(完整word版)等差数列、等比数列知识点梳理,推荐文档

1、等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：anan 1d （d为公差）（ n2 ， nN * ）注：下面所有涉及n ， nN * 省略，你懂的。2、等差数列通项公式：ana1(n1)d ， a1 为首项， d 为公差推广公式：anam(nm)d变形推广：danamnm3、等差中项（ 1）如果 a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即：Aa b 或 2 A ab2（ 2）等差中项：数列 an是等差数列2anan -1an 1 (n 2)2an 1an

2、an 24、等差数列的前 n 项和公式：n( a1an )na1n(n 1)dSn22d n2(a11 d )n An 2Bn22（其中 A、B是常数，所以当 d0时， S 是关于 n的二次式且常数n项为 0）特别地，当项数为奇数2n1 时，an1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项S2 n 12n 1 a1 a2n 12n 1 an 12（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（ 1）定义法：若 an an 1 d 或 an 1and ( 常数 n N )an 是等差数列（ 2）等差中项：数列 an 是等差数列2an an -1 an 1 (n 2)2an

3、 1anan 2（ 3）数列 an 是等差数列（ 4）数列 an 是等差数列6、等差数列的证明方法anknb （其中 k,b 是常数）。SnAn2Bn , （其中 A、B是常数）。定义法：若 an an 1 d 或 an 1and ( 常数 n N )an 是等差数列7、等差数列相关技巧：（ 1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余2个，即知 3求2。（ 2）设项技巧：一般可设通项 an a1(n 1)d奇数个数成等差，可设为，a2d , a d

4、 , a, a d , a2d （公差为 d ）；偶数个数成等差，可设为，a3d ,ad, ad, a3d , （注意；公差为 2 d ）8、等差数列的性质：（1）当公差 d0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1d是 关 于 n 的 一 次 函 数 ， 且 斜 率 为 公 差 d ； 前 n和Sn na1 n(n 1)dd n2( a1d )n 是关于 n 的二次函数且常数项为2220。（ 2）若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数列。（ 3）当 m np q 时, 则有 amanapaq ，特别地，当 m

5、n 2 p时，则有 am an2a p 。（注： a1 ana2an1a3 an 2，）当然扩充到 3 项、4 项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。（4） an、 bn 为等差数列，则anb ， 1an2bn 都为等差数列(5)若an 是等差数列，则 Sn , S2nSn , S3nS2n，也成等差数列(6)数 列 an 为 等 差 数 列 , 每 隔 k(kN* )项取出一项( am , am k , am 2 k , am 3 k , )仍为等差数列（7） an、 bn 的前 n 和分别为 An 、 Bn ，则 anA2 n 1bnB2 n 1（8）等差数列 an 的

6、前 n 项和 Smn ，前 m 项和 Sn m ，则前 m+n项和 Sm nmn ，当然也有 an m, amn ，则 am n0(9) 求 Sn 的最值法一：因等差数列前 n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n N * 。法二：（1）“首正” 的递减等差数列中，前 n 项和的最大值是所有非负项之和即当 a10， d 0， 由 an0可得 Sn 达到最大值时的 n 值an 10（2） “首负”的递增等差数列中，前 n 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 a10， d 0， 由 an0可得 Sn 达到最小值时的 n 值an10或求 an中正负分界项法三

7、：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数， 故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn 取pq最大值（或最小值） 。若 Sp = S q 则其对称轴为 n2注意： Sn Sn 1 an (n 2) ，对于任何数列都适用， 但求通项时记住讨论当 n 1 的情况。解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于a1 和 d 的方程；巧妙运用等差数列的性质， 一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明， 不是很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：2、通项公式：anq q 0 n

8、 2， q 为公比an 1ana1qn 1 ， a1 为首项， q 为公比推广公式： anamqn m ， 从而得 q n m anam3、等比中项（ 1）如果 a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即：A2ab 或 Aab注意： 同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（ 2）数列 an 是等比数列an 2an 1 an 14、等比数列的前n 项和 Sn 公式：(1) 当 q 1 时， Sn na1(2) 当 qa11qna1anq1 时， Sn1q1qa1a1qnA A BnA BnA（A, B, A, B 为常数）1q1 q

9、5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有 an 1qan 或 an 1q( q为常数， an 0) an an为等比数列（2） 等比中项： an2an 1an 1 （ an 1an 10） an 为等比数列（3） 通项公式： anA Bn A B0 an 为等比数列（4） 前 n 项和公式：SnAA Bn或SnA B nA A, B, A ,B 为常数 an 为等比数列6、 等比数列的证明方法依据定义：若anq q 0 n 2, 且 nN * 或 an 1 qan an 为等比数列an17、等比数列相关技巧：（ 1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1

10、、q 、 n 、an 及 Sn ，其中 a1 、q 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2。（ 2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：ana1qn 1如奇数个数成等比，可设为，aq2, a , a, aq, aq2 （公比为qq ，中间项用 a 表示）；注意隐含条件公比q 的正负8、等比数列的性质：(1) 当 q 1 时等比数列通项公式 ana1 qn 1a1 qnA BnA B0 是关于 n 的带有系q数的类指数函数，底数为公比q前 n 项和 Sna1 1 qna1 a1q n a1a1qnA A BnA BnA ，系1 q1

11、q 1 q1 q数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何 m,nN * ,在等比数列 an 中,有 anam qn m ,特别的 ,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若 mns t ( m, n, s,t N * ),则 an amas at 。特别的 ,当 mn2k 时,得 an amak2注： a1 ana2 an 1a3 an 2(4)列 an , bn 为等比数列 ,则数列kk , k an bn an(k 为 , k an , anbnan非零常数 )均为等比数列。(5)数 列 an 为 等 比 数 列

12、 ,每 隔k(kN* )项取出一项( am , am k , am 2 k , am 3 k , )仍为等比数列(6)如果 an 是各项均为正数的等比数列 ,则数列 log a an 是等差数列(7) 若 an 为等比数列 ,则数列 Sn ， S2 n Sn ， S3n S2 n , ，成等比数列(8)若 an 为 等 比 数 列 , 则 数 列 a1a2an ,an 1an 2a2n ,a2 n 1a2 n2a3n 成等比数列(9)当 q1 时，当 0q1时，a，则为递增数列a 0，则 a 为递减数列0 a 1，则 n为递减数列,1，则n为递增数列a1 0 ana1 0 an 当 q=1 时

13、,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列 an 中, 当项数为 2n (nN* )时, S奇1 ,。S偶q(11)若 an 是公比为 q 的等比数列 ,则 Sn mSnqnSm注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比q1的特殊情况。解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 a1 和 q 的方程；巧妙运用等比数列的性质， 一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。关于等差、等比两个引申：ankan1 b 模式（其中 k, b为常数，n2）； anpan1 pn 模式（其中 p 为常数， n2 ）在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：例 1已知数列an，有 an3an 14 （ n2 ），则求该数列的通项公式解题大致思路： 先设 anb3(an 1b) ，则对于 an 3an 14an23(an 1 2) ，那么我们就可以构造数列an