(完整word)三角恒等变换各种题型归纳分析,推荐文档

1、河南省叶县高级中学数学组郑志祥整理编写三角恒等变换基础知识及题型分类汇总一、知识点：（一）公式回顾：coscoscossinsin简 记 ：C（）.sinsincoscossin.简 记 ：S（）tan()tantan,简记：T1tantansin 22 sincos ， 简 记 S 2cos 2cos 2sin 2,简记C2tan 22 tan(k且k）简 记T 21 tan224,2cos2cos2sin22cos2112sin2二倍角公式不仅限于2是的二倍的形式，其它如4是 2的两倍， /2 是 /4 的两倍， 3是3 /2 的两倍， /3 是 /6 的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公

2、式。因此，要理解“二倍角 ”的含义，即当=2时，就是的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。（二）公式的变式1sin 2(sincos) 21cos22 cos21cos22 sin2cos21cos221coscos221cossin22sin 21 cos2sin21cos2tan1cossin1cos2cos1costan21cos1cossin2公式前的号，取决于2辅助角（合一）公式：所在的象限，注意讨论.a sin xb cosxa 2b 2a 2asin xbb 2cos xb 2a 2a 2b 2 sin(x)其中tanba二典例剖析：基础题型河南省叶县高级中学数学组

3、郑志祥整理编写题型一：公式的简单运用例 1:5 , 求 sin 4, cos 4, tan 4 .课本例题 已知 sin 21342同型练习 已知 cos12 , ,求 sin, cos, tan .21322课本例题在ABC中，42,求tan(2A2B).cos A, tan B5提高练习 已知 sin x3 , x, tan(y)1 ,求 tan(x 2y).522题型二：公式的逆向运用例 2:求下列各式的值：1.(1) sin 22.5 cos22.5 ; ( 2)2 tan15; (3)12sin 2 751tan2 15化简下列各式：2.1 tan23(1) sin 42cos4;(

4、2)32; (3) sin4cos42tan2求值：cos53.(1) cos12; ( 2) cos36 cos7212题型三：升降幂功能与平方功能的应用例 3.1.化简下列各式：(1)1sin 40 ; (2)1sin;(3)1cos20 ; (4)1cos化简： 1sin 2cos21sin 2cos22.(1)sin 2cos2;(2)sin 2cos2113.已知 sin xcos x1 ,0x, 求 sin 2x和 cos2x.3提高题型：题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形）例 11 .sin3 cos1212当锐角取何值时, (13 ) sin 2(

5、13 ) cos 2有最大值？并求这个最大值.2 .求3 sin( x 10) 5 sin( x 70的最大值.3. y)方法：角不同的时候，能合一变换吗？河南省叶县高级中学数学组郑志祥整理编写求函数y 2sin( x 10 )2 cos(x的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值 时的 的值4.55 )x.5. f ( x)a sin xb cosx,当f (且的最小值为k时，求的取值范围.) 1f (x)k3求函数y32sin x 的值域.6.22 cosx方法：1.转化为与圆有关的最值2.合一变换 +有界性3.万能公式换元为二次分式题型 2：角的变换（1）把要求的角用已知角表示例 21.

6、已知,为锐角， sin8, cos()21 , 求 cos的值 .1729类似题 ,为锐角 , cos4 , tan()1, 求 cos的值 .532.已知23, sin()3,cos()12, 求 cos 2的值 .4513类似题 已知 cos21 ,sin22, 且2,0, 求 cos.9322方法： 1、想想常见的角的变换有哪些？2、求值时注意讨论研究角的范围。3.cos43 ,sin512 ,且0,4, 3, 求 sin().541344类似题 已知,3，0,，3 ，35,求sin().4cos45sin413444.已知 sin( 2)2 sin , 求证：tan3 tan().类似

7、题 已知7 sin3sin(),求证：2)5 tan .2 tan(22证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角.（ 2）互余与互补3tan61.已知 cos xm, 则 sin 2x_ .2.化简：413 cot33.已知 sinx3,求 sin 2x4.已知 cosx37x7，求sin 2x2sin 2 x454, 且1241tan x5方法：善于发现补角和余角解题，关注4x ,4x , 2 x三者关系题型 3：非特殊角求值例 3:1.2 cos10sin 20 ; 类似题 sin7cos15 sin8cos 20cos7sin15 sin82.13;类似题 13sin 10si

8、n 50cos50cos10河南省叶县高级中学数学组郑志祥整理编写3. tan1; 类似题 sin 2cos28tan1281212 sin 704.2sin 1705.( tan10cos103)sin 506.1 cos20sin10 ( cot 5 tan 5 )2 sin 201317.cos2 10cos20cos2 808. 2 sin 50sin10 (13 tan10 ) 2 sin2 80方发： (1) 减少非特殊角的数量；(2)注意“倍”、“半”。题型 4：式的变换1、 tan( ± ) 公式的变用tantantan()(1tan tan)1tantan()1ta

9、n)1tan1tan(4tan4例 4:化简：1. tantantantan;类似题 tan111tan114tan111tan1141261262.tan 18tan 423 tan18tan 42 类似题 tan(x)tan(x)3tan(x) tan(x)3. tan 20tan 60tan 60tan10tan10tan 2066664.(1tan1 )(1tan 2)(1tan 44 )(1tan 45 )5.tan(18x) tan(12x)3 tan(18x)tan(12x)x)tan(x6.tan()2442由 5可推广：4,则 (1tan)( 1tan) 2, 为什么？2、齐

10、次式sincos1.1212sincos1212已知tan, tan是方程6x25x1的两个实数根 求: (1) tan()的值；2.0.2()cos() sin()2的值(2) sin3cos ().河南省叶县高级中学数学组郑志祥整理编写3、 “ 1的”运用（ 1± sin , 1± cos凑完全平方）1.化简下列各式：(1)1 sin;(2) 1cos化简： 1sin 2cos 21sin 2cos 22.(1)1sin 2cos 2; (2)sin 2cos 213.已知 sin xcos x1 ,0x, 求 sin 2x和 cos2 x.34、两式相加减，平方相加减

11、1.已知 sinsin3 , coscos4 ,求 cos().55类似题 1已知 cossin1 ,sincos1 , 求 sin().23类似题 2已知 sinsinsin0, coscoscos0, 求 cos().2.已知 cos()1 , cos()3 , 求 tantan的值 .55类似题 已知 sin()1, sin()1, 求 tan的值 .23tan全国锐角ABC中, sin(A31求证：2 tan B3.(2004)B),sin(A B),(1)tan A55(2)若AB3,求AB 边上的高 .类似题中BAC45 ,BC边上的高把BC分成BD的两部分，求ABC的面积.ABC

12、 ,2,DC 35、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）求值：1.cos36cos722.sin103.cos11sin 30211sin 50311sin 70411cos511 类似题 sin 6 sin 42 sin 66 sin 78xxx242题型5：函数名的变换要点： (1)切化弦； (2)正余互化32,2例 5: 1.(1)若 fxx求证： fx) sin17x(2)xR nZ且f(sinx)n1)x求fx)(cos) cos17,(sin,sin(4,(cos化简2 cos213.化简sin 2(1tan 2tan).2.) sin 2 ()2 tan(44若锐角,满足tant

13、an13且sin()5求(1) cos(); (2) cos().4.,73题型 6：给值求角要点：先确定角的范围（尽可能缩小），再选择恰当的函数例 6:河南省叶县高级中学数学组郑志祥整理编写1. , 为锐角 , cos25, sin10, 求的值.510类似题 已知,为钝角且sin5, sin10,求的值.,5102. , 为锐角 , tan1 , tan1 , tan1 , 求.258已知tan()11且(0,),(0,),求2的值.3., tan,27类似题 已知0,0,且3sinsin(2),4tan1 tan2,求的值.4422已知3sin22sin21,3sin 22sin 20,

14、为锐角，求2 .4.题型 7：化简与证明方法：上述7 类常见方法思路：变同角，变同名，变同次例 7:已知7 sin3sin(),求证：25 tan1.2tan22sincossincos2.化简：111 sincos1 sincos(1sincos)(sincos)3.化简22 cos22(0)4.sin 2sin 2cos2cos21cos 2 cos2 .25.化简：1 sin3cos2 tan()cottan2cos2()422242题型 8：综合应用例 8:设sin 2xcos2x求的最小正周期；求f ( x)的值域.1. f ( x)tan x.(1)f (x)(2)cot x已知函

15、数f ( x)223 sin x cosxa,若f (x)在， 上最大值与最小值之和 为 ，求 的值2.2 cos x633a.已知函数f ( x)3 sin 2x2 sin2x, xR.3.612(1)求函数的最小正周期；求使函数f ( x)取得最大值的x的集合.f (x)(2)福建若函数f ( x) sin2x3 sin x cos x 2cos2x.4.(06)(1)求函数的最小正周期和单调增 区间；f (x)函数的图象可以由函数ysin 2x的图象经过怎样的变换 得到？(2)f ( x)河南省叶县高级中学数学组郑志祥整理编写总结：一、 S±、C±公式的逆向运用? （

16、 1）变角，以符合公式的形式 （ 2）合一变换二、角的变换? 1、变换角：要点： （ 1）把要求的角用已知角表示； （ 2）注意角的范围? 2、互余与互补三、非特殊角求值?方向：（ 1）减少非特殊角的个数（ 2）关注倍、半角关系（3）利用一些特殊的数值四、式的变换? 1、 tan( ± )公式的变用? 2、齐次式? 3、 “ 1的”运用（ 1± sin , 1± cos凑完全平方）? 4、两式相加减，平方相加减? 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）五、函数名的变换? 要点：（ 1）切割化弦； （ 2）正余互化六、倍、半角公式的功能? （ 1）升降幂功能， （ 2）平方功能（ 1± sin , 1± cos）七、给值求角问题? 要点：（ 1）先确定角的范围（尽可能缩小） ，（ 2）选择恰当的函数八、化简与证明问题? 思路：变同角，变同名，变同次补充公式（了解）sincos1sin()sin()sinsi