(完整word版)椭圆双曲线知识点总结

1、椭圆知识点【知识点 1】椭圆的概念 :在平面内到两定点F1、F2 的距离的和等于常数( 大于 | F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距当动点设为M 时，椭圆即为点集PM | MF1MF22a注意：若 ( PF1PF2F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段F1 F2 ；若 ( PF1PF2F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形。【知识点 2】椭圆的标准方程22焦点在 x 轴上椭圆的标准方程:xya 2b 2x2焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为：2b【知识点 3】椭圆的几何性质 :22标准方程xy1 aa2b21 a b 0 ，焦点坐标为（ c，

2、0)，（-c，0)y221ab0 焦点坐标为（ 0， c，）(o， -c)a2y2b 0x1 a b 0b2a2图形范围对称性顶点性质轴焦距离心率a， b， c 的关系规律 :a x ab y b对称轴：坐标轴对称中心：原点A1( a,0)， A2(a,0)A1(0， a)， A2(0，a)B1 (0， b)， B2(0， b)B1( b,0)， B2(b,0)长轴 A1A2 的长为2a；短轴 B1B2 的长为 2b F1F2 |=2ce= c (0,1)ac2a2b2(1) 椭圆焦点位置与x2， y2 系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2) 椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中

3、，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为 a c，最小距离为 a c.(3)在椭圆中，离心率ecc 2a 2b21 b2aa2a2a2(4)椭圆的离心率e 越接近椭圆越扁；e 越接近于，椭圆就接近于圆；(5)离心率公式：在F1 PF2 中，PF1 F2，PF 2F1sin， esinsin1二、椭圆其他结论x2y2x0 xy0 y1、若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2b21 上，则过P0 的椭圆的切线方程是a2b21若已知切线斜率K ，切线方程为y kxa2 k 2b22、若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为

4、P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是a2b2x0 xy0 ya2b21x2y21 (a b0)的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点3、椭圆2b2a角形的面积为 S F PF2b 2 tan12内切 .4、以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆5、过焦点的弦中，通径 (过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短2b2a6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q 交于点 M，A2P 和A 1Q 交于点 N，则 MF NF。7、 AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦，M (

5、x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 kOMkABb2a2b2a2 ，即KABb 2 x0 。a2 y08、若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21 内，则被Po 所平分的中点弦的方程是x0 x y0 y x0 2y02a2b2a2b2a2b29、若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21 内，则过x2y2x0 x y0 ya2b2Po 的弦中点的轨迹方程是b2a2b2a210、若 P 为短轴顶点，则F1PF2最大【知识点 4】椭圆中的焦点三角形 :定义 : PF1 + PF2 2a F1F2 2c余弦定理 : F1F22 = PF1 2+ PF22 -2PF1 PF2

6、cos( F1PF2=)面积公式 :在椭圆 x2y21（ a b 0）中，焦点分别为F1 、 F2 ，点 P 是椭圆上任意一点，a2b2F1 PF2，则 S F1PF2b 2 tan22【知识点 5】点 (x0,y0)与椭圆 x2y21(a>b>0) 的位置关系 :a2b2点 P 在椭圆上x02y021a2b2点 P 在椭圆内部x02y0 21x02y021a2b2点 P 在椭圆外部2b2a【知识点 6】直线与椭圆位置关系的判断：ykx b( m k 2n) x22kbnx b2 1 0 直线斜率存在时ny2mx21直线与椭圆相交直线斜率不存在时0x mx 2 y2a2b2直线与椭

7、圆相切0直线与椭圆相离0判断 y 有几个解1例 1.已知：椭圆 x2y21 与直线 l 交于 A 、 B 两点， A 、 B 中点为 M 1,1，求直线 l 的方程169(点差法：9x16 y250 )例 2.求过点 2,3且与椭圆 x2y21有相同焦点的椭圆方程( x2y21)5386设：所求椭圆方程为x 2y21k35k例 3.求过点 2,22 且与椭圆 x2y 21有相同离心率的椭圆方程( x 2y21、 y2x21 )488161020设：所求椭圆方程为x2y24k18k例 4.已知椭圆 x2y 21的离心率 e10，求 m 的值( m25、 m3 )5m53例 5.若椭圆 x2y21

8、上存在 A、 B 两点，关于直线 y4xm ，对称。求 m 的取值范围。23m2 2,22553双曲线知识点【知识点 1】双曲线的概念 :在平面内到两定点F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数( 小于 | F1F2|) 的点的轨迹叫双曲线这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距当动点设为 M 时，椭圆即为点集PM|MF1MF 22a注意：若 ( MF1MF2F1 F2) ，则动点 P 的轨迹为两条射线；若 (1MF21 2) ，则动点 P 的轨迹无图形。MFF F【知识点 2】双曲线的标准方程焦点在 x 轴上双曲线的标准方程:x2y21a0,b0，焦点坐标为（ c， 0)，（ -c， 0

9、)22ab焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为：y2x21a0,b0 焦点坐标为（0， c，） (o， -c)22【知识点 3】双曲线的几何性质ba标准方程x2y2y2x2a2 b2 1(a>0，b>0)a2 b2 1(a>0， b>0)图形范 围xa 或 x a， yRx R， y a 或 ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1 ( a,0)， A2(a,0)A1(0， a)， A2(0， a)性渐近线bay ± xy ± x质ab离心率e c， e (1， )，其中 c a2 b2a线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| 2

10、a；实虚轴线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2| 2b；a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、 c 的关系c2 a2b2(c a 0， c b 0)规律 :1.双曲线为等轴双曲线? 双曲线的离心率 e 2? 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系 )2.区分双曲线中的 a， b， c 大小关系与椭圆a， b， c 关系，在椭圆中 a2b2 c2，而在双曲线中c2 a2b2.(2) 双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e (0,1)4(3) 在双曲线中，离心率ecc2a2b21b2aa2a2a2(4) 双曲线的离心率 e 越大 ,开口越阔 .【知识点 4】双曲线

11、中的焦点三角形:定义 : PF1 - PF2± 2aF1F2 2c余弦定理 : F2 22 PF cos( F=1F2= PF1+ PF2-2PF12)1PF2面积公式:在双曲线 x 2y 21（ab ）中，焦点分别为F1、 F2，点 P 是双曲线上任意一点，a 2b20b2S F1PF2F1 PF2，则tan2【知识点 5】直线与双曲线的位置关系的判断：设直线 l : ykxm(m0)，双曲线 x2y 2 1(a0, b0) 联立解得a2b2(b2a2 k 2 )x 22a2 mkxa 2 m2a 2 b20（ 1）若 b2a 2k 20 即 kb ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a（ 2）若 b2a 2k 20 即 kb 时，( 2a 2 mk) 24(b 2a 2k 2 )( a2 m 2a 2b 2 )a0