(完整版)直线、平面垂直的判定及其性质题(含答案),推荐文档

1、直线、平面垂直的判定及其性质题（含答案）一、单选题1如图，已知棱长为1 的正方体 ?-?中， ?是? ?的中点，则直线?与111111平面 ? 所成角的正弦值是（）11A15B15C10D1053352如图，长方体ABCD A1B1 C1D1 中， AA1 AB 2， AD 1， E、F、 G 分别是 DD1、 AB、CC1 的中点，则异面直线A1E 与 GF所成角的余弦值是（）15210A 5B 2C 5D03已知边长为2 的等边三角形 ?，?为 ?的中点，以 ?为折痕，将 ?折成直二面角 ?- ?- ?，则过 ?,?,?,?四点的球的表面积为（）A 3?B 4?C 5?D 6?4如图所示，

2、 在正方体ABCD A1B1C1D1 中，若 E是 A1C1 的中点， 则直线 CE垂直于 ()A ACB BDC A1DD A1D15如图，已知正三棱柱 ?- ?1 ?11的棱长均为2，则异面直线 ?1?与 ?1所成角的余弦值是()试卷第 1页，总 7页311A 2B 2C 4D 06如图，已知边长为? ?，点?为线段 ?的中点，则直线 ?2 的正方体 ?-?1 1 1 11与平面 ?所成角的正切值为（）1?1213A 2B 2C 2D 27下列命题正确的是（）A 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 若两个平

3、面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行8已知互不重合的直线?,?, 互不重合的平面 ?,?, 给出下列四个命题，正确命题的个数是若 ?/?， ?/?， ?= ?，则 ?/ ?若，?， ?则 ?若 ?， ?，?= ?，则 ?若?/?， ?/?，则 ?/?A 1B 2C 3D 49下列四个命题:试卷第 2页，总 7页(1) 存在与两条异面直线都平行的平面;(2) 过空间一点 , 一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行. 其中正确的命题的个数是A

4、1B2C3D4二、填空题10 、是两个平面，m、 n 是两条直线，有下列四个命题：（ 1）如果 mn， m ， n ，那么 （.2）如果 m ， n ，那么 m n.（ 3）如果 ， m? ，那么 m . （ 4）如果 m n， ，那么 m 与 所成的角和 n与 所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号）11 设 ?,?是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，有下列正确命题的序号是_(1) 若 m ?,n ?, 则 mn，(2) 若 ?,? ?则 ?/?(3) 若 ? ?， ?且? ?，则 ?； (4) 若 ? ? ?， ?/?，则 ?/?12已知平面 ，直线 ?， ?，给

5、出下列命题：若 ?/?， ?/?,? ?，则 ?； 若 ?/?， ?/?, ?/?，则 ?/?；若 ? ?,?,? ?，则 ?； 若?，? ?,?，则 ? ?.其中是真命题的是_（填写所有真命题的序号）13给出下列命题：如果 ?， ?是两条直线，且 ?，那么 ?平行于经过 ?的任何平面；如果直线 ?和平面 ?满足 ?，那么直线 ?与平面 ?内的任何直线平行；如果直线 ?， ?和平面 ?满足 ?， ?，那么 ?；如果直线 ?， ?和平面 ?满足 ?，?，? ?，那么 ?；如果平面 ?， ?， ?满足 ?，?，那么 ?.其中正确命题的序号是_14如图，圆锥的底面圆直径 AB 为 2，母线长 SA

6、为 4，若小虫 P 从点 A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到 SA的中点 C，则小虫爬行的最短距离为 _试卷第 3页，总 7页15已知矩形 ?的长 ?= 4 ，宽?= 3，将其沿对角线 ?折起，得到四面体 ?- ?，如图所示，给出下列结论：四面体 ?- ?体积的最大值为72 ；5四面体 ?- ?外接球的表面积恒为定值；若 ?、 ?分别为棱 ?、?的中点，则恒有?且 ?；°14当二面角 ?- ?- ?的大小为 60 时，棱 ?的长为；5当二面角 ?- ?- ?为直二面角时，直线?、?所成角的余弦值为1625其中正确的结论有_ ( 请写出所有正确结论的序号) 16如图所示，已知正方体?-?

7、?， ?,?分别是 ?,? ?上不重合的两个动111111点，给山下列四个结论： ?；平面 ?平面 ?；111 ?；平面 ?平面 ?.111其中，正确结论的序号是_17 设m， n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是_ ( 填序号 )若 m， n，则 mn；若 m， m，则 ；若 mn，m，则 n；若 m，则 m.18如图，正四棱锥 ?-?的体积为 2，底面积为6，?为侧棱 ?的中点，则直线 ?与平面 ?所成的角为 _.试卷第 4页，总 7页三、解答题19如图 ABCD 是正方形 , ?平面 ?,?|?,?= ?= 2?= 2.（）求证 :?平面 ?;（）求 ?与平面 ?所

8、成角的大小；20 如 图 , 在 四 棱 锥 ?-?中, ?底 面 ?, 底 面 ?是直 角 梯 形 , ?, ?/?, ?= 2, ?= ?= 1, ?是线段 ?的中点 . 证明： ?平面 ?； 若 ?= 3, 求三棱锥 ?- ?的体积 .21如图 , 菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD上 ,AE=CF=5 ,EF 交 BD于点 H. 将 DEF沿 EF折到 D'EF 的位置 ,OD'=10 .4（）证明 :D'H 平面 ABCD（）求二面角B-D'A-C 的正弦值 .试卷第 5页，总 7页中，底

9、面 ?是边长为 2的正三角形， ?= 3，22 如图，在斜三棱柱?1?- ?1 1 1?=1 10， ?=1°60 .（）求证：平面?平面 ?；11（）求二面角?-?1- ?的正弦值 .123在三棱锥 ?-?中， ?底面 ?，?， ?= ?= 2 ?= 2 ， ?是 ?的中点， ?是线段 ?上的一点，且 ?= 5 ，连接 ?， ?，?.（ 1）求证： ?/平面 ?；（ 2）求点 ?到平面 ?的距离 .24如图，四棱锥 ?- ?中， ?底面 ?，?，?， ?= 60°，?= ?= ?， ?是?的中点（ 1）求证： ?；（ 2）求证： ?面 ?；（ 3）求二面角 E-AB-C

10、的正切值°25如图， 在四棱锥 ?- ?中，底面 ?是边长为4 的菱形， ?= 60 ，?面?，?= 4 ， ?是棱 ?上一点，且 ?= 1 ， ?为 ?的一个靠近 ?点的三等分点。试卷第 6页，总 7页（ 1）求证： ?面 ?（ 2）求平面 ?与平面 ?所成的锐二面角的余弦值。26如图所示， 在四棱锥 ?- ?中，?平面 ?，?/?，? ?，?= ?=12 ?= 2 .（ 1）求证： ?；（ 2）当几何体 ?的体积等于 4时，求四棱锥 ?- ?的侧面积 .327如图，在斜三棱柱 ?-?1 ?1?1中，底面 ?是边长为 2 的正三角形， ?为棱 ?的中点， ?= 3 ， ?= 10

11、， ?= 60°111.（）求证： ?平面 ?11 ；（）求斜三棱柱?- ?的体积 .111试卷第 7页，总 7页参考答案1 D【解析】【分析】根据 ?与平面 ?的关系，先找到直线与平面的夹角，然后通过勾股定理求得各边长，11即可求得夹角的正弦值。【详解】连接 ?、 ?相交于点 M ，连接 EM 、AM11因为 EM AB ，EMBC1所以 EM 平面 ?11则 EAM 即为直线 ?与平面 ? 所成的角1?1所以 ?=12?1 ?=22?= 1 215+ (2)2=22所以 sin ?=25 = 1052所以选 D【点睛】本题考查了空间几何体线面的夹角关系，主要是找到直线与平面的夹角

12、，再根据各长度求正弦值，属于中档题。2 D【解析】【分析】11?以 ?,?,?所在直线为 ?,?,?轴，建立空间直角坐标系，可得? 和 ?的坐标，进而可得? ，从而可得结论cos?,?.1【详解】以 ?,?,?所在直线为 ?,?,?轴，建立空间直角坐标系，1则可得 ?1 (1,0,2 ), ?(0,0,1 ) ,?(0,2,1 ), ?(1,1,0 ) ，?=(-1,0, -1 ) ,?= ( 1, -1, -1 ) ，1设异面直线 ?1?与 ?所成的角为 ?,-1 × 1+0+(-1)(-1)则 cos?= |cos? ?×| = 0，故选 D.2× 21 ?,

13、?| = | 答案第 1 页，总 20 页【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法， 根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法， 利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.3 C【解析】由题意，知过?,?,?,?四点的球的直径为以?,?,?为邻边的长方体的对角线的125长 ， 而 ?= 3, ?= ?= 1 ， 则 ?=2 ( 3)+1+1=2 ，所以球的表面积为?=524?( 2 )= 5?，故正确答案为 C.点睛：此题主要考查了从平

14、面图形到空间几何体的变化过程的空间想象能力，简单组合体中直三棱锥与外接球关系， 以及球的表面积的计算等方面的知识和技能力，属于中档题型， 也是常考题型 .在解决简单几何体的外接球问题中，一般情况下，球的直径为简单几何体的对角线的长 .4 B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1 ，求出 ?的坐标，以及 ?，?，? 的坐标，可 1?得 ? ，因此 ? ? ，即 ?= 0?【详解】以 ?为原点， ?，?，?所在直线分别为?，?， ?轴建立空间直角坐标系，1设正方体棱长为1，则 ?(0，0，0) ，?(1，1 ，0) ， ?(1， 0，0) ， ?(0，1，0) ，11，1)?1(0

15、，0，1) ， ?( 2，2? ?= (-?，1，0) ，? ?= (1?= (-1 ，1， 0) ，?，0， - 1)?1 ?= (0，1，- 1)，1=(01 ，- 1，1)2 2? ?11?=-+0=022则 ? 即 ?故选 ?答案第 2 页，总 20 页【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，在解答本题中采用了建立空间直角坐标系，然后计算求出结果，较为基础。5 C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以 AC 的中点 ?为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系?- ?，则：?(0, -1,2),?(3, 0,0) ，? ()，3,

16、0,2) ，?0,1,011向量 ?=( 3, 1,-2) ,?= (-3, 1, -2)，11?21=11cos < ?,? ?>| × |=.1122×224?11本题选择C 选项 .【点睛】答案第 3 页，总 20 页本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .6 A【解析】连接 ?交 ?于 ?,连接 ?,由于 ?1 ?,?,所以 ?平面 ?1?,1所以角11?22?为所求线面角,其正切值为2=2.故选 ?.?17 D【解析】分析：先举反例说明A,B,C 不成立，再利用线面平行判定定理与性质定理说明D正

17、确 .详解：因为两条相交直线和同一个平面所成的角也可相等，所以A 错，一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，因为这三点可分布在另一个平面两侧，即这两个平面可相交，B错，因为两个相交平面可同时垂直于第三个平面，所以C 错，若一条直线平行于两个相交平面，过该直线作平面与两个相交平面分别相交于?,?，则该直12线与 ? 平行，即 ? 相互平行，即?平行 ?所在平面，因此?与两个相交平面的交线平行，1,?21,?2121即得这条直线与这两个平面的交线平行，所以选D.点睛：本题考查线面关系的判断，考查空间想象能力以及运用线面平行判定定理与性质定理论证的能力 .8 C答案第 4 页，总 20 页【解析

18、】【分析】由线线平行的性质定理能判定A 是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B 的正误； 由线面垂直的判定定理能判定C 的正误， 在 D 中，可得 ?/?或 ? ?，即可得到答案 .【详解】由题意，已知互不重合的直线?,?和互不重合的平面?,?，在 A 中，由于 ?= ?,?/?,?/?，过直线 ?平面 ?,?都相交的平面 ?，记 ?= ?,?= ?，则 ?/?且 ?/?，所以 ?/?，又 ?/?，所以 ?/?，故 A 是正确的；在 B 中，若 ?,?,?，则由面面垂直和线面垂直的性质得?，所以是正确；在 C 中，若 ?,? ?,?= ?，则由线面垂直的判定定理得?，所以是正确；在

19、D 中，若 ?/?,?/?，则 ?/?或? ?，所以是不正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理作出证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9 C【解析】(1) 将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行 ,故正确 ;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的 ,故不正确 ;(3)显然正确 ;(4)显然正确 .故答案为C.10【解析】试题分析： ： 如果 m n， m ， n ，不能得出 ，故错误； 如果 n ，则存在直线l?，使 n l，

20、由 m ，可得 m l，那么 mn 故正确； 如果 ， m?，那么 m 与 无公共点，则m 故正确 如果 m n， ，那么 m， n 与 所成的角和m， n 与 所成的角均相等故正确答案第 5 页，总 20 页考点： 命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系视频11 (3)(4)【解析】若 ?/?, ?/?，则 ?与 ?可能平行，相交或异面，故（1）错误；若 ? ?,? ?，则 ?/?或? ?，故（ 2）错误；若 ? ?,?，且 ? ?，根据法向量的性质可得?，故（ 3）正确；若 ? ? ?,?/?，由面面平行的性质，可得?/?故（ 4）正确，故答案

21、为（3）（4） .【方法点晴】 本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题 .空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.12 .【解析】【分析】利用直线和平面的位置关系判断每一个命题的真假得解.【详解】对于 ，若 ?/?， ?/?,? ?，则 ?或 ?,?相交，所以该命题是假命题；对于 ，若 ?/?， ?/?,?/?，则 ?,?可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；对于 可以证

22、明是真命题.故答案为： 【点睛】（ 1）本题主要考查空间直线和平面位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力 .(2) 类似这种空间直线平面位置关系命题真假的判断，方法比较灵活，可以举反例，也可以直接证明 .13【解析】分析：根据线面平行的判定定理可判断；根据线面平行的性质可判断、；根据线面平行的判定定理可判断；根据面面平行的性质与定义可判断.详解：对于，?在 ?与 ?确定的平面内，错误；对于， ?和平面 ?内的直线平行或异面，错误；答案第 6 页，总 20 页对于， ?与?可能平行，也可能异面，错误；对于，符合线面平行的判定定理，正确；对于，符合面面平行的定义，正确，故答案

23、为.点睛：本题考查线面平行的判断与性质、面面平行的定义域性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等） 、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.14 25.【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果详解：由题意知底面圆的直径AB 2，故底面周长等于2.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，4? 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2，180解得 n 90，所以展开图中PSC90&#

24、176;，根据勾股定理求得PC25，所以小虫爬行的最短距离为25.故答案为25点睛： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决15【解析】分析：将矩形折叠后得到三棱锥：四面体?体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高即可；求出三棱锥的外接球半径，即可计算表面积；连接?,?，答案第 7 页，总 20 页则 ?= ?，连接 ?,?，得到 ?= ?，利用等腰三角形的三线合一即可；当二面角 ?-?- ?为直二面角时，以?为原点 ?,?所在直线分别为?,?轴建立坐标系，借助于向量的数量积解答

25、；找到二面角的平面角计算即可.详解：由题意，中，四面体?体积最大值为两个面互相垂直，四面体?- ?体积的111224最大值 3×2×3×4×5 =5，所以不正确；中， 三棱锥 ?- ?外接球的半径为5，所以三棱锥 ?- ?外接球的表面积为52=24?× ( )225?，所以是正确的.中，若 ?,?分别为棱 ?,?的中点，连接 ?,?，则 ?= ?，根据等腰三角形三线合一得到 ?，连接 ?,?，可得 ?= ?，所以 ?，所以是正确的；中，由二面角 ?- ?- ?的大小为 60 0时，棱 ?的长为 14 ，5在直角 ?中， ?= 4, ?= 3,

26、?=5 ，作 ?,?，则 ?= ?= 12,?=9，5?= 57同理直角 ?中，则 ?= ?- ?-?= 5,在平面 ?内，过 ?作 ?/?，连接 ?，易得四边形 ?为矩形，7则 ?= ?= 5 , ?/?,?，又 ?，即 ?为二面角 ?- ?- ?的平面角，即 ?= 60 0 ，则 ?= ?= 12 ，由 ?平面 ?，得到 ?，即有 ?，522193，所以是错误的，则 ?= ?+ ? =5中，当二面角 ?- ?- ?为直二面角时，以?为原点 ?,?所在直线分别为 ?,?轴建立坐标系，则由向量的数量积可得到直线?,?所成的角的余弦值为16 ，所以是正确的；25综上可知正确命题的序号为 .点睛：

27、本题考查了平面与立体几何的综合应用，解答中涉及到两条直线的位置关系的判定，二面角以及三棱锥的外接球的表面积，以及直线与平面垂直的判定等知识点的综合应用，试题综合性强， 属于中档试题， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力. 其中线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直， 根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，或是根据面面垂直 .16答案第 8 页，总 20 页【解析】分析：取 E,F 特殊位置可否定，根据线面垂直关系可得正确.详解：当 E=D11不成立，所以错；，F=A时?1?与平面 ?平面 ?11因为 ?， ?在平

28、面 ?内，所以 ?1 平面 ?111 ?11?；因为 ?平面 ? ，所以平面 ?平面 ?1?11 1 .因此正确 .点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17 【解析】【分析】用直线与平面平行的性质定理判断的正误；用直线与平面平行的性质定理判断的正误；用线面垂直的判定定理判断的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断的正误.【详解】? ?，?，则 ? ?，?与 ?可能相交也可能异面， 所以不正确； ? ?，? ?，则 ?，还有 ?与 ?可能相交，所以

29、不正确； ? ?，? ?，则 ?，满足直线与平面垂直的性质定理，故正确； ? ?，?，则 ? ?，也可能 ? ?，也可能 ?= ?，所以不正确；故答案为 .【点睛】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力，属于基础题 .18 60 °【解析】【分析】首先找到线面角，然后利用三角函数计算角的大小即可.【详解】如图所示，连结?,?，交于点 ?，连结 ?,?，由正方形的性质可知? ?，由正棱锥的性质可知?底面 ?，则 ?，且 ?= ?，答案第 9 页，总 20 页由线面垂直的判断定理可得?平面 ?，由线面角的定义可知?即为直线 ?与平面 ?所成的角，?=

30、6，则 ?= 6 ， ?=1，?= 3?2122由三棱锥的体积公式有：3 ×?×?=2，则 ?=，1， ?= ?+ ? = 2由正棱锥的性质可得?= ?= 2，2 221在 BPC 中，由余弦定理可得：cos?=+2 2 -( 6)=2× 2×24，在 BPE 中，由余弦定理可得：?= 4+ 1 + 2 ×2 ×1 ×1= 2，4?3°则 sin ?=, ?= 60 ，? 2即直线 ?与平面 ?所成的角为60°.【点睛】本题主要考查锥体的空间结构， 线面角的计算等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能

31、力 .°19 ( ) 证明见解析；( )30 .【解析】试题分析：（ ）方法一：由?是正方形，得 ?，再由 ?平面 ?，得到 ? ?，利用线面垂直的判定定理，即可证得?平面 ?.方法二：可根据平面?平面 ?，利用面面垂直的性质，证得?平面 ?.答案第 10 页，总 20 页（）设 ? ?= ?, 连接 ?,?，得 ?平面 ?，所以是与平面 ?所成角，在中，求得 ?= 30?，即 ?与平面 ?所成角的大小 .试题解析：（）证明：方法一： ?是正方形 ? ? ?平面 ?，? 平面 ? ? ? ?,? 平面 ?,?= ? ?平面 ?方法二： ?平面 ?，? 平面 ?平面 ?平面 ? ?是正

32、方形 ? ?平面 ?平面 ?= ?,? 平面 ? ?平面 ?（）解：设?= ?,连接 ?,? ?平面 ?是直线在平面 ?上的射影是与平面 ?所成角在22中 ?= ?+ ? = 2 2， ?= 2在 ?中,sin ?=?1?=2答案第 11 页，总 20 页 ?= 30?，即 ?与平面 ?所成角为 30?点睛：本题考查了直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的求解， 其中熟记直线与平面位置的关系的判定与性质定理是证明线面位置关系的关键，其中根据直线与平面所成角的概念找出?是直线 ?与平面 ?所成的角是解答的难点，着重考查了学生的空间想象能力和推理运算能力.120（ 1）见解析；（ 2） 6【解析】【分析】(1) 先证明 PC底面 ABCD, 再证明 ?平面 ?.(2)先求出 PC的长度，再求三棱锥 ?- ?的体积 .【详解】（ 1）证明：取 AB 的中点 M，连接 CM，?=12 ?= 1 = ?= ?,?,?|?,四边形 CDAM为正方形， CM=MA=MB,ACCB,?底面?,?,又?= ?,所以 AC平面 PBC. ?= 3, ?底面?,?22底面?,?, 在 RtPCA中，?+ ? =2, 而?= 2, ?= 1, ?111.?-?= 3?2×1×1