(完整版)数列公式汇总VIP

1、人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2 1数列的概念与简单表示法2 2等差数列2 3等差数列的前n 项和2 4等比数列2 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。2、

2、理解递推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法 数列的定义 ：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意 ：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 .各项依次叫做这个

3、数列的第1 项（或首项），第2 项，第 n项， .数列的一般形式 ：a1 , a2 , a3 , an , ，或简记为an ，其中 an 是数列的第 n 项 数列的通项公式 ：如果数列 an的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意 ：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n1|.an，也可以是 an | cos n 122.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项数列的通项公式具有双重身

4、份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5. 数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集1 ， 2， 3， n ）为定义域的函数anf (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。1反过来，对于函数y=f(x) , 如果 f(i)（ i=1 、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1) 、f(2) 、 f(3)、 f(4)， f(n) ，6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列 ：项数有限的数列 . 例如数列 1， 2， 3，

5、 4， 5， 6。是 有穷数列无穷数列 ：项数无限的数列 . 例如数列 1， 2， 3， 4， 5， 6是 无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7数列的表示方法（ 1）通项公式法如果数列 an 的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；（ 2）图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以

6、项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势（ 3）递推公式法如果已知数列 an 的第 1 项（或前几项） ，且任一项 an 与它的前一项 an 1 （或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5， 8， 13， 21， 34， 55， 89递推公式为：a13, a25

7、, anan 1an 2 (3n8)4、列表法简记为典型例题：例 1：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3, 5, 9, 17, 33,；2,46810；(2),315356399(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,；(5)2, 6, 12, 20, 30,42, .2解： (1)an 2n1；(2)an 2n； (3)an 1 (1) n；(2n 1)(2n 1)2(4)将数列变形为10, 2 1,3 0,4 1,50, 61, 70, 81, , an ；(5) 将数列变形为 1×2, 2&

8、#215;3, 3 ×4, 4×5, 5 ×6, ， an a11例 2：设数列 an满足1写出这个数列的前五项。an1(n 1).an1解：二、等差数列1等差数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 an , 若 an an 1 =d ( 与 n 无关的数或字母) ， n 2，n N ，则此数列是等差数列，d 为公差。2等差数列的通项公式：an a1(n 1)d 【或 anam (n m)

9、 d 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列 an的首项是 a1 ，公差是d，则据其定义可得：a2a1d 即： a2a1da3a2d 即： a3a2d a12da4a3d 即： a4a3d a13d由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1 (n 1)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1 和公差 d，便可求得其通项 an 。由上述关系还可得：ama1(m1)d即： a1am(m1)d则：na1(n1)d= am ( m 1)d (n 1)d am( n m) da即等差数列的第二通项公式anam( nm)d d=amanmn3有几种方法可以计算公差d d= an an 1

10、 d = ana1 d = anamn1nm4结论：（性质） 在等差数列中，若m+n=p+q，则， amana paq即 m+n=p+qamanapaq(m, n, p, q N )但通常 由 amana paq推不出 m+n=p+q ， amanam n典型例题：例 1： 求等差数列8， 5， 2的第 20 项3 -401 是不是等差数列 -5 ， -9 ，-13 的项？如果是，是第几项？解：例 3：求等差数列 3，7， 11，的第 4 项与第 10 项 .例 5： 100 是不是等差数列2，9， 16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.例 6： 20 是不是等差数列0， 3 1

11、， 7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2例 8：在等差数列 an 中，若 a1 + a6 =9,a4 =7,求 a3 ,a9 .三、等差数列的前n 项和1等差数列的前n 项和公式n( a1an )1： Sn2证明：Sna1a2a3an1anSnanan 1an 2a2a1 +： 2Sn( a1an ) (a2an 1 ) (a3an 2 )(anan ) a1ana2an 1a3an 2 2Sn n(a1an )由此得： Snn(a1an )2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2 等差数列的前 n 项和公式2： Snna1n(n 1)d2用上述公式要求Sn 必须具备三

12、个条件：n, a1 , an但 ana1 (n 1)d1 即得：Snn(n1)d代入公式na12此公式要求 Sn 必须已知三个条件：n, a1 , d（有时比较有用）n 项和公式 2： Snn(n 1)d对等差数列的前na12可化成式子：Snd n 2(a1d)n ，当 d 0，是一个常数项为零的二次式2243 由 Sn 的定义可知，当n=1 时， S1 = a1 ；当 n2 时， an = Sn - Sn 1，S1 ( n 1).即 an =Sn Sn 1 (n2)4 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（ 1） 利用 an :当 an >0，d<0，前 n项和有最大值可由 a

13、n 0，且 an1 0，求得 n的值当 an <0，d>0，前 n项和有最小值可由 an 0，且 an1 0，求得 n的值（ 2） 利用 Sn ：由 Snd n 2(a1d )n 利用二次函数配方法求得最值时n 的值22典型例题：例 2：等差数列 10， 6， 2， 2，·······前9 项的和多少？解：例 3：等差数列前10 项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第 6 项解例 6：已知等差数列 a n 中， S3=21， S6=64，求数列 |a n| 的前 n 项和 Tn例 7： 在等差

14、数列 a n 中，已知 a6 a9 a12 a15 34，求前 20 项之和例 8：已知等差数列 a n 的公差是正数，且 a3·a7= 12，a4 a6=4，求它的前 20 项的和 S20 的值例 9：等差数列 a n 、 b n 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若Sn2n，则 a100等于 Tn3n 1b100A 1B 23C 199D 2002993015a100Sn2nn项分析 该题是将与发生联系，可用等差数列的前b100Tn3n 1和公式 Sn= n(a1 + an ) 把前 n项和的值与项的值进行联系2例 10： 解答下列各题：(1) 已知：等差数列 a n 中 a

15、2 3， a6 17，求 a9；(2) 在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350，求这几个数；(3) 已知：等差数列 a n 中， a4 a6a15 a17 50，求 S20；(4) 已知：等差数列 a n 中， an=33 3n，求 Sn 的最大值四、等比数列1等比数列 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 .这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（ q 0），即： an=q（ q0）an11 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) an 成等比数列an 1

16、=q（ n N,q 0）an2 隐含：任一项 an 0且 q 0“ an 0”是数列an 成等比数列的必要非充分条件3 q= 1 时， a n 为常数。2.等比数列的通项公式1:ana1q n 1 ( aq0)1由等比数列的定义，有：a2a1 q ；a3a2q (a1 q) q a1q 2 ；a4a3 q (a1q 2 )q a1q 3 ；aan1qa1qn 1 (a1q0)n3.等比数列的通项公式2:anamq m 1 ( aq0)14既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5等比数列与指数函数的关系：6等比数列 an 的通项公式ana1 qn 1 (a1 q 0) , 它的图象是分布在曲线

17、ya1 qx （ q>0）上q的一些孤立的点。当 a10， q >1 时，等比数列an 是递增数列；当 a10， 0q1，等比数列an 是递增数列；当 a10， 0q1时，等比数列an 是递减数列；当 a10， q >1 时，等比数列an 是递减数列；当 q0 时，等比数列 an 是摆动数列；当 q 1 时，等比数列an 是常数列。6等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数G，使 a,G，b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项 .即G=±ab （ a,b 同号）如果在 a 与 b 中间插入一个数G，使 a,G， b 成等比数列，则反之，若

18、 G 2=ab,则 Gb ，即 a,G,b 成等比数列aG a,G,b 成等比数列G 2=ab（ a· b 0）7等比数列的性质：若 m+n=p+k ，则 amana p akGbG 2ab Gab ，aG在等比数列中，m+n=p+q ， am , an , a p ,ak 有什么关系呢？由定义得： ama1q m 1ana1q n 1a p a1 q p 1ak a1 q k 1am an2， ap ak2a1 q m n 2a1 q p k 2则 am an ap ak8判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法9等比数列的增减性： 当 q>1,a1 >0 或 0

19、<q<1, a1 <0 时 , an 是递增数列 ;当 q>1,a1 <0,或 0<q<1, a1 >0时 , an 是递减数列 ;当 q=1 时 , an 是常数列 ;当 q<0 时 , an 是摆动数列 ;10证明数列为等比数列的方法 :an1q(n N )数列 an 为等比数列(1)定义法 :若an(2)等比中项法 :若 an21anan 20,( n N )数列 an为等比数列(3)通项法 :若 acq n(c, q均是不为 0的常数 ，n N )数列 an为等比数列n(4)前 n 项和法 :若 SnAq nA( A, q为常数 ,

20、 且 q0, q 1)数列 an为等比数列。典型例题：例 1：求下列各等比数列的通项公式：（ 1） a1 = 2, a3 = 8； （ 2） a1 =5,且 2 an 1 = 3 an ； （ 3） a1=5, 且an 1nann 1解：例 2：求下面等比数列的第4 项与第 5 项：7（ 1） 5， 15，45，；（ 2） 1.2， 2.4，4.8，；（3） 2, 1.3,;(4) 2,1, 2 ， .3282解：例 3：一个等比数列的第9项是 4，公比是1 ，求它的第1 项 .93解：例 4：一个等比数列的第2 项是 10，第 3 项是 20，求它的第1 项与第 4 项 .解：例 7： (1

21、) 已知 an 是等比数列，且an0 ,a2 a42a3a5a4 a625 , 求 a3a5解：例 9：在等比数列 bn中， b43 ，求该数列前七项之积解：例 10：在等比数列an 中， a22 ， a554 ，求 a8 ，解：五、 等比数列的前 n 项和1、 等比数列的前n 项和公式：当 qa1 (1 q n )a1an q1时， Sn或 Sn1q1q当 q=1 时， Snna1当已知 a1 , q, n时用公式；当已知a1 , q, an 时，用公式 .公式的推导方法一：一般地，设等比数列a1 , a2a3 , an它的前 n 项和是8Sna1a2a3an由Sna1a2a3anana1q

22、 n1得Sna1a1 q a1 q2a1 qn 2a1qn 1qSna1 q a1 q 2a1 q3a1q n 1a1 q n(1 q) Sna1a1q na1 (1 q n )a1an q当 q 1 时， Sn1q 或 Sn1q当 q=1 时， Snna1公式的推导方法二：有等比数列的定义，a2a3anqa1a2an1根据等比的性质，有a2a3anSna1qa1a2an 1Snan即Sna1q(1q) Sna1an q（结论同上）Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式公式的推导方法三：Sna1a2a3an a1q(a1a2a3an 1 ) a1qSn 1 a1q

23、(Snan )(1 q)Sna1an q（结论同上）2、重要结论a n 成等比数列，公比为q1 ， Sn111（ 1）1也为等比数列，且公比为a1qn1 qnanq11a1qn 1 (1 q)q（ 2） a22n也成等比数列，且公比为q（ 3） an成等比，且 an >0，则 lga 1,lga 2,lga3成等差 注 （ 1） an 成等比lg an 成等差（ 2） an 成等差 aan 成等比典型例题：9例 1：求和：.解：等差数列等 比 数列一般地 ,如果一个数列从第2 项起，每一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项定一项与它的前一项的差等于同一个常数，那与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数么这个数列就叫做等差数列