(完整版)微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)

1、专题 30圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。江苏高考试题结构平稳，题量均匀每份试卷解析几何基本上是1 道小题和 1 道大题，平均分值 19 分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的 13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体俗话说：他山之石可以攻玉在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性比如 2010 年安徽卷理科 19 题，该题入题口宽，既可用传统的联

2、立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解再比如 2011 年上海卷理科 23 题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（ 1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（ 2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（

3、3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（ 4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1已知双曲线x 2y 21( a>0, b>0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲a 2b22,)线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是2 P 是双曲线x2y22222上9161 的右支上一点， M、N分别是圆 ( x 5) y 4和 ( x 5) y 1的点，则 |PM| |PN| 的最大值为 73抛物线 y

4、=-x 2 上的点到直线4x+3y-8=0 距离的最小值是434已知抛物线y2=4, 过点(4,0)的直线与抛物线相交于1122)两点，则y12+22xPA(x,y ),B(x,yy的最小值是32.5已知点 M(-2， 0) ， N(2,0)，动点 P满足条件 |PM | |PN | 22 . 记动点 P 的轨迹为 W.（）求的方程；Wuuuruuur（）若A B是WO是坐标原点，求OA OB的最小值 .，上的不同两点，解：（）依题意，点P的轨迹是以 M， N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： x2y2 （ x 0）221（）当直线 AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为 x x0，x022

5、）， B（x0，uuuruuur此时 A（ x0，x022 ）， OA OB 2当直线 AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 ykx b，代入双曲线方程x 2y2222221 中，得： (1 k) x 2kbx b 2 0依题意可知方程A( x, y), B( x , y ) ，则1 有两个不相等的正数根，设11224k 2b24(1x1x22kb1k 2x1x2b22k20uuur1uuurk 2 ) ? ( b22)00解得 | k|1，又 OA OB x1x2 y1y2 x1 x2（ kx1 b）（ kx2 b）（22 2k 2 2 241 k ）x1x2 kb（ x1x2） b 2uu

6、uruuurk 21k 21综上可知 OA OB 的最小值为 2【典型示例】求抛物线 yx2 上的点到直线4x3y 80 距离的最小值 ?2分析一：设抛物线上任一点坐标为P( x0 ,-x0 ) ，28 | = 3( x0由点到直线的距离公式得P 到直线的距离 d( x0 )= | 4x03 x02 时， d(4 ,5当 x0 =x0 ) 取得最大值332分析二：设抛物线上点P( x0 ,-x0 ) 到直线 4x+3y-8=0 距离最小，则过 P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故 y ' ( x0 )=-2x0 =-4 , x0 = 2 , P( 2 ,- 4 ),33

7、39| 423 （4） 8|此时 d=394， .5=3分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当 l与抛物线相切时l 与 4x+3y-8=0 间的距离为所求最小，由 y2 c=- 4 , 此时x得 4x-3x 2+C=0， =16+12C=0,4x3 yC03| 8 （4）|4d=5332 ) 2204335，3【分类解析】例 1: 已知椭圆 x2y21 ， A（ 4， 0）， B（ 2， 2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求： （ 1）259求 5 | PA | | PB |的最小值；（ 2）求 | PA | | PB |的最小值和最大值4分析：（1） A 为椭圆的右焦点。作 PQ右

8、准线于点 Q，| PA|4则由椭圆的第二定义e，|PQ |55 |PA| |PB| |PQ| |PB|，4显然点 P 应是过 B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值 为17 。4（ 2）由椭圆的第一定义，设C 为椭圆的左焦点，则 | PA | 2a | PC | | PA |PB| PA | 2a | PC | 10 (| PB |PC |)，根据三角形中两边之差小于第三边，当P 运动到与B、 C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。当 P到 P"位置时， |PB | PC | |BC |，|PA | PB |有最大值，最大值为 10|BC | 102 10 ；当P到P'位置

9、时，|PB|PC|BC|， |PA|PB|有最小值，最小值为10|BC| 102 10.（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）变式 :yA点 A（ 3，2）为定点，点F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点 P在抛物线y2=4 上移动，若|PA|+|PF|x取得最小值，求点P 的坐标。dP解：抛物线y2=4x 的准线方程为x=- 1，设 P 到准线的距离为 d，则 |PA|+|PF| =| PA|+ d。要使 |PA|+|PF| 取得最小值，由图3 可知过A 点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把2y=OFX=1x代入 y2=4x，得 P（1， 2）。例 2: 已知椭圆的中心在

10、 O,右焦点为 F，右准线为 L，若在 L 上存在点 M，使线段 OM的垂直平分线经过点 F，求椭圆的离心率 e 的取值范围 ?解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM的垂直平分线经过点F，则 MFOFc, 利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距2离），则有 2 c ae 2 ，c2椭圆的离心率 e 的取值范围椭圆的离心率e 的取值范围为2,12变式 1:已知双曲线x2y21,( a0, b0)的左、右焦点分别为F、F ，点 P在双曲线的右支上，a2b212且 | PF|=4| PF|, 求此双曲线的离心率e 的最大值 ?12解：双曲线的

11、离心率e 的最大值为 53变式 2:已知椭圆方程为x 2y 21，（0ab）的左、右焦点分别为1、 2，点P在为椭圆a 2b2F F上的任意一点，且 | PF1|=4|PF2|,求此椭圆的离心率e 的最小值 ?解：椭圆的离心率e 的最小值为 3522x2y21上移动 , 试求 |PQ|的最大值。例 3: 已知 P 点在圆 x+( y-2) =1 上移动， Q点在椭圆9解：故先让 Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心 O1 时 |PQ|最大，因此要求 | PQ|的最大值，11222只要求 | OQ| 的最大值 . 设 Q( x， y) ，则 | OQ| = x+( y-4)因 Q在椭圆上 , 则

12、 x2=9(1- y2)2将代入得 | O1Q| 2=9(1-y2)+(y-4) 28y1272因为 Q在椭圆上移动，所以- 1y 1，故当y1时，13 32OQ max此时 PQ max3 31【点晴 】 1. 与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2. 函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。变式1:设 P是椭圆x2a2+ y 2 = 1 (a > 1 )短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值.解法1:依题意可设P(0, 1 ),Q(x , y),则|PQ| =x2( y1)2.

13、又因为Q在椭圆上,所以x2= a2(1y2) .|PQ |2=a2(1y2) +y2 2y+ 1= (1a 2 )y 2 2y+ 1 +a2= (1a2 )( y1 2)2112+1+a2 .y | 1,a > 1,1aa因为 |若 a 2 ,则1 1,当 y =1时 , |PQ|取最大值a2a 21;1a21a2a21若 1<a <2,则当 y = 1时 , |PQ|取最大值 2 .解法 2:设 P(0, 1 ),Q (a cos,sin),则|PQ |2=a2cos2+(sin1)2= (1a 2 ) sin 2 2sin+ a2 + 1= (1a2 )(sin1121+

14、a2+ 1.a 2 )1a2注意到 |sin| 1,a > 1.以下的讨论与解法1相同.变式 2: 已知 OFQ的面积为 26uuuruuurm， OFFQ（1）设6m 46 ，求OFQ正切值的取值范围；（2）设以为中心，F为焦点的双曲线经过点（如图），uuur62当uuurOQ| OF | c, m (41)c|OQ|取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（ 1）设 OFQ=uuuruuur)m| OF | | FQ | cos(461uuuruuurtan26m2|OF | | FQ |sinQ 6m 464tan1（ 2）设所求的双曲线方程为x2y2uuurc, y1 )a2b21

15、( a 0, b 0), Q (x1, y1 ), 则 FQ ( x1uuur S146OFQ|OF | | y | 2 6 ， y121cuuuruuuruuuruuur61 c2又 OFFQm ， OFFQ(c,0)( x1c, y1 ) ( x1c)c (uuur46 c,x12y12963c2x1|OQ|12.4uuurc28当且仅当 c=4 时， | OQ | 最小，此时 Q的坐标是 (6,6)或(6,6)661a24x2y21.a2b2b2，所求方程为a221612412b【精要归纳】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：（1）当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用

16、数形结合法解；（2）范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例 2 中可以利用方程和垂直平分线性质构建。 利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化， 回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。（3）. 函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。（ 4）利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【课后训练】1已知 P 是椭圆 x2y21在第一象限内的点， A（ 2， 0），B（ 0， 1）， O 为原点，求四边形4OAPB的面积的最大值22给定点 A(-

17、2,2) ，已知 B 是椭圆 x2y21 上的动点， F 是右焦点，当 AB5BF 取得25163最小值时，则 B点的坐标为。 (53 ,2)23抛物线 y2=2x 上到直线 x-y +3=0 距离最短的点的坐标为_ (1 ，1）4如图，已知 A、 B是椭圆 x2y221的两个顶点，169C、 D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积的最大值是 _ 12 25 如图所示，设点 F1 ， F2x2y21的两个焦点，过F2 的直线与椭圆相交于A、B 两点，是23求 F1 AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。解：SVF ABSVF F A SVF1F2B，设A( x1 , y1

18、 )，B( x2 , y2 )，则112SVF1AB1y2 | | y1Q| F1F2 | | y1y2 | ( c 1)2设直线AB的方程为x ky1代入椭圆方程得(2k 23) y24ky 40y1y24k,y1 y22k 242k233421)43即 | y1y2 |3(k2k2312k21k 21令 tk 211， SVF AB43， 2t1（ t 1）利用均值不等式不能区取“”12t1tt利用 f (t)1（ t1）的单调性易得在t1时取最小值2ttSV F AB 在 t1即 k0 时取最大值为4 3 ，此时直线 AB 的方程为 x 11326 P 、Q、M、N 四点都在椭圆x2y1

19、上， F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。 已知 PF 与 FQ 共2线， MF 与 FN 共线，且 PF · MF0 。求四边形 PMQN的面积的最小值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知MN和 PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（ 0，1），且 PQ MN，直线 PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为 k，又 PQ过点 F（0， 1），故 PQ方程为 y kx 1。代入椭圆方程得2k 2x22 kx10设 P、 Q两点的坐标分别为x1 ， y1， x2 ， y2，则：22 ，x22x1k2kk22k22k 2