 作 BB1|b|cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影，|a|cos 叫做向量a 在 b 方向上的投影2数量积的几何意义：ab 的几何意义是数量积ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积思考|a| 1， |b| 2， a 与 b 的夹角120，则 a 在 b 方向上的投影为_， b 在 a方向上的投影为_1 1答案 2解析 a 在 b 方向上的投影 |a|cos 1 cos 120 1；2b 在 a 方向上的投影 |b|cos 2 cos 120 1.知识点三平面向量数量积的性质根据向量数量积的定义，补充完整数量

3、积的性质设 a 与 b 都是非零向量，为 a 与 b 的夹角(1) 当 a， b 0 时， ab |a|b|；当 a， b 时， ab |a|b|；当 a， b 2时， ab0；(2) aa|a|2 或 |a|aaa2；ab(3)cos ；|a|b|(4)|ab| |a|b|.(5)(a b)2 a2 2ab b2 ；(6)(a b)2 a2 2ab b2 ；(7)(a b) (a b) a2 b2.知识点四向量数量积的运算律(1) abba(交换律)；(2)( a) b (ab) a(b)(结合律)；(3)(a b) c acbc(分配律 )思考某同学由实数乘法的三条性质：ab 0? a 0

4、 或 b 0；ab bc，b 0? ac；( ab)ca(bc)；类比得到向量数量积的三条结论：ab 0? a 0 或 b 0；ab bc， b 0? a c；( ab)c a(bc)，这三条结论成立吗？请简要说明答案 不成立，因为任意垂直的两向量a 与 b 都有ab 0.不成立，如图所示.虽然 ab bc，但 a c.不成立， 因为 (ab)c 表示一个与 c 共线的向量， 而 a(bc)表示一个与 a 共线的向量， c 与 a 不一定共线， 所以 (ab)c a(bc)，一般情况下不会成立题型一求两向量的数量积例 1已知 |a| 4， |b| 5，当 (1)a b； (2) a b； (3

5、)a 与 b 的夹角为数量积30时，分别求a 与b 的解 (1)a b，若 a 与 b 同向，则 0， ab |a| |bcos 04 520；若 a 与 b 反向，则 180，ab |a| |b|cos 180 4 5 ( 1) 20.(2) 当 ab 时， 90， ab|a| |b|cos 90 0.(3) 当 a 与 b 的夹角为30时， ab|a| |b|cos 30 4 5 3 10 3.2跟踪训练1已知 |a|4， |b| 7，且向量a 与 b 的夹角为120，求 (2a3b) (3a 2b)解 (2a 3b) (3a 2b) 6a2 4ab 9ba6b2 6|a|2 5ab 6|

6、b|2 6 42 5 4 7cos 120 6 72 268.题型二求向量的模例 2已知 |a| |b| 5，向量 a 与 b 的夹角为，求 |a b|， |a b|.3解 ab|a|b|cos 5 5 1 25. 2 2|a b|a b 2|a|2 2ab|b|2 25 2 25 25 5 3. 2|a b|a b 2|a|2 2ab|b|225 25 2 2 25 5.跟踪训练2已知向量a 与 b 的夹角为120，且 |a| 4， |b|2，求：(1)|a b|；(2)|(a b) (a 2b)|.解由已知 ab |a|b|cos 4 2 cos 120 4，a2 |a|2 16， b2

7、|b|2 4.(1) |ab|2 (ab)2 a22ab b2 16 2 ( 4)4 12， |a b| 2 3.(2) (a b) (a 2b) a2 ab 2b2 16 ( 4) 24 12，|(a b) (a 2b)|12.题型三求向量的夹角例 3设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是解 |n| |m| 1 且 m 与 n 夹角是 60，60，求向量a 2m n 与b 2n 3m的夹角1 1 mn |m|n|cos 60 1 1 .2 2|a| |2m n|2m n 24 1 14mn 4 11 4 12 7，|b| |2n 3m|2n 3m 2 4 19 1 12mn14 19 1

8、12 27，ab(2m n) n(2 3m) mn 6m2 2n21 6 1 2 17.22设 a 与 b 的夹角为 ，则ab 71cos 2.2|a|b|7 722又 0 ， ， 3 ，故 a 与 b 的夹角为3 .跟踪训练 3已知 |a|5，|b| 4，且 a 与 b 的夹角为60，则当 k 为何值时，向量kab 与 a2b 垂直？解要想 (ka b) (a 2b)，则需 (ka b) (a2b) 0，即 k|a|2 (2k 1)ab2|b|2 0， 52k(2k 1) 5 4 cos 60 2 42 0，解得 k 14，即当 k14时，向量ka b 与 a2b 垂直1515平面向量数量积

9、分配律的证明例 4下面是证明分配律(a b) c ac bc 的过程，请你补充完整证明：当a b 与向量 c 夹角为直角时，如图(1)所示，向量 a b 在向量 c 方向上的投影|a b|cos a b， c 0；向量 a 在向量 c 方向上的投影为|a|cosa， c OA1，向量 b 在 c 方向上的投影为|b|cos b，c OB1，易知 OA1 与 OB1 互为相反数，即OA1 OB1 0.所以 |a|cos a， c |b|cos b， c |a b|cos a b， c两边乘以 |c|得：|a|c|cos a， c |b|c|cos b， c |a b|c|cos a b， c，

10、acbc (a b) c，即 (a b) c ac bc.当 a b 与向量 c 夹角为锐角时，如图 (2) 所示，向量 a b 在向量 c 方向上的投影为|a b|cos a b， c OC ；1向量 a 在向量 c 方向上的投影为图 (2)|a|cosa， c OA1，向量 b 在 c 方向上的投影为 |b|cos b，c OB1，OC1 OA1 A1C1， A1C1 OB1，OC111，OA OB |a b|cos a b， c |a|cos a， c |b|cos b，c两边同乘以 |c|得：|a b|c|cosa b， c |a|c|cos a， c |b|c|cos b， c，即

11、(a b) cacbc.当 a b 与向量c 夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a b) cacbc.图 (3)1已知向量 a， b 和实数 ，下列选项中错误的是()A |a| aaB |ab| |a|b|C (ab) a bD |ab| |a|b|2已知 |a|1， |b| 2，且 (a b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是 ()A60B 30C 135 D453若向量 a， b 满足 |a| |b| 1， a 与 b 的夹角为120 ，则 aaab _.4给出下列结论：若 a 0，ab0，则 b 0；若 abbc，则 a c； (ab)c a(bc)； ab(ac) c(ab

12、) 0.若 |a b| |a b|，则 a b.其中正确结论的序号是_一、选择题1|a| 2，|b| 4，向量 a 与向量 b 的夹角为 120 ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于 ()A 3B 2C 2D 12已知 a b， |a| 2， |b|3，且 3a 2b 与 a b 垂直，则 等于 ()A.3B 33D 122C23已知向量 a， b 满足 ab 0， |a|1， |b| 2，则 |2a b|等于 ()A 0B2 2C 4D 84已知 |a| 2|b| 0，且关于 x 的方程 x2 |a|x ab0有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是()A0，6B 3， 2C 3，

13、3 D 6， 5若非零向量 a， b 满足 |a| |b|，(2ab) b 0，则 a 与 b 的夹角为 ()A30B60C 120 D1506若向量 a 与 b 的夹角为60， |b| 4， (a 2b) (a 3b) 72，则向量 a 的模为 ()A 2B 4C 6D 12二、填空题27已知向量a 在向量 b 方向上的投影是3， |b| 3，则 ab的值为 _8已知向量a 与 b 的夹角为120 ，且 |a| |b|4，那么 b (2a b)的值为 _9设非零向量a、 b、 c 满足 |a| |b| |c|， a b c，则 a， b _.10已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足

14、 b(a b) 0，则 |b|的取值范围是_三、解答题11已知 |a| 4， |b| 8， a 与 b 的夹角是60，计算：(1)(2 a b) a(2 b)； (2)|4a 2b|.12已知非零向量a，b，且 a 3b 与 7a5b 垂直，a4b 与 7a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角13已知 |a|1， |b| 1， a，b 的夹角为120 ，计算向量2a b 在向量 a b 方向上的投影当堂检测答案1答案B解析 因为 |ab| |a| |b|cos |(为向量 a 与 b 的夹角 )|a| |b|cos，当且仅当 0 或 时，使 |ab| |a| |b，故 B 错2答案 C解析 (a

15、 b) aa2ab 0，ab a2 1，ab 12cos a， b |a|b|1 22 .又 a， b 0 ， 180， a， b 135.13 答案21解析aa ab12 1 1cos 120 2.4 答案解析因为两个非零向量a、b 垂直时， ab0，故 不正确；当 a 0，bc 时，abbc0，但不能得出ac，故 不正确； 向量 (ab)c与 c 共线， a( bc)与 a 共线，故 不正确；正确， ab (ac) c( ab ) ( ab)(ac) (ac)(ab) 0.正确， |ab| |a b|? (a b)2 (a b)2? ab 0? a b.课时精练答案一、选择题1.答案D解析

16、a 在 b 方向上的投影是|a|cos 2 cos 120 1.2答案A解析 (3a 2b) (ab) 3a2 (2 3)ab2b2 3a2 2b2 12 18 0. 3. 23答案B解析|2a b|2 (2ab)24|a|2 4ab |b|2 4 1 4 0 48， |2ab| 22.4 答案B解析因为a2 4|a| |b|cos (为向量a 与b 的夹角 )若方程有实根，则有0 即a2 4|a| |b|cos 0，又|a| 2|b|，4|b|2 8|b|2cos 0， cos 12，又 0 ， .35答案C解析由 (2a b) b0，得 2abb20，设 a 与 b 的夹角为， 2|a|b

17、|cos |b|2 0.221， 120.cos |b| |b| 22|a|b|2|b|26答案 C解析 ab|a| |bcos602|a|， ( a 2b) (a 3b) |a|2 6|b|2 ab |a|2 2|a| 96 72. |a| 6.二、填空题7答案2解析ab|a| |b|cos a， b |b|a|cos a，b 3 2 2.38答案0解析b(2a b) 2ab|b|2 2 4 4 cos 120 42 0.9 答案120 解析 a b c， |c|2 |a b|2 a2 2ab b2.又|a| |b| |c|， 2ab b2，即 2|a|b|cos a， b |b|2. cos a， b 1， 2 a， b 120.10 答案0,1解析b(a b) ab|b|2 |a|b|cos |b|2 0， |b| |a|cos cos (为 a 与 b 的夹角 )， 0 ， ， 0 |b| 1.三、解答题11 解(1)(2a b) a(2b) (2a)2 b2 4|a|2 |b|24 42 82 0.(2) |4a 2b|2 (4a 2b)2 16a2 16ab 4b2 16 42 164 8 cos 60 4 82 256. |4a 2b|16.12 解由向量垂直得a 3b 7a 5b 0，a 4b 7a 2b 07a2 16a