(天津卷)普通高等学校招生全国统一考试(数学文)(word版,有答案)

1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学 (文史类)本试卷分第I 卷 ( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第I 卷1 至3页。第卷4 至 11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。3 本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。参考公式：如果事件A、 B互斥，那么棱柱的

2、体积公式V=Sh.P( AB)P( A)P( B)其中S 表示棱柱的底面积.h表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)i是虚数单位，复数3i=1i(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i (D)2-ixy3,(2) 设变量x， y满足约束条件xy1,则目标函数z=4x+2y的最大值为y1,（ A）12（B）10（C）8（D）2(3) 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出(A)-1(B)0(C)1(D)3s 的值为（ 4）函数 f （ x） =ex x 2的零点所在的一个区间是(A) （ -2,-1 ） (B)（ -1,0 ）(C)（ 0,1

3、）(D)（ 1,2 ）(5) 下列命题中，真命题是(A) m R,使函数 f（x）=x 2 mx（x R）是偶函数(B) m R,使函数 f（x）=x 2 mx（x R）是奇函数(C) m R,使函数 f（ x） =x2 mx（ x R）都是偶函数(D) mR,使函数 f（ x） =x2mx（ xR）都是奇函数(6) 设，（25，则alog53），c loglog5 4 b4(A)a<c<b(B) )b<c<a(C) )a<b<c(D) )b<a<c(7) 设集合Ax|x-a|<1,xR , Bx |1x 5, x R .若A B，则实数

4、a 的取值范围是(A)a| 0a6(B)a | a2,或a4(C)a | a0, 或a 6(D)a | 2a 45（ 8 ） 右图是函数 yAsin（ x + ）（ x R）在区间 - ， 上的图象， 为了 得到 这个函数的图 6 6象，只要将ysin x（ xR ）的图象上所有的点(A) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来3的 1 倍，纵坐标不变2(B)向左平移个单位长度，再把所得各点的横 坐标伸长到原来3的 2 倍，纵坐标不变(C)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来6的 1 倍，纵坐标不变2(D)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵

5、坐标不变6（ 9）如图，在ABC中， ADAB ， BC3 BD ， AD1 ，则 AC AD =（A） 2 3（B）（10）设函3（C）3（ D）323数g ( x)x22( x R)，f ( x)g ( x)x 4, x g( x ), g ( x)x,xg( x). 则 f ( x) 的值域是9,0(1,) （B） 0,)9) （D）9,0(2, )（ A）（C）,4442010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第卷注意事项：1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。3. 本卷共 12 小题，共 100 分。题号二三总分（ 17）（

6、18）（ 19） （ 20）（ 21）（ 22）得分二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。（ 11）如图，四边形ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC相交于点 P。若 PB=1， PD=3 ，则 BC 的值为。AD（ 12）一 个几 何体 的三视 图如图 所示 ，则 这个几 何体的 体积为。（ 13）已知双曲线 x2y2 1(a0, b0) 的一条渐近线方 程a2b2是 y3x ，它的一个焦点与抛物线y216x 的焦点相同 。则双曲线的方程为。（ 14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点， 且圆 C与 直 线x

7、+y+3=0相切。则圆C 的方程为。（ 15）设 a n 是等比数列，公比 q2 ， Sn 为 a n 的前 n项和。记 Tn17SnS2 n , n N * . 设 Tn为数列 Tn 的最大项 ，an10则 n0 =。（ 16）设函数 f(x)=x-11,）， f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是 _,对任意 xx三、解答题：本大题共6 小题，共76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（ 17）（本小题满分12 分）在 ABC 中， ACcosB 。ABcosC（）证明 B=C ：（）若 cos A =- 1 ，求 sin 4B的值。33（ 18）（本小题

8、满分12 分）有编号为A 1 , A 2 , A 10 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间1.48 ，1.52 内的零件为一等品。（）从上述10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（）从一等品零件中，随机抽取2 个 .（）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（）求这2 个零件直径相等的概率。（ 19）（本小题满分12 分）如图， 在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形， FA平面 ABCD ，BC AD ，CD=1 ，AD= 22 ， BAD CDA 45° .（）求异面直线CE 与 AF 所成角的余弦值；（）证明

9、CD 平面 ABF ；（）求二面角B-EF-A 的正切值。（ 20）（本小题满分12 分）已知函数 f（ x） = ax3 3 x21(xR) ，其中 a>0.2（）若a=1，求曲线y=f （ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程；（）若在区间1 , 1上， f（x） >0 恒成立，求 a 的取值范围 .22（ 21）（本小题满分14 分）已知椭圆 x2y2 1（ a>b>0）的离心率e=3 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.a2b22（）求椭圆的方程；（）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、 B，已知点 A 的坐标为（ -a， 0） .（ i ）若 |

10、AB|= 42 ，求直线 l 的倾斜角；5在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4.求y0的值 .（ ii ）若点 Q（0，y 0）（ 22）（本小题满分14 分）在数列 an中， a1 =0 ，且对任意 kN * ， a2k1 ,a 2k ,a 2k+1 成等 差数列， 其公差为 2k.（）证明 a ,a,a成等比数列；456（）求数列an的通项公式；（）记 Tn2232n232nTn 2（ n 2）.a2a3，证明an22010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一 . 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分50 分.（1）A(2)B(3)

11、B(4)C(5)A（6）D(7)C(8)A(9)D(10)D二 . 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4 分，满分24 分.（11） 1(12)3 (13)x 2y 21341222(15)4 (16)（ -，-1）（ 14）（ x+1） y 2三. 解答题（ 17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12分.（）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得sin B = cosB . 于是 sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（ B-C） =0. 因为所以 B=C.sin CcosCBC，从而

12、B-C=0.（）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B, 故 cos2B=-cos （-2B ） =-cosA= 1 .3又 0<2B< , 于是 sin2B=1cos2 2B=22 .3从而 sin4B=2sin2Bcos2B= 42 ， cos4B= cos2 2Bsin 2 2B7.99所以 sin(4 B)sin 4 Bcoscos4 Bsin427318333（ 18）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分12 分（）解：由所给数据可知，一等品零件共有6 个 . 设“从

13、10 个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件 A，则 P（A）= 6 = 3 .105（）（ i ）解：一等品零件的编号为A1, A2 , A3, A4 , A5 , A6 . 从这 6 个一等品零件中随机抽取2 个，所有可能的结果有： A1 , A2 , A1 , A3 ,A1, A4,A1, A5, A1,A6, A2,A3 ,A2, A4 , A2, A5 , A2,A6 , A3, A4 , A3, A5 ,A3, A6, A4,A5, A4,A6 , A5,A6 共有 15 种.(ii) 解：“从一等品零件中，随机抽取的2 个零件直径相等” （记为事件 B）的所有可能结果有：A1,

14、A4 , A1, A6 , A4, A6，A2,A3 , A2, A5 , A3, A5 ，共有 6 种.62所以 P(B)=.15 5(19) 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力 . 满分 12 分 .(I) 解：因为四边形 ADEF是正方形，所以FA/ED. 故CED 为异面直线 CE与 AF 所成的角 .因为 FA 平面 ABCD，所以 FACD.故 ED CD.在 Rt CDE中， CD=1， ED=，CE=CD2ED2ED =22 .2 2=3, 故 cosCED =3CE所以异面直线 CE和 AF 所成角的余弦

15、值为232 .( ) 证明：过点 B 作 BG/CD, 交 AD于点 G，则BGACDA45 .由 BAD45 , 可得 BG AB,从而 CD AB,又 CD FA,FA AB=A,所以 CD平面 ABF.( ) 解：由（）及已知，可得AG= 2，即 G为 AD的中点 . 取 EF 的中点 N，连接 GN，则 GNEF, 因为 BC/AD, 所以 BC/EF. 过点 N 作 NM EF，交 BC于 M，则GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角。连接 GM，可得 AD 平面 GNM,故 AD GM.从而 BCGM.由已知，可得 GM= 2 . 由 NG/FA,FAGM,得2NGGM.在 Rt

16、 NGM中， tanGM1GNM,NG4所以二面角B-EF-A 的正切值为1 .4(20) 本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12分.（）解：当a=1 时， f （ x） = x33 x 2 1， f （ 2） =3； f (x)= 3x23x , f (2)=6.所以曲线 y=f2（ x）在点（ 2， f （ 2）处的切线方程为y-3=6 （ x-2 ），即 y=6x-9.（）解： f (x)= 3ax23x3x(ax 1) . 令 f (x)=0，解得 x=0 或 x=1 .a以下分两种情况讨论：（1）

17、 若0a 2，则 11，当 x 变化时， f (x) ， f （ x）的变化情况如下表：a21，1X00，202f (x)+0-f(x)极大值f (1 )0,5a0,118当 x2即， 时， f（ x） >0 等价于f ( 1)220,5a0.28解不等式组得 -5<a<5. 因此 0a 2 .（ 2）若 a>2，则 011（x）的变化情况如下表：a. 当 x 变化时， f (x),f2X1，011110，20aaa2f (x)+0-0+f(x)极大值极小值11f(-1)>0,5a >0,当 x2即82， 时， f （ x） >0 等价于112f(1-

18、2 >0.)>0,2aa解不等式组得2a5 或 a22. 因此 2<a<5.2综合（ 1）和（ 2），可知 a 的取值范围为 0<a<5.（ 21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、 两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14分.（）解：由 e= c3，得 3a24c2. 再由 c2a2b2 ，解得 a=2b.a2由题意可知 12a2b4 ，即 ab=2.2a2b,得 a=2， b=1.解方程组2,ab2所以椭圆的方程为xy21.4( )(i)解

19、：由（）可知点A 的坐标是（ -2,0 ） . 设点 B 的坐标为 (x1, y1 ) ，直线 l 的斜率为k.则直线 l 的方程为 y=k （x+2） .yk(x 2),于是 A、 B两点的坐标满足方程组x2y2消去 y 并整理，得1.4(1 4k 2 ) x216k 2 x(16k 24)0 .由2x116k24，得 x128k 2. 从而 y114k.14k 214k 24k22 2 8k 224k24 1 k 2所以 |AB|.14k 214k214k 2由|AB|4 2 ，得 4 1 k24 2 .514k 25整理得 32k 49k 2230 ，即 (k 21)(32k 223)0

20、，解得 k= 1.所以直线 l 的倾斜角为或 3 .44（ ii ）解：设线段AB的中点为 M，由（ i ）得到 M的坐标为8k 22 ,2k2.14k1 4k以下分两种情况：（ 1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0 ），线段 AB的垂直平分线为y 轴，于是QA2,y0,QB2,y0.由QAQB4，得 y022 。（ 2）当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为y2k1x18k 2。14k 2k4k2令 x0 ，解得 y06k。14k 2由 QA2, y0， QB x , yy ，110QA QB 2 x1y0 y1y02 28k 26k4k6k14k 214k 214k214k24 16k 415k 214 ，14k 22整理得 7k 22。故 k14。所以 y0214。75综上， y22 或 y214005（ 22）本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14 分。（ I）证明：由题设可知，a2a122 ， a3 a224 ， a4 a348 ， a5a4 4 12 ，a6 a5618 。从而