(完整版)数列知识点梳理

1、数列知识点梳理一、数列的相关概念( 一 ) 数列的概念1数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1 , a2 , a3an ,简记 an .2数列 an 的第 n 项 an 与项数 n 的关系若用一个公式anf ( n) 给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3数列可以看做定义域为N（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。( 二 ) 数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。( 三 ) 数列的分类1 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数

2、列。3 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。递增数列的判断：比较f(n+1)与 f(n)的大小（作差或作商）( 四) 数列通项an与前 n 项和n 的关系SnS1n11 Sna1a2a3anai2 anSnSn 1n2i 1二、等差数列的相关知识点1定义： an1and (常数 ) (nN ? )或 anan1 d (常数 ) (nN ?且 n2) 。当 d0 时，递增数列， d0,d0时，若 ak 0,a k+1 0, 则 :S=|a 1 |+|a 2|+ |a k|+|ak+1|+ |a n|= 当 a10 时，若 ak 0,a k+1 0, 则 :S=|a 1|+|a

3、 2|+ |a k|+|a k+1|+ |a n|=3、分组求和法：例、求数列4、并项求和法3 1,5 1,71,91 , 的前 n 项和481632例、 Sn1 357 L(1)n (2 n1) （答： ( 1)nn ）5、倒序相加法 ：例、求证： Cn03Cn15Cn2L(2n1)Cnn(n1)g2n已知 f ( x)x2，则 f (1)f (2)f (3)f(4)f ( 1)f (1)f ( 1) _1 x22346、裂项相消求和, 常见类型11)11 ；1k)1 1n1；(2n11 (111)n(nnn1n(nk ( nk )1)(2n 1)22n2n112)111)(n12)； n1

4、n1 ( n kn )n(n1)(n2 n(n1)(nkk例、求和：11L1（答：n）；447(3n2)(3n1)3n11在数列 an 中， an1，且 S ，则 n _（答： 99）nn17、错位相减法 :适用于 anbn 其中 an 是等差数列，bn 是各项不为0 的等比数列。例、 an 为等比数列， Tnna1( n1)a2L2an1an ，已知 T11， T24 ，求数列 a 的首项和公比； 求数列 Tn 的通项公式 （答：a1，；T2n 1n2 ）；n.1q 2n8、通项转换法 ：先对通项进行变形，发现其内在特征，再以上求和法求和。例、求和：111L1Ln（答：2n）121231 2

5、 3n 1六、等比数列的前n 项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a ，年增长率为 r，则每年的产量成等比数列，公比为1r .其中第 n 年产量为 a(1r ) n 1 ，且过 n 年后总产量为：aa(1 r ) a(1r ) 2.a(1r) n1aa(1r ) n .1(1r )银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为 r，每月利息按复利计算，则每月的a 元过 n个月后便成为 a(1r ) n 元 .因此，第二年年初可存款：a(1r )12a(1r )11a(1r )10.a(1r ) = a(1r) 1(1r )12 .1(1r )分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款