(完整word版)中值定理超强总结

1、咪咪原创，转载请注明，谢谢！1 、 所证式仅与 相关观察法与凑方法例1设在上二阶可导，f (0) f (1) f (0) 0f ( x) 0,1试证至少存在一点2 f ( )( a, b)使得 f ( )1分析：把要证的式子中的换成 ，整理得f( x)xf( x)2 f ( x)0(1)x由这个式可知要构造的函数中必含有，从xf(x)找突破口f (x)因为 xf ( x)xf (x)f( )，那么把 (1)式变一下：xf (x)f ( x) xf ( x)f( x) 0f ( x)f ( x) xf ( x)0这时要构造的函数就看出来了 F (x)(1x) f ( x)f ( x)原函数法例2

2、设在b上连续，在(a,b )内可导，f (a )f (b )，又在上连续f (x ) a,0g(x ) a,b求证：(a, b )使得 f () g ( )f ()分析：这时不论观察还 是凑都不容易找出要构 造的函数，于是换一种 方法现在把与 f 有关的放一边，与 g 有关的放另一边，同样 把换成 xf (x )两边积分g (x )dxln f (x )g( x )dx lnC f (x ) Ceg (x )f (x )f (x )eg (x )dxC 现在设 C0，于是要构造的函数就 很明显了F (x )f ( x )eg ( x )dx一阶线性齐次方程解法的变形法对于所证式为 fpf0型，

3、（其中 p为常数或 x 的函数）可引进函数 u ( x)epdx，则可构造新函数 F ( x) f epdx例：设 f ( x)在 a, b 有连续的导数，又存在c(a,b)，使得 f (c)0求证：存在(a, b)，使得 ff ()f ( a)( )ba分析：把所证式整理一下可得：ff ()f (a)( )b0a f ( ) f (a)1 f ()f (a)0，这样就变成了 fpf0型ba引进函数 u ( x) 1dx xF (x)xe ba eb a （令 C=0），于是就可以设eb a f ( x) f (a)注：此题在证明时会用到f(c)f (b)f (a)f (a) 这个结论ba0

4、f (b)2、所证式中出现两端点凑拉格朗日咪咪原创，转载请注明，谢谢！例 3设 ()在 ,b上连续，在 ( ,b)内可导f xaa证明至少存在一点(b)()f ( )(a,b )使得 bfaf af ( )ba分析：很容易就找到要 证的式子的特点，那么 可以试一下，不妨设 F (x ) xf (x ), 用拉格朗日定理验证一 下F ()f ( )f()bf (b )af (a)ba柯西定理例4设0x1x ， fx在x1,x2可导，证明在x1,x2)至少存在一点 c ，使得2() (1e x1e x2fc)f ce x1e x2 f (x1)f (x 2 )( )分析：先整理一下要证 的式子 e

5、 x1f (x 2)e x2f (x 1)f cfc)e x1e x2( )(这题就没上面那道那么 容易看出来了发现 e x1f (x 2 )e x 2f (x1)是交叉的，变换一下， 分子分母同除一下 e x1 x2f (x 2)f (x 1)e x 2e x1于是这个式子一下变得 没有悬念了11e x2e x1用柯西定理设好两个函 数就很容易证明了 k 值法仍是上题分析：对于数四，如果 对柯西定理掌握的不是 很好上面那题该怎么办 呢？在老陈的书里讲了一个 方法叫做 k 值法第一步是要把含变量与 常量的式子分写在等号 两边以此题为例已经是规范 的形式了，现在就看常量的这个式子e x1f (x

6、 2 )e x 2f (x1 )x1x 2f ( x2 ) k 设k 整理得 e f (x1 ) k ee x1e x 2很容易看出这是一个对 称式，也是说互换 x1x 2还是一样的那么进入第二步，设 F (x )e x f (x )k ，验证可知 F (x )F (x)12记得回带 k，用罗尔定理证明即可 。泰勒公式法老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。3、所证试同时出现 和 两次中值定理咪咪原创，转载请注明，谢谢！例 5 f (x )在 a, b 上连续，在 (a, b ) 内可导， f (a ) f (b ) 1试证存在 ，( ,)使得ef( )f( )101分析：首先把 与 分开，那么就有 e f () f ( ) e一下子看不出来什么， 那么可以先从左边的式 子下手试一下很容易看出 e f ( )f ( )ef () ，设 F ( x ) e x f (x )利用拉格朗日定理可得 F ()e bf (b )e af (a ) 再整理一下bae f ( ) f ( )e beae beab只要找到b与e 的关系就行了aa这个更容易看出来了， 令G( x )e x 则再用拉格