(完整word)2.2直接证明与间接证明学案(含答案),推荐文档

1、§ 2.2审核签名：完成所需时间：40 分钟一 自主测试1. 分析法是从要证的结论出发直接证明与间接证明学案编制：班级姓名, 寻求使它成立的编制时间：条件 .3 月第4 日小组2. 若a b 0, 则a+ 1b+ 1.(用“ ”, “” , “=”填空 )ba3. 要证明3 +7 25 ，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.反证法分析法综合法4. 用反证法证明命题： 若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）有有理数根， 那么 a、b、 c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是.假设 a、 b、 c 都是偶数假设 a、 b、 c 都不是偶数假设 a、 b、

2、 c 至多有一个偶数假设 a、 b、 c 至多有两个偶数5. 设 a、b、 c（ 0， +），P=a+b- c，Q=b+c- a，R=c+a- b，则“ PQR 0”是“ P、 Q、 R同时大于零”的条件 .二典例分析例 1（ 1）设 a, b, c 0, 证明： a2b2c 2 a+b+c.bca（ 2）已知 a, b, c 为互不相等的非负数. 求证： a2+b2+c2abc ( a + b + c )例2（1）求证： 37 2 5 。 （ 2）已知 a 0, 求证： a2 1-2 a+1-2.a2a例3若 x, y 都是正实数，且x+y2,求证： 1x 2 与 1y 2 中至少有一个成立

3、 .yx三巩固练习1. 用反证法证明“如果a b, 那么 3 a 3 b ”假设内容应是.2. 已知 a b 0，且 ab=1, 若 0 c 1, p=log c a2 b22, q=log c12ab是.，则 p, q 的大小关系3. 设 S 是至少含有两个元素的集合 . 在 S上定义了一个二元运算“ * ”（即对任意的 a, bS，对于有序元素对 ( a, b), 在 S 中有唯一确定的元素 a* b 与之对应） . 若对任意的 a, bS, 有a*( b* a)= b, 则对任意的a, b S，下列恒成立的等式的序号是.（ a* b） * a=a a*( b* a) *( a* b)=

4、a b*( b* b)= b ( a* b)* b*( a* b) =b4. 如果 A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2 的三个内角的正弦值，则A1B1C1 是三角形， A2B2C2 是三角形 . （用“锐角” 、“钝角”或“直角”填空）5. 已知三棱锥 S ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： BC平面 SAC；平面 SBC平面 SAB； SB AC.其中正确命题的序号是.6. 对于任意实数a, b 定义运算a* b=（ a+1） ( b+1)-1, 给出以下结论：对于任意实数a, b, c，有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c);对于任意实数a,

5、 b, c，有 a*( b* c)=( a* b)* c;对于任意实数a, 有 a*0=a, 则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）7. （教材）在ABC中，三个内角A,B,C 的对边分别为a, b, c且 A,B,C成等差数列， a, b, c成等比数列，求证ABC为等边三角形。8. （教材）已知 1tan1, 求证 3sin 24cos22tan9. 已知 a、b、 c（ 0， 1），求证： (1- a) b,(1-b) c,(1- c) a 不能同时大于1 .4参考答案一，自主测试1.分析法是从要证的结论出发, 寻求使它成立的条件 .答案充分2.若 a b 0, 则 a+

6、 1b+ 1 .( 用“ ” , “ ” , “ =”填空 )ba答案3.要证明3 +7 2 5 ，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号） .反证法分析法综合法答案4. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2+bx+c=0（ a 0）有有理数根，那么 a、 b、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是假设 a、b、 c 都是偶数假设 a、b、 c 都不是偶数假设 a、b、 c 至多有一个偶数假设 a、b、 c 至多有两个偶数答案.5. 设 a、 b、 c（ 0， +）， P=a+b- c， Q=b+c- a， R=c+a- b，则“ PQR 0”是“ P、Q、 R 同时大

7、于零”的条件 .答案充要二典例分析例 1 设 a, b, c 0, 证明： a2b 2c 2 a+b+c.bca证明 a, b, c 0，根据基本不等式，有 a 2+b 2a,b2+c 2b, c 2+a2c.bca三式相加：a2+ b2+ c 2+a+b+c2( a+b+c).bca即 a 2 + b 2 + c2 a+b+c.bca变. 已知a, b, c 为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2abc (a +b +c ).222222证明 a +b 2ab, b +c 2bc, a +c 2ac.又 a, b, c 为互不相等的非负数， a2+b2+c2 ab+bc+ac, ab+b

8、c 2ab 2 c , bc+ac 2 abc2 ,ab+ac 2a 2bc ,又 a, b, c 为互不相等的非负数， ab+bc+acabc (a +b +c ), a2+b2+c2abc (a +b +c ).例 2 （ 1）略（ 2）已知 a 0, 求证：a21-21 -2.a2 a+ a证明要证a 21-2 a+1 -2,a 2a只要证211+2 .aa2+2a+ a12（ a+ 1 + a 0, 故只要证a 222） 2,a2a即 a2+ 1 +4a 21+4a2a 221a1+2, a +2+ a 2 +22a从而只要证 2a 212a1,a 2a只要证 4 a 21 2（a2+

9、2+ 1） , 即 a2+ 1 2, 而该不等式显然成立，a 2a 2a2故原不等式成立.例 3 若 x, y 都是正实数，且 x+y 2,求证： 1x 2 与 1 y 2 中至少有一个成立 .yx2 分6 分8 分10 分14 分证明假设 1x 2 和 1y 2 都不成立，yx则有 1x 2 和 1y 2 同时成立，yx因为 x 0 且 y 0,所以 1+x2y，且 1+y 2x，两式相加，得2+x+y 2x+2y，所以 x+y2，这与已知条件x+y 2 相矛盾，因此 1x 2 与 1 y 2 中至少有一个成立 .yx一、填空题1. （ 2008·南通模拟） 用反证法证明“如果a

10、b, 那么 3 a 3 b ”假设内容应是.答案3 a = 3 b 或 3 a 3 b2. 已知 a b 0，且 ab=1, 若 0 c 1, p=log c a2b22, q=log c12ab是.，则 p, q 的大小关系答案p q3. 设 S 是至少含有两个元素的集合. 在 S上定义了一个二元运算“* ”（即对任意的a, bS，对于有序元素对( a, b), 在 S 中有唯一确定的元素a* b 与之对应） . 若对任意的a, bS, 有a*( b* a)= b, 则对任意的a, b S，下列恒成立的等式的序号是.（ a* b） * a=a a*( b* a) *( a* b)= a b*

11、( b* b)= b ( a* b)* b*( a* b) =b答案4. 如果 A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2 的三个内角的正弦值，则A1B1C1 是三角形， A2B2C2 是三角形 . （用“锐角” 、“钝角”或“直角”填空）答案锐角钝角5. 已知三棱锥 S ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题： BC平面 SAC；平面 SBC平面 SAB； SB AC.其中正确命题的序号是.答案 6. 对于任意实数a, b 定义运算 a* b=（ a+1） ( b+1)-1,给出以下结论：对于任意实数a, b, c，有 a*( b+c)=( a* b)+( a* c);对于任意实数a, b, c，有 a*( b* c)=( a* b)* c;对于任意实数a, 有 a*0= a, 则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）答案 二、解答题7.略， 8略9. 已知 a、 b、 c（ 0， 1），求证： (1-a) b,(1- b) c,(1-c) a 不能同时大于1 .4证明 方法一假设三式同时大于1，4即 (1- a) b 1 ,(1-b) c 1 ,(1- c) a 1 ,444 a、 b、 c (0,1),三式同向相乘得(1- a) b(1- b) c(1- c) a 1 .642又 (1- a) a 1aa=