(完整版)第六章实数知识点归纳及典型例题

1、第十三章实数 - 知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于 a，即，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根 a 的算术平方根记为，读作“根号 a”，a 叫做规定： 0 的算术平方根是0.也就是，在等式x2a (x 0) 中，规定 xa 。理解：x2a (x 0)xaa 是 x 的平方x的平方是ax是 a 的算术平方根a的算术平方根是x2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当 a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。3. 当被开方数扩大 ( 或缩小 ) 时，它的算术平方根也扩大 ( 或缩小 ) ；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小

2、（方法：）二、平方根1.平方根的定义： 如果的平方等于a，那么这个数x 就叫做 a 的即：如果，那么 x 叫做 a 的理解：x2a< >xaa 是 x 的平方x的平方是ax是 a 的平方根a的平方根是x2. 开平方的定义： 求一个数的的运算，叫做开平方运算的被开方数必须是才有意义。3.平方与开平方：3 的平方等于9，9 的平方根是34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是 a 的算术平方根；正数 a 的负的平方根可用-a 表示6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在

3、于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。三、立方根1.立方根的定义：如果的等于 a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么 x 叫做 a 的立方根。第1页共6页2. 一个数 a 的立方根，记作 3 a ，读作：“三次根号 a ”，其中 a 叫被开方数， 3 叫根指数，不能省略，若省略表示平方。理解：x3a < >x3 aa 是 x的立方x的立方是ax是 a 的立方根a的立方根是 x3. 一个正数有一个正的立方根； 0 有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方

4、根。4. 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3a3 a a0 。四、实数1. 有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。2. 无理数的定义：无限不循环小数叫无理数3. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数有理数整数实数有限小数或无限循环小数分数无理数无限不循环小数4. 像有理数一样，无理数也有正负之分。例如2，33，是正无理数，2 ，3 3 ，是负无理数。由于非0 有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：正有理数正实数正无理数实数 0负有理数负实数负无理

5、数5. 实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。与有理数一样， 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大6. 数 a 的相反数是 a ，这里 a表示任意一个实数。7. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。第2页共6页8. 无限小数是有理数（）无限小数是无理数（）有理数是无限小数（）无理数是无限小数（）数轴上的点都可以用有理数表示

6、（）有理数都可以由数轴上的点表示（）数轴上的点都可以用无理数表示（）无理数都可以由数轴上的点表示（）数轴上的点都可以用实数表示（）实数都可以由数轴上的点表示（）五、考点分析类型一、有关概念的识别例 1 下面几个数：0.1237,1.010010001，30.064 322， ， ，5 ，其中，无理数的个数有A、 1B、2C、 3D、 47【变式 1】下列说法中正确的是（）A、 81 的平方根是± 3B、1 的立方根是± 1C、 11 D、5 是 5 的平方根的相反数【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半

7、轴于点A，则点 A 表示的数是（）A、 1.5B、1.4C、2D、3类型二、计算类型题例 2设26a，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.举一反三：【变式 1】1）1.25 的算术平方根是_；平方根是 _.2） -27 立方根是 _.3）_，_，_.【变式 2】求下列各式中的（ 1）22523（ ） x19（ ）xx6423类型三、数形结合例 3. 点 A 在数轴上表示的数为3 5 ，点 B 在数轴上表示的数为2，则 A，B 两点的距离为 _第3页共6页举一反三：【变式 1】如图，数轴上表示1，2 的对应点分别为A， B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C表示的数是（）A21B12

8、C 22D2 2类型四、实数非负性的应用例 4已知 x 6 22x6 yy2z 0求xy 3z3 的值。，【变式 1】已知 a 2b 5 2c 1 0，求 ab c 的值。类型五、易错题例 5判断下列说法是否正确（ 1）3 2的算术平方根是 -3（）（ 2）225 的平方根是± 15（）（ 3）当 x=0 或 2 时， x x 20 （）（ 4）3 是分数（）2类型六、实数应用题例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。第4页共6页类型七、引申提高? ? ?例 7. 把下列无限循环小数

9、化成分数：0.6 0.23 0.107一、填空题1、（-0.7） 2 的平方根是2、若 a2=25, b =3,则 a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是2a 2 和 a 4，则 a 的值是4、 34 _5、若 m、 n 互为相反数，则m5n _6、大于 -2，小于10的整数有 _个。7、一个正数 x 的两个平方根分别是a+2 和 a-4 ，则 a=， x=二、选择题1、以下语句及写成式子正确的是（）A、 7 是 49 的算术平方根，即497B、7 是(7) 2 的平方根，即C、 7 是 49 的平方根，即497D、 7 是 49 的平方根，即2、下列语句中正确的是（）A、9 的平方根是 3B、 9 的平方根是 3。( 7)27497第5页共6页C 、9 的算术平方根是3D、 9的算术平方根是33、下列语句中正确的是（）A、任意算术平方