(完整版)线面角的求法总结,推荐文档

1、线面角的三种求法1直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段， 垂线段， 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例 1 （ 如图 1 ）四面体 ABCS 中，SA,SB,SC两两垂直， SBA=45° , SBC=60°,M为AB 的中点，求（1） BC 与平面 SAB 所成的角。（ 2）SC 与平面 ABC 所成的角。解: （ 1） SC SB,SC SA,CHSBMA图 1 SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影， SBC 是直线 BC 与平面

2、SAB 所成的角为 60°。（ 2） 连结 SM,CM ，则 SMAB,又 SC AB, AB 平面 SCM,面 ABC 面 SCM过 S 作 SH CM 于 H,则 SH平面 ABC CH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。 SCH 为 SC与平面 ABC 所成的角。sin SCH=SH SC SC 与平面ABC所成的角的正弦值为77（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC的斜线 . 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是： 先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。 ）2. 利用公式 sin =h 其中是斜线与平面所成的角

3、，h是 垂线段的长， 是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离） 既是关键又是难点， 为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2（如图2）长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4，求 AB 与面 AB 1 C1D所成的角。解：设点B 到 AB 1C1D 的距离为 h, V BAB1C1=V A BB 1C1 13 SAB 1C1·h= 13SBB 1C1·AB ，易得 h=12 5设 AB与 面 A B 1C1D 所成的角为 , 则 sin=hAB=4 5DC32AB4HD 1C 1A 1B 1图 2 AB 与面 AB

4、 1C1D 所成的角为 arcsin 4 53. 利用公式 cos =cos 1·cos 2（如图3） 若OA 为平面的一条斜线，O为斜足，OB 为OA 在面 内的射影，OC为面 AOBC内的一条直线，其中为OA 与OC所成的角，图 3 1 为OA 与 OB所成的角， 即线面角， 2为 OB与OC所成的角， 那么 cos =cos 1·cos 2 （同学们可自己证明） ，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例 3（如图 4） 已知直线OA,OB,OC两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面 OBC 所

5、成的角的余弦值。解： AOB= AOC OA 在面 OBC 内的射影在BOC 的平分线 OD 上，则 AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角，可知 DOC=30° ,cosAOC=cos AOD· cos DOC cos60°=cosAOD· cos30° cos AOD=3 3 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为3 3。AB ODC图 4（一）复习：1直线和平面的位置关系；（平行、相交和直线在平面内）2思考：当直线 a 与平面的关系是 a IA 时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢？（可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来

6、衡量）（二）新课讲解：1平面的斜线和平面所成的角：已知，如图，AO 是平面的斜线，A 是斜足， OB 垂直于平面， B 为垂足，则直线 AB是斜线在平面内的射影。设AC 是平面内的任意一条直线，且BCAC ，垂足为 C ，又设 AO与AB 所成角为1， AB与 AC 所成角为 2， AO与 AC 所成角为，则易知：uuuruuuruuuruuuruuurO| AB | | AO | cos1 ， | AC | | AB | cos 2| AO | cos1 cos 2uuuruuur又 |AC | AO | cos ，可以得到： coscos1cos 2 ，B注意：(0,) （若，则由三垂线定

7、理可知，A122222COAAC ，即；与“ AC 是平面内的任意一条直线，且BCAC ，垂足为 C ”2不相符）。易得： coscos 1 又, 1 (0, )即可得： 12则可以得到：（ 1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（ 2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角） 。说明 ： 1若2若a ，则规定 a 与 所成的角是直角；a /或 a，则规定 a 与所成的角为0o ；3直线和平面所成角的范围为：0o90o ；4直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值

8、（ coscos1 cos 2 ）。2例题分析：AB 是平面B 为斜足， AO,O 为垂足， BC 为 内例 1如图，已知的一条斜线，的一条直线，ABC60 o,OBC 45o ，求斜线 AB 和平面所成角。解： AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO 为 AB 和所成角，又 coscos 1 cos 2 ，A cosABOcosABCcos60o122 ，BOcosCBOcos 45o222C BAO45o ，即斜线 AB 和平面所成角为 45o 例 2如图，在正方体AC1 中，求面对角线A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角。解（法一）连结 AC与 B D1交于O，连结OB，111

9、DD1AC1 1 ， B1D1AC1 1 ， AO1平面 BB1D1D ，D1C1 A1 BO 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角，O在 Rt A1 BO 中， AO11A1BO30oA1B1A1B ，2（法二）由法一得A1 BO 是 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角，cos 45o2 ， cosB1 B6DC又 cosA1 BB1B1BO，B2BO3AcosA1 BB123 cosA BO2，A1BO 30o1cosB1 BO623说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式coscos1 cos2 求

10、线面角显得更加方便。例 3已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面 BCD 所成角的余弦值。解：过 A作 AO平面 BCD 于点 O，连接 CO, BO, DO ，A ABACAD ， O 是正三角形 BCD 的外心，设四面体的边长为a ，则 CO3 a ， AOC 90o ，3ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成角，CB3，所以， AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为3 O cos ACO33D五课堂练习：课本第45 页练习第1， 2， 3 题；第 47 页习题9.7 的第 1 题。六小结： 1线面角的概念；2 coscos1cos2 及应用步骤：,1 , 2 在图形中所表示的角。七作业：课