(完整word)空间向量与立体几何知识点,推荐文档

1、.立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨：1 、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立 空间向量的数量积运算、 共线向量定理、 共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广r rr rrr2 、当 a 、 b 为非零向量时a b 0ab 是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、 面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题r rrra bcos a, brr3 、公式ab是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（

2、但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等4 、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系， 可以确定直线与直线、 直线与平面、 平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题5 、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（ 1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量（ 2）线线垂直r rrr证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即a b 0ab .（ 3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向

3、量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量（ 4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线方向向量与平面法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题（ 5）面面平行证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；转化为线面平行、线线平行问题（ 6）面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题6 、运用空间向量求空间角（ 1）求两异面直线所成角r rrra bcos a, brr利用公式ab，0,但务必注意两异面直线所成角的范围是2 ，cosr rcos a, b故实质上应

4、有：（ 2）求线面角求直线与平面所成角时， 一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量， 通过数量积求出直线与平面所成角； 另一种方法是借助平面的法向量， 先求出直线方向向量与平面法向量的夹角，即可求出直线与平面所成的角，其关系是sin | cos |（ 3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法： 一种方法是利用平面角的定义， 在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量， 然后求出这两个方向向量的夹角， 由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角， 它与二面角的大小相等或互补7 、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的

5、距离（ 1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模（ 2）点与面的距离点面距离的求解步骤是：求出该平面的一个法向量；求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距.离备考建议：1 、空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题， 应体会向量方法在研究几何图形中的作用， 进一步发展空间想像能力和几何直观能力2 、灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题3 、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向

6、量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用 因此，应熟练掌握平面法向量的求法和用法4 、加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性第一讲空间向量及运算一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义在空间中， 既有大小又有方向的量叫做空间向量注意空间向量和数量的区别数量是只有大小而没有方向的量2、空间向量的表示方法空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大r小，用有向线段的方向表示向量的方向若向量a 对应的有向线段的起点是A，终点是B，ruuurruuuraAB则

7、向量 a 可以记为AB ，其模长为或3 、零向量r长度为零的向量称为零向量，记为0 零向量的方向不确定，是任意的由于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”4 、单位向量模长为 1 的向量叫做单位向量 单位向量是一种常用的、 重要的空间向量， 在以后的学习中还要经常用到5 、相等向量长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量若向量ra 与向量rb 相等，记为ra =rb .零向量与零向量相等， 任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关并6 、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量ra 的相反向量记为ra二

8、、共面向量1 、定义平行于同一平面的向量叫做共面向量2 、共面向量定理若两个向量rra 、 b 不共线，则向量urprra 、 b 共面的充要条件是存在实数对x、 y,.urrr使得 p = xayb 。3 、空间平面的表达式uuuruuuruuur空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对x、y 使 MPxMAyMB或对空间任一定点 O,有或uuuruuuruuuruuuurOPxOAyOBzOM （其中 x yz 1）这几个式子是M,A,B,P 四点共面的充要条件三、空间向量基本定理1 、定理rr rur如果三个向量 a 、b 、c 不共面， 那么对空间任一向量p ，存在

9、唯一的有序实数组x、y、ur rrrz，使 p = xaybzc2 、注意以下问题（ 1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底r（ 2）由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个r向量不共面，就隐含着它们都不是0 。（ 3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念rr r由空间向量的基本定理知，若三个向量a 、 b 、 c 不共面。那么所有空间向量所组成的ur urrrrr r rp | pxaybzc, x, y, zRa 、 b 、 c 生成的，所集合就是,这个集合可看做是由向量r r rr rra,

10、b, c称为空间的一个基底。a 、 b 、 c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向以我们把量都可构成空间的一个基底3 、向量的坐标表示（ 1）单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基r rri, j, k底，常用表示（ 2）空间直角坐标系r rrrr ri , j ,ki、 j 、 k 的方在空间选定一点 O 和一个单位正交基底以点 O 为原点，分别以向为正方向建立三条数轴:x 轴、 y 轴、 z 轴，它们都叫坐标轴则建立了一个空间直角坐标rrr系 O xyz,点 O 叫原点，向量 i 、 j 、 k 都叫坐标向量（ 3）空间向量的坐标给定一个空

11、间直角坐标系和向量ra ,且设ri、rrjx，.rrrrry， z）使 axiy jzk ，有序数组（ x， y， z）叫做 a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐rx, y, z标，记为 a =。uuuruuur rrrr对坐标系中任一点A，对应一个向量OA ，则 OA = axiy jzk 。在单位正交基底r r ruuuri 、 j 、 k 中与向量 OA 对应的有序实数组（ x，y，z），叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A（ x， y， z） .四、空间向量的运算1 、空间向量的加法三角形法则（注意首尾相连）、平行四边形法则，rrrr加法的运算律：交换律abbarrrrrr

12、abcabc结合律2 、空间向量的减法及几何作法uuurr uuurruuurrrr几何作法：在平面内任取一点O，作 OAa, OBb ，则 BAab ，即从 b 的终点r指向 a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义3 、空间向量的数乘运算（ 1）定义rr实数 与 a 的积是一个向量，记为a ，它的模与方向规定如下：rraar rrrrr当0 时，a 与 a 同向；当0 时，a 与 a 异向；当0 时 a0注意：rr关于实数与空间向量的积a 的理解：我们可以把a 的模扩大 （当>1 时），也可r以缩小（< 1 时），同时，我们可以不改变向量a 的方向（当0 时），也可以改变r0

13、时）。 .向量 a 的方向（当rrrr注意实数与向量的积的特殊情况，当0 时，a0；当0 ，若 a0 时，rr有 a0。rr注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算比如a ，a 无法运算。（ 2）实数与空间向量的积满足的运算律.设、是实数，则有rara（结合律）rrraaa（第一分配律）rrrrabab（第二分配律）实数与向量的积也叫数乘向量4 、共线向量（ 1）共线向量定义若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量，也r rrr叫做平行向量。若a 与 b 是共线向量，则记为a /b 。注意：零向量和空间任一向量是共线向量（ 2）共线向量定理rrrrrrrr对

14、空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）， a /b 的充要条件是存在实数使a b（ 3）空间直线的向量表示式r如果直线l是经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线， 那么对任一点O，点 Puuuruuurrr在直线 l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 OPOAta ，其中向量 a 叫做直线l 的方向向量注意：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrOPOAt AB,OPOAt OBOA(1t)OAtOB若在 l 上取 ABa ，则有ur uuuruuuruuurB OA(1 t)OAtOB上式可解决三点P、 A、B 共线问题的表示或判定1

15、uuur1uuur1 uuurtOP2OAOB当2时，2，点 P 为 AB 的中点，这是中点公式的向量表达式uuuruuur1uuuruuurOPOAOB 若 P分 AB所成比为，则115 、空间直角坐标系在空间直角坐标系中， 三条坐标轴两两互相垂直，轴的方向通常这样选择：从 z 轴的正方向看， x 轴正半轴沿逆时针方向转900 能与 y 轴的正半轴重合。让右手拇指指向x 轴正方向 食指指向 y 轴的正方向， 如果中指指向 z 轴的正方向， 那么称这个坐标系为右手直角坐标系。一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系在平面上画空间直角坐标系 O xyz 时，一般使 xOy=135 °

16、，yOz=90 °。空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，是空间向量模长公式的推广，如果知道儿何体上任意两点的坐标我们就可直接套用.设 P1 (x1, y1, z1 ), P2 (x2 , y2 , z2 )PP，则 12特别地， P （ x,y,z）到原点的距离|OP|16 、空间向量的数量积运算a b| a | | b | cosa, b( x2x1) 2( y2 y1) 2( z2 z1 )2x 2y 2z2其中a, b为 a 与 b 的夹角，范围是 0，注意数量积的性质和运算律。1. 性质若 a 、b 是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，是a 与 e 的

17、夹角，则（ 1） e aa e| a | cos（ 2） a bab0（ 3）若 a 与 b 同向，则 ab| a | | b | ；若 a 与 b 反向，则 ab| a | | b | ；特别地： aa | a |2 或 | a |a aa、b 的夹角，则 cosa b（ 4）若为| a | | b |（ 5） | a b | | a | b |2. 运算律（ 1）结合律 ( a)b( ab )（ 2）交换律 a b b a（ 3）分配律 a ( b c) a b a c不满足消去律和结合律即：a bb cac ，(a b) c 不一定等于 a( b c )【典型例题】例 1. 已知 P 是

18、平面四边形 ABCD 所在平面外一点，连结 PA、PB、PC、PD，点 E、F、G、 H 分别为 PAB、 PBC、 PCD、 PDA 的重心。求证： E、 F、 G、 H 四点共面。证明： 分别延长 PE、 PF、 PG、 PH 交对边于 M 、 N、 Q、 R E、 F、 G、 H 分别是所在三角形的重心. M 、N 、Q、 R 为所在边的中点，顺次连结MNQR 所得四边形为平行四边形，且有2PM ，PF222PRPEPN ，PGPQ，PH3333 MNQR 为平行四边形，则EG PG PE2 PQ2 PM2 MQ3332(MN MR )22PM)3(PN PM )(PR332332333

19、( PFPE)(PHPE)22322EFEH由共面向量定理得E、 F、 G、 H 四点共面。例 2. 如图所示，在平行六面体ABCDA' B' C' D' 中， ABa ， ADb ， AAc ，P是 CA'的中点， M 是 CD'的中点， N 是 C'D' 的中点，点 Q 是 CA'上的点，且 CQ：QA'=4 ： 1，用基底 a ，b ，c 表示以下向量：（ 1） AP；（2） AM ；（3）AN ；（4）AQ 。解： 连结 AC、 AD'AP1 (ACAA ')1 (ABADAA ')

20、1 ( a bc )（ 1）222；AM1 (ACAD )1 (AB2 ADAA ')1ab1c（ 2）2222；AN1AD ')(AC（ 3）2.1( AB ADAA ') (ADAA ')21(AB 2AD2AA')21abc2AQ ACCQAC4(AA'AC )（ 4）51 AB1 AD4AA '5551 a1 b4 c555点评：本例是空间向量基本定理的推论的应用此推论意在用分解定理确定点的位置，它对于以后用向量方法解几何问题很有用， 选定空间不共面的三个向量作基向量 并用它们表示出指定的向量，是用向量解决几何问题的一项基本功例

21、3. 已知空间四边形 OABC 中， AOB= BOC= AOC，且 OA=OB=OC 。 M、 N 分别是 OA、 BC 的中点， G 是 MN 的中点。求证： OG BC。证明： 连结 ON，设 AOB= BOC= AOC= 又设 OAa ， OBb ， OCc ，则 | a | | b | | c | 。1(OMON )OG又2111OA(OB OC)2221 ( a bc )4BCcb.OG BC1 ( a b c ) ( c b )41 ( a c a b b c b2c2b c )41(| a |2 cos | a |2 cos| a | 2| a |2 ) 04 OG BC例 4

22、. 已知空间三点 A（ 0， 2， 3）， B（ 2， 1， 6）， C（ 1， 1， 5）。（ 1）求以 AB 和 AC 为邻边的平行四边形面积；（ 2）若 | a |3 ，且 a 分别与 AB 、AC 垂直，求向量a 的坐标。解： （ 1）由题中条件可知AB （2， 1，3），AC （1， 3，2）cosAB AC23 61AB ，AC14142|AB | |AC |sin3AB ，AC2以 AB 、AC 为邻边的平行四边形面积：3S | AB | | AC | sinAB ，AC147 32（ 2）设a （ x，y，z）由题意得x 2y 2z 232x y 3z0x3y2z0x1x1y或

23、y11解得 z1z1 a （1，1，1）或 a （ 1， 1， 1）第二讲 直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用.1 、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线） 的向量， 显然一条直线的方向向量可以有无数个2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面ruuurr（ 1）若有直线 l, 点 A 是直线 l上一点， 向量 a 是 l 的方向向量， 在直线 l 上取 ABa ，uuuruuurr则对于直线 l 上任意一点P，一定存在实数 t ，使得 APt AB ，这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定 l 的位置，还可具

24、体表示出l 上的任意点（ 2）空间中平面的位置可以由上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们r r的方向向量分别是 a 和 b ，P 为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实uuurrrr r数对（ ，），使得 OPxayb，这样，点 O 与方向向量 a 、 b 不仅可以确定平面的x y位置，还可以具体表示出上的任意点二、平面的法向量1 、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量rr2、在空间中，给定一个点A 和一个向量 a ，那么以向量 a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的三、直线方向向量与平面法向量在确定直

25、线、平面位置关系中的应用uruururuururuur1、若两直线 l1、 l2 的方向向量分别是 u1、 u2，则有 l1/ l2u1 /u2 ， l1 l2u1 u2 uruururuururuur2、若两平面、的法向量分别是v1、v2，则有/ v1/v2，v1v2rrrrrr若直线 l 的方向向量是 u ，平面的法向量是v ，则有 l/ u v ， lu /v四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标， 一般要建立空间直角坐标系， 然后用待定系数法求解，一般步骤如下：r1 、设出平面的法向量为n(x, y, z) rr2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a ( a1,b

26、1, c1 ), b (a2 , b2 ,c2 )rr0n arr03、根据法向量的定义建立关于x，y， z 的方程组n b4 、解方程组，取其中一个解，即得法向量.五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行1 、线线平行r rrrrr1 2的方向向量分别是a b12，只需证明a/b，即a kb (k设直线 l 、l、 ，则要证明 l/ l2、线面平行rrr（ 1）设直线 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是n ，则要证明 l /，只需证明 ar r即 a n 0 .（ 2）根据线面平行的判定定理：“

27、如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可（ 3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可3 、面面平行（ 1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可rrrr（ 2）若能求出平面、的法向量u 、 v ，则要证明 / ，只需证明 u / vR)rn ，（二）用向量方法证明空

28、间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直1 、线线垂直rrrrr r12的方向向量分别是a、b12ab，即a b 0设直线 l 、 l，则要证明 l l ，只需证明2 、线面垂直rrrr（ 1）设直线l的方向向量是a ，平面的法向量是u ，则要证 ，只需证明 a /ul（ 2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直3 、面面垂直（ 1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直（ 2）证明两个平面的法向量互相垂直六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1 、定义：设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线 a/ /

29、 a,b/ / b ，则 a/与 b/所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角02 、范围：两异面直线所成角的取值范围是2.rra br rcos | cos | rrab3 、向量求法： 设直线 a、b 的方向向量为 a 、b ，其夹角为，则有4 、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角（二）直线与平面所成的角1 、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角02 、范围：直线和平面所成角的取值范围是2rr3 、向量求法：设直线l 的方向向量为 a ，平面的法向量为

30、u ，直线与平面所成的角为，rrsina usinr r| cos | rr 或 cosaua 与 u 的夹角为，则有（三）二面角1 、二面角的取值范围：0,2 、二面角的向量求法（ 1）若 AB、CD 分别是二面角l的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角uuur uuur的大小就是向量AB 与 CD 的夹角（如图（ a）所示）uruurur uur（ 2）设 n1 、 n2 是二面角l的两个角、的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（ a）所示， BO平面，垂足为 O ，则点 B

31、 到平面的距离就是线段BO 的长度 若uuuruuurBOBAAB 是平面的任一条斜线段，则在Rt BOA 中，cos ABO=.uuuruuurBABO cos ABOcos ABOuuurrBOn ，考虑到法向量的方向，可以得到B 点。如果令平面的法向量为uuur ruuurAB nBOrn到平面的距离为。因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：1 、求出该平面的一个法向量2 、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量3 、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离ruurnrn0n由于可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面

32、的单位uuur uur法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即dAB n0 另外，等积法也是点到面距离的常用求法（二）线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。（三）两异面直线距离的求法r如图（ b）所示，设 l 、 l 是两条异面直线，是 l与 l的公垂线段 AB 的方向向量，又n1212uuurrduuurCDnABrC、 D 分别是 l1、 l2 上的任意两点，则 l1 与 l2 的距离是n。.【典型例题】例 1. 设 a、b 分别是直线l1、 l2 的方向向量，根据下列条件判断l1 与 l2 的位置关系。（ 1） a =（ 2， 3， 1）， b = （ 6，

33、 9， 3）；（ 2） a =（ 5， 0， 2 ）， b = （ 0， 4， 0）；（ 3） a =（ 2， 1， 4）， b = （ 6， 3， 3）解： （ 1）a （2，3， 1）， b = （ 6， 9， 3）a1b3a/ b，12， l/ l（ 2） a = （ 5， 0， 2）， b = （ 0， 4， 0） a b0 ， a b ， l1 l2（ 3） a（ 2 ，1， 4，）， b =（ 6， 3 ，3 ） a 与 b 不共线，也不垂直 l1 与 l2 的位置关系是相交或异面例 2. 设 u、v 分别是平面、的法向量，根据下列条件判断、的位置关系：1（ 1） u =（ 1，

34、1， 2）， v = （ 3， 2，2 ）；（ 2） u =（ 0， 3， 0 ）， v = （ 0， 5， 0）；（ 3） u =（ 2， 3， 4）， v = （ 4， 2， 1）。.1解： （ 1） u = （ 1， 1， 2）， v = （ 3，2 ，2 ） u v0uv（ 2） u = （ 0， 3， 0）， v = （ 0， 5， 0）u3 vu/ v/ 5（ 3） u = （ 2， 3， 4）， v = （ 4， 2， 1） u 与 v 既不共线、也不垂直，与相交点评：应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件。例 3. 已知点 A（ 3， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， C（

35、0， 0， 5），求平面 ABC 的一个单位法向量。解：由于 A（3，0，0），B（ 0，4，0），C（ 0，0，5）， AB =（ 3，4，0）， AC = （ 3，0，5）设平面 ABC 的法向量为n （ x， y， z）则有 nAB且n AC003x4y0x5y53x5z04即取 z=1 ，得3 ，55| n |769， ，于是 n = （ 31124），又n (20， 15， 12)平面的单位法向量是769769 769例 4. 若直线 l 的方向向量是a =（ 1， 2，2），平面的法向量是 n = （ 1 ，3， 0），试求直线l 与平面所成角的余弦值。分析：如图所示， 直线 l

36、与平面所成的角就是直线l 与它在平面内的射影所成的角，即ABO ，而在 Rt ABO 中， ABO= 2 BAO，又 BAO 可以看作是直线l 与平面的垂线所成的锐角， 这样 BAO 就与直线 l 的方向向量 a 与平面的法向量 n 的夹角建立了联系，故可借助向量的运算求出 BAO，从而求出 ABO，得到直线与平面所成的角。.解： a = （ 1， 2， 2，）， n = （ 1， 3，0 ） | a | 3 ， | n |10 ， a n 5cosa, na n106| a | | n |若设直线 l 与平面所成的角是则有 cossina , ncosa, n106sin a, n266cos26266，即直线 l 与平面所成角的余弦值等于6 。因此例 5. 如图（ a）所示，在正方体ABCDA 1B1C1D1中， M、 N 分别是 C1C 、 B1C1 的中点。求证：（ 1） MN/ 平面 A 1BD ；（ 2）平面A 1BD / 平面 B1D 1C 。.（ 1）证法一：如图（b）所示，以 D 为原