(完整word版)数学必修4-必修5知识点总结,推荐文档

1、高中数学必修45 总结第一部分三角函数及其恒等变换1 与角终边相同角的集合为k 360, kZ，象限角，轴线角的集合可借用此表示。2是第几象限角， 求nN*所在象限的方法： 先把各象限均等为n 等份，再从 x 轴的正半轴的上方起， 已知n依次将各区域标上一，二，三，四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域。n3 半径为 r 的扇形的圆心角（为弧度制）所对弧的长为l ，周长为 C ，面积为 S ，则有以下公式：lrC 2r lS1 lr1r 222y4 三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。PT5 三角函数线： sinMPcosOMtanAT6 同角三角函数的基本关系

2、：O M Axsin2cos21tansincos7 三角函数的诱导公式：公式一： sink 2sincosk 2costank 2tan公式二： sinsincoscostantan公式三： sinsincoscostantan公式四： sinsincoscostantan公式五： sincoscossin22公式六： sincoscossin22公式一到四：函数名称不变，正负看象限。公式五到六：奇变偶不变，正负看象限。补充公式： tan1tan1k2tantan, k Z228 三角函数的图象与性质y cosxy tan x函ysin x性数质图象定义域RRx xk, k2值域1,11,1

3、R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数2k,2k2k,2k 上 是 增 函k, k上是增函2上2数。 kZ22单调性是增函数。kZ数。 kZ2k ,2k上是减函2k,2k32数。 kZ2上是减函数。 kZ对称中心k ,0对称中心k,0对称性2k对称轴 x对称轴 xk2k Zk Z对称中心无对称轴。k,0 ， kZ ，29 三角函数不等式的解法（ 1）三角函数线法。 （ 2）函数图象法。例：若求 sin x2y2的解集，则画出直线，则该直线上方 y 值所对应的 x 的值就是该不等式的解集。2210函数 yAsinxb A0,0 的图象与性质：（ 1）图象的变化过程：函数ysin x 的图象向左平移

4、个单位ysin x，图象上各点的横坐标变缩短为原来的1 倍ysinx，图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍yAsin x，图象向上平移 b 个单位yA sinxb 。（ 2）yAsinxb 的周期 T 为 2，同理得2T11（ 3）若 yAsin xb 的最大值为ym ax ，最小值为 ymin ，则 Ayminymaxymin 。ymax， b22（ 4）利用以上结论，再根据图象中任意一点以及的范围，可求得yA sin xb 的解析式。11两角和与差的正弦，余弦，正切公式和二倍角公式：（ 1）sin()sincossincoscoscoscossinsin（ 2） sin 22 sin cos

5、cos 2cos2sin 22 cos211 2 sin 2（ 3） tantantantan 22 tan1 tan tan1tan 212拓展公式（不要求记忆）（ 1）半角公式： sin1coscos1 costan1cos2221cos22（ 2）积化和差公式：sincos1sincos1sinsinsinsin22coscos1cossinsin1coscoscos22（ 3）和差化积公式：sinsin2sin2cos2sinsin2 sin2cos2coscos2 cos2cos2coscos2 sinsin22（ 4）弦化切公式：2 tan1tan22sin2cos1 tan2ta

6、n2122（ 5）三倍角公式sin 33sin4 sin3cos34 cos33 costan33 tantan 313 tan 213几个有用的三角函数结论（ 1）若 tanb ，则arctan b ，则有以下结论：aaa sinb cosa 2b2sinarctan ba（ 2）当k时，且 kZ，则 1tan(1tan )24（ 3）函数 yAsinxb 的对称轴为 xk2kZ ，对称中心为 ( k,b) k Z第二部分：平面向量与解三角形1向量的基本概念：三要素，零向量，单位向量，平行向量，相等向量，共线向量。（ 1）零向量与任一向量平行0 a 。（ 2）若 a 与 b 共线，则 a b

7、 。（ 3）若 a 与 b 相等，则 a b 且 ab2平面向量的线性运算：（ 1） 向量的加法运算：三角形法则（左图） ，平行四边形法则（右图） 。（ 2） 三角形不等式： a b a b a b（ 3）向量的加法满足交换律，结合律。（ 4）向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。（ 5）向量的运算公式：ABBCAC （合并公式） ， ACABBC （分解公式） ， ABBA0 这些在做题中应用相当广泛。（ 6）向量的数乘运算：aa ，0 时，a 的方向与 a 相同；0时，a 的方向与 a 相反；0时，a0 。向量的数乘运算符合交换律，结合律，分配律。（ 7） 向量共线定理：

8、若a 与 b 共线， a0 则有唯一的实数，使得 ba 。用这个结论可以证明两向量共线。3 平面向量的基本定理：如果e1 、 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1 , 2 ，使 a1 e12 e2 。（不共线的向量 e1 ， e2 作为这一平面内所有向量的一组基底）4 平面向量的坐标运算：（ 1） 平面向量的坐标：将向量的始点平移到坐标原点上则向量的终点对应的坐标即为该向量的坐标。即一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标。（ 2）平面向量的坐标运算：若ax1, y1 ， bx2 , y2 ，则：a bx1x2 , y1y2a bx1x2 ,

9、 y1y2ax1 , x2（ 3）平面向量共线的坐标表示：若ax1 , y1， bx2 , y2， a 与 b 共线，则有以下关系：x1 y2x2 y10用这个结论可以证明两向量共线。（ 4）两点 A x1 , y1， B x2 , y2之间的距离公式，中点C 的坐标公式为：ABx1x22y1y22 Cx1x2 , y1y222（ 5）分点坐标公式： 设点是线段x1 , y1 ， x2 , y2uuuruuur1 2 上的一点，1 、 2 的坐标分别是，当 12时，点的坐标是x1x2 , y1y2115 平面向量的数量积：（ 1）a bab cos（为 a 与 b 的夹角），零向量与任一向量乘

10、积为0。（ 2）a baba 与 b 同向； a b0为锐角； a b0为直角； a b0为钝角；a baba 与 b 异向。（ 3）aba b0a bab（ 4）平面向量数量积的坐标表示：若ax1 , y1， bx2 , y2 ，为 a 与 b 的夹角，则有以下关系：a bx1 x2y1 y2cosa bx1x2y1 y22222a bx1y1x2y26 正弦定理与余弦定理：（ 1）正弦定理：若在三角形ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，其外接圆半径为R ，则：abc2Ra bcsin Asin Bsin Asin B sin Csin C（ 2）余弦定理

11、：若在三角形ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，则：a 2b2c 22bc cos A b2a 2c22ac cos Bc 2a2b22ab cosC7. 解三角形的推论：（ 1）三角形的面积公式：若在三角形ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，则：S111acsin Babsin Cbcsin A222（ 2）判断角的大小范围：若在三角形ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，则：a 2b 2c2C 为锐角； a 2b2c2C 为直角； a 2b2c 2C 为钝角。（ 3）判断三角形解的情况：1

12、 已知一边与两个角。 （一个解）2 已知三边。（若两边之和大于第三边则有一个解，否则无解）3 已知两边及其夹角。 （一个解）4 已知两边及一边的对角。 （一个解，两个解或者无解）已知三角形 ABC 两边 a ， b ， a 的对角为 A 。（ 1）若 A 为直角或者钝角，ab ，则有一个解，否则无解。（ 2）若 A 为锐角， absin A ，则有两解。B 可取锐角或者钝角。（ 3）若 A 为锐角， absin A ，则有一解。B 可取直角。（ 4）若 A 为锐角， absin A ，则无解。（ 4）在三角形内成立的特殊关系：若在三角形ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，

13、b ， c ，则：sin ABsin Ccos(AB)cosC0sin A Bcos Ccos A Bsin C2222tan Atan Btan Ctan A tan Btan C（ 5）中线长公式：若在三角形ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a 边上的中线长为ma ，b 边上的中线长为mb ， c 边上的中线长为mc 则：2b22c 2a22a 22c 2b22a22b2c 2ma2mb2mc2第三部分数列1 等差数列：（ 1）等差数列的递推公式：an 1and 。（ 2）等差数列的通项公式：ana1n1 d 。（ 3）若 a ， b ， c 成等差

14、数列，则b 为 a 与 c 的等差中项，则 2bac 。2 等差数列的前 n 项和：等差数列前 n 项和的公式：Snn a1an， Snna1n n 1d 。223 等差数列的推论：（ 1） anan 1d （可用此证明等差数列） 。（ 2） 2anan 1an 1 。（ 3） a1ana2an 1a3an 22a中 （结论 2 的推广）。（ 4）若 an ， bn为等差数列，那么panqbn也为等差数列。（ 5） aman( mn)d （通项公式的推广） 。（ 6）求公差的公式：danan 1 ， daman。mn（ 7）若 mnpq ，那么 amana paq 。（ 8）等差数列的通项公式

15、也可表示为anpnq ，它是一个一次函数，已知任意两项，就可用待定系数法求通项公式。其中，a1pq ， dp 。（ 9）（根据结论3 进行推导）（ 10）等差数列前 n 项和的公式为 Snna1n n1 d ，也可表示为 Sn An 2Bn ，它是一个二次函数，2其中， a1AB ， d2A。反之，若 SnAn2Bn ，则 an为等差数列。若Sn An 2Bn C ，则 an 从第 2 项起为等差数列。（ 11）已知 Sn ，求 an 的方法： a1S1， anSnSn 1 n2（ 12）若 an为等差数列，则Sn也为等差数列。n（ 13）若 an ， bn为等差数列，其前anA2 n 1n

16、项和分别为 An ， Bn ，那么B2 n 1bn（ 14） Sm ， S2 m Sm ， S3 mS2 m ，mZ 也为等差数列。（ 15）若项数为2nnN *，则 S2n2n1 an ， S偶S奇nd ，且 S奇an。S偶an 1（ 16）若项数为2n1*，则，且S奇S偶 a， S奇n，其中，奇，n NS2n 12n 1 annSnanS偶n1S偶n1 an 。4 等比数列：（ 1）等比数列的递推公式：an 1qan（ 2）等比数列的通项公式：ana1q n 1（ 3）若 a ， b ， c 成等比数列，则b 为 a 与 c 的等比中项，则 b2ac5 等比数列的前 n 项和：等比数列前

17、n 项和的公式：Sna1 1q na1an q1， Snqq16 等比数列的推论：（ 1） and （可用此来证明等比数列）an 1（ 2） an 2an 1 an 1（ 3） a1 ana2 ana3an2（结论 2 的推广）。12a中（ 4）若 an， bn为等比数列，那么an bn 也为等比数列。（ 5） aman q m n （通项公式的推广） 。（ 6）求公比的公式：qan， qm n am 。an1an（ 7）若 mnpq ，那么 amana paq 。（ 8）等比数列前 n 项和的公式经过变形，可写为Sn Aq nA 的形式，其中 Aa11。反之，若数列前n 项q和满足 SnAq

18、nA ，则该数列为等比数列。（ 9）若在 a ， b 之间插入 n 个数，使之成为等比数列，则这个等比数列的公比qn1 b。an 项和有分式的项进行裂项，提取公因式，全部相加可消去其中大多项，经过适（ 10） Sm ， S2 mSm ， S3 mS2 m ，m Z也为等比数列。（ 11）若项数为 2nn N *，则 S偶qS奇（ 12）设等比数列前 n 项积为 Tn ，若项数为 2n nN *T偶qn ，若项数为 2n 1 nN *奇qn 。，则，则 TT奇T偶7 数列技巧方法归纳：（ 1）叠加法，累乘法。一般方法： 将数列的递推公式或者数列前n 项和的递推公式从1 n 全部列出， 将所列出所

19、有的式子全部相加（或相乘）得到数列的通项公式或者数列前n 项和的公式。（ 2）倒序相加法一般方法：将数列的前n 项和的排列成顺序和倒序两种形式，两式相加，经过适当变形，得到前n 项和的公式。（ 3）错位相减法一般方法：前 n 项和两边乘以（或除以）一定倍数有递增（或递减）趋势的量，作为一式，来减去原式，经过适当变形，得到前n 项和的公式。（ 4）裂项相消法。分式裂项公式：11111111n n aa n n an n aa n a n（ n 和 a 既可以为常数，也可以为字母或代数式）一般方法：将数列的前当变形，得到前n 项和的公式。（ 5）构造数列法。一般方法：如果题目中已给出特定的形式，则

20、直接换元，变为等差数列或者等比数列，求出所求通项公式以后，再换回来得解。若题目中无特定的形式，则采用两边同时相加（减）或者两边同时相乘（除）的方法，换元变为等差数列或者等比数列，求解。（ 6）由递推公式求通项公式：an 1 pa n q p,q为常数型：递推公式两边加一个常数k ，使之满足两边项的系数比相等，两边相除，构造等比数列求解。其中kq，通项公式为 ana1 k p n 1kp18 解答数列大题的一般步骤：（ 1）若已知 Sn ， Sn 1 ， an ， an 1 的关系，利用公式：a1S1 ， anSnSn 1 n2 ，转化为 an ， an 1 等量的递推关系。（ 2）利用递推关系

21、进行适当的变形（构造数列，两边相加，相乘等方法） ，将数列转化为熟悉的等差数列或等比数列来求得通项公式。（ 3）利用通项公式进行分析，利用叠加法，累乘法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法等方法进行变形，整理，得出该数列的求和公式。（ 4）在整个过程中要注意必须使脚码的数值有意义。第四部分不等式1不等式的性质：（ 1）如果（ 2）如果（ 3）如果ab 0 ，那么 ab；如果 a b0 ，那么 ab ；如果 a b0 ，那么 a b。ab ， b c ，那么 ac 。ab ，那么 a cbc 。（ 4）如果（ 5）如果（ 6）如果（ 7）如果ab， c0 ，那么 acbc ；如果 a b ， c

22、 0 ，那么 ac bc 。ab， cd ，那么 ac bd 。（不等式的相加原理）ab0， c d0 ，那么 acbd 。（不等式的相乘原理）ab0，那么 anbn 。 n1（ 8）如果 a b 0 ，那么 nanb 。 n12不等式性质的应用：（ 1）证明某不等式成立。（ 2）不等式性质的推论：若ab0 ， c0 ，则 bbc ， aac 。aacbbc（ 3）已知几个字母的范围，求它们和，差，积，商的范围。（利用性质3， 4， 5， 6）（ 4）做差法比较数或代数式的大小：利用性质1：如果 ab0 ，那么 ab ；如果 ab0 ，那么 ab ；如果 a b 0 ，那么 ab。（ 5）做商

23、法比较正数或者正值代数式的大小：如果 a1，那么a b；如果 a1ab；如果 a1，那么那么 a b 。其中a 0b0bbb。且3一元二次不等式的解法：（ 1）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：先将一元二次不等式的二次项系数变为正，然后看图写解集，如下表：判别式b24ac000二次函数yax 2bxc a0的图象一元二次方程bb 24acx12abax 2bx c 0 a 0x1 x2没有实数根的根bb24ac2ax22a一元二次不等式bax 2x xRbx c 0 a 02ax x x1或 x x2的解集一元二次不等式ax 2bx c 0 a 0x x1x x2

24、的解集（ 2）若0 ，一元二次方程 ax 2bx c 0 a0 的根为 x1 ， x2 ，若所对应一元二次不等式二次项系数a与不等式整体的系数同号，则解集取两边；若所对应一元二次不等式二次项系数a 与不等式整体的系数异号，则解集取中间。 （同号取两边，异号取中间）（ 3）一元二次不等式中的分类讨论思想：1若二次项系数为字母，则需考虑二次项系数为0 的情况。2若一元二次不等式中含有字母，解出的两根需要考虑大小问题，分类讨论，再取解集。（ 4）一元二次不等式中的解的情况：1 一 元 二 次 不 等 式 ax 2bx c 0 a 0 恒 成 立 的 条 件 是 a0 且0；一元二次不等式ax 2bx

25、c0 a0恒成立的条件为 a 0且0 。（即解集为R ）2 一元 二 次 不 等 式 ax 2bx c 0 a 0 解 集 为的 条 件 是 a0 且0；一元二次不等式ax 2bxc0 a0解集为的条件为是 a0 且0 。4 一元二次方程的有关技巧：（ 1）速解特殊一元二次方程的根的技巧：1一元二次方程ax 2bxc0 a0 中，若2一元二次方程ax 2bxc0 a0 中，若a b c 0 ，则 x11， x2c 。ab a c ，则 x11， x2c 。a（ 2）十字相乘法解一元二次方程：一般方法：将一元二次方程的三个系数均化为无分母的形式（既不是分数也不是小数），且 a 的为正整数，得到

26、ax2bxc0 a0 ，将 a 分解成 2 个正整数的乘积a1 , a2 ，将 c 分解成 2 个非分数的乘积c1 , c2 ，进行交叉相乘，如果a1 c2a2 c1b ，那么分解成功，原方程可转化为a1 xc1a2 xc20 的形式，化为两个一元一次方程，进而求得方程的根。（ 3）一元二次方程根情况的讨论：b且c。1两根 x1 ， x2同时为正a0a0b且c。2两根 x1 ， x2同时为负a0a03两根 x1 ， x2c异号0a5 特殊不等式的解法：（ 1）分式不等式的解法：一般方法：先将所有项移到不等式左边，通分，如果分式的值大于0，则分子与分母同号，求解；如果分式的值小于0，则分子与分母

27、异号，求解。注意分母不能为0。（ 2）一元高次不等式的解法：一般方法：解出其中的所有根x1 ， x2 ， xn ，从小到大排序，画在数轴上，从右上开始像穿针线那样画一条穿过所有根的线，若有同时有偶数个相同的根，则反弹回去，若同时有奇数个相同的根，则正常穿过。若求的是大于 0 的解集， 则看数轴上方线上对应的x，即为原不等式的解集；若求的是小于0 的解集，则看数轴下方线上对应的x，即为原不等式的解集。 （理论来源： 三次函数以上高次函数的图象可得，这里不做研究。）6 解析几何的简单知识：（ 1）直线的倾斜角与斜率1一条直线与 x 正半轴方向所夹的角为该直线的倾斜角，若该直线与 x 轴平行或重合，

28、则0。2直线斜率 k 的公式：若倾斜角为，则 k tan；若直线上任意两点坐标为x1 , y1 ,x2 , y2，则ky2y1 。如果该直线垂直于x 轴，则该直线的斜率不存在。x2x1（ 2）直线的方程的形式：1一般式： AxByC0 A, B不同时为 02斜截式： ykxb k为斜率， b为直线在 y轴上的截距3点斜式： yy0k xx0k为斜率， x0 , y0为该直线上的任意一点yy1xx1x1 , y1 , x2 y2为该直线上任意两点4两点式：y1x2x1y2xy1 a,b分别为直线在 x轴上的截距与直线在 y轴上的截距5截距式：ba（ 3）点 x, y 到直线 AxByCAxBy

29、c0 的距离为。A2B2（ 4）圆的标准方程为xa 2yb 2r 2 a, b 为圆心坐标， r为半径 。7 二元一次不等式（组）与平面区域：（ 1）确定二元一次不等式Ax ByC0或 AxByC 0 A, B不同时为 0 平面区域的方法： 先在平面直角坐标系中画出所对应的直线AxBy C0 A, B不同时为 0 ，将平面区域分成两大块，选择测试点，带入原不等式，如果成立，则解集为该点所在的区域。如果不成立，则在另一边的区域。（ 2）确定二元一次不等式Ax By C 0或 Ax By C0 A, B不同时为 0平面区域的方法：若B 的符号与不等式整体的符号同号，则满足原不等式的平面区域位于直线

30、的上方；若B 的符号与不等式整体的符号异号，则满足原不等式的平面区域位于直线的下方。（同号取上方，异号取下方）（ 3）确定二元一次不等式组的平面区域：把各个二元一次不等式的平面区域画出来，取公共部分，即为原二元一次不等式组的平面区域。8 线性规划问题：（ 1）求目标函数zaxby（ a, b不同时为 0）的最值：一般方法：先画出满足题意的二元一次不等式组的平面区域，先把目标函数化为ya xz 的形式。bb若 z0 ，求 z 的最大值，由于斜率一定，则将ya xz 在满足线性约束条件的前提下平移，找到bbbz直线与 y 轴截距最大的点，及截距，可算出z 的最大值；最小值同理。若0 ，则截距的最大值求出的 z 为 z 的最小值；截距的最小值为出的z 为 z 的最大值。b（ 2 ）若使目标函数zaxby（ a, b不同时为 0）取得最值的最