(完整word版)勾股定理知识点总结及练习,推荐文档

1、本章共课时第课时第十八章勾股定理一基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、 b 的平方和等于斜边22c 的平方。（即： a +b c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中，C 90，则ca 2b 2 ， bc2a2 ， ac2 b 2 ）（ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（ 3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积

2、不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法， 列出等式， 推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4 SS正方形 EFGHS正方形 ABCD， 41ab (b a)2c2 ，化简可证2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积DCHEGFbaAcBbaaccbbccaabDCHEGFbaAcBAaDcbcEaBbC四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41 abc22abc22大正方形面积为S(a b)2a22abb 2所以 a 2b2c2方法三： S梯形1 ( ab)(ab) ， S梯形2S ADES ABE21 ab1 c2 ，化简得证2223：勾股数能够构成直角三

3、角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2b 2c2 中， a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n 组勾股数： n21,2n, n21 （ n2, n 为正整数）；2n 1,2n22n,2n22n1n为正整数）m2n2 ,2 mn,m2n2（ mn,m，n为正整数）（规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关1本章共课时

4、系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。二、 经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例 .在 ABC 中，C90 已知 AC6， BC8求 AB 的长已知 AB17， AC15，求 BC 的长分析：直接应用勾股定理a2b2c2解： ABAC 2BC210 BCAB2AC 28题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物9 米，那么15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一” 的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定

5、理！2222222根据勾股定理AC+BC=AB,即 AC+9 =15 , 所以 AC=144, 所以 AC=12.例题 2如图（ 8），水池中离岸边D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.CABD解析： 同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知 ACD中 ,ACD=90°, 在 Rt ACD中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一” 的类型。标准解题步骤如下（仅供参考）：222解： 如图 2，根据勾股定理，AC+CD=AD设水深 AC= x

6、 米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.5 2=（ x+0.5 ） 2解之得 x=2.故水深为2 米.题型四 ：利用勾股定理求线段长度2本章共课时例题 4 如图 4，已知长方形ABCD中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点E，将 ADE折叠使点 D 恰好落在BC边上的点F，求 CE的长 .解析： 解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下：解： 根据题意得Rt ADE Rt AEF AFE=90° , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm，则 DE=EF=CD CE=8x在 Rt ABF中由勾股定理得：222222AB +BF

7、=AF ，即 8 +BF=10 ， BF=6cm CF=BC BF=10 6=4(cm)在 Rt ECF中由勾股定理可得：222 x)22+42EF =CE+CF，即 (8=x 64 16x+x2=2+16 x=3(cm), 即 CE=3 cm注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积3本章共课时第课时第十八章勾股定理一基础知识点：1：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、 c，则有关系 a2+b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（ 1

8、）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；222是否具有相等关系，若222（ 2）验证 c与 a +bc a+b ，则 ABC 是以 C 为直角的直角三角形222222（若 c >a +b ，则 ABC 是以 C 为钝角的钝角三角形；若c <a +b ，则 ABC 为锐角三角形）。（定理中 a ， b ， c 及 a2b2c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）2：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判

9、定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长222a， b， c 有下列关系： a +b c ， ?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形C的判定方法5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合 ”的理解BAD我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命

10、题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）二、 经典例题精讲题型一 ：勾股定理和逆定理并用例题 3如图 3，正方形 ABCD中， E 是 BC边上的中点， F 是 AB上一点，且FB1AB 那么 DEF是直角三角形吗？为什么？4解析： 这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由FB1 AB可以4设 AB=4a，那么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a, 那么在 Rt AFD 、 Rt BEF和 Rt CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和 DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是

11、直角三角形。4本章共课时详细解题步骤如下：解： 设正方形ABCD的边长为4a, 则 BE=CE=2a,AF=3 a,BF= a222222在 Rt CDE中， DE=CD+CE=(4 a) +(2 a) =20a同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF中， EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且DEF=90° .注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型二：利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB 边和 CD边，他测得AD=80cm， AB=60cm， BD=100c

12、m， AD边与 AB 边垂直吗？怎样去验证AD边与 CD边是否垂直？解析： 由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形 ABCD表示桌面形状，在AB 上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？) ，连结 MN，测量 MN的长度。222如果 MN=15,则 AM+AN=MN, 所以 AD边与 AB边垂直；如果 MN=a 15, 则 92+122=81+144=225,a2 225, 即 92+122 a2，所以 A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题例题 6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方， 离地高 4.5

13、 米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析： 首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5 米还是脚先距离灯5 米，可想而知应该是头先距离灯5 米。转化为数学模型，如图6 所示， A 点表示控制灯，BM表示人的高度，BC MN,BC AN当头（ B 点）距离 A 有 5 米时，求 BC的长度。已知AN=4.5 米 , 所以 AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米 . 即使要走到离门4 米的时候灯刚好打开。题型三 ：旋转问题：例 1、如图， ABC 是直角三角形， BC 是斜边， 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后， 能与 AC

14、 P重合，若 AP=3，求 PP的长。变式 1：如图， P 是等边三角形ABC内一点， PA=2,PB=23 ,PC=4, 求 ABC的边长 .分析：利用旋转变换，将BPA绕点 B逆时针选择 60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.5本章共课时变式 2、如图， ABC为等腰直角三角形，BAC=90°， E、 F是BC上的点，且EAF=45°，试探究 BE 2、 CF 2、 EF 2 间的关系，并说明理由.题型四 ：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片 ABCD的边 AB=10cm，BC=6cm，E 为BC 上一点，

15、将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好 落在 CD 边上的点 G 处，求 BE 的长 .变式：如图， AD 是 ABC的中线， ADC=45°，把 ADC 沿直线 AD 翻折，点 C 落在点 C 的位置， BC=4,求 BC的长 .题型五 ：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇， 点 A 处有一所中学， AP=160 米，点 A 到公路 MN 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米 /小

16、时，那么学校受到影响的时间为多少？题型六 ：关于最短性问题例 5、如右图1 19，壁虎在一座底面半径为2 米，高为4 米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1 位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9 个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最

17、少要花几秒钟？第课时6本章共课时勾股定理练习一填空题：1. 在 Rt ABC 中， C=90°（ 1）若 a=5， b=12，则 c=_ ；（ 2） b=8， c=17，则 SABC =_ 。2.若一个三角形的三边之比为5 12 13，则这个三角形是_（按角分类） 。3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为_。4传说 ,古埃及人曾用拉绳”的方法画直角,现有一根长24 厘米的绳子 ,请你利用它拉出一个周长为24 厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_ 厘米 ,_厘米 ,_厘米 ,其中的道理是 _.5.命题“对顶角相等”的逆命题为_, 它是 _命题 .(填“真

18、”或“假”)6观察下列各式：32 +42=52；82+62=102；152+8 2=17 2；242+102=262；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：_ 。7利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)从图中可以看到：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而 c2,化简后即为c2BcbaA第8题图8 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是 8 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_ 。二选择题：9观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12,

19、15, 20; (4) 7, 24, 25.其中能作为直角三角形的三边长的有() 组A.1B.2C.3D.410三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（）A.6B.C.64D.86A1011.已知直角三角形的两条边长分别是5 和 12，则第三边为 （）119或 119 不能确定12.下列命题如果a、 b、 c 为一组勾股数，那么 4a、4b、4c仍是勾股数；如果直角三角形的两边是 5、 12，那么斜边必是13；如果一个三角形的三边是12、 25、 21，那么此三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、 c，（ a>b=c），那么 a2b2 c2=2 1 1。其中正确的是（

20、）7本章共课时A 、B、C、D、13.三角形的三边长为（a+b） 2=c2+2ab,则这个三角形是 ()A. 等边三角形 ;B.钝角三角形 ;C. 直角三角形 ; D.锐角三角形 .14.如图一轮船以16 海里 /时的速度从港口 A 出发向东北方向航行， 另一轮船以12 海里 /时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2 小时后，则两船相距（）A 、25 海里B、30 海里C、 35 海里D 、40 海里15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为 6，则以底边为边长的正方形的面积为（）A、40B、80C、 40 或 360D、 80 或 36016某市在旧城改造中， 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美