解析几何范围最值问题教师

1、第十一讲 解析几何范围最值问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.一、几何法求最值【例1】 抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足(4，12)(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求ABP面积的最大值满分解答(1)根据

2、题意可设直线l的方程为ykx2，抛物线方程为x22py(p0)由得x22pkx4p0设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所以解得故直线l的方程为y2x2，抛物线方程为x22y.(2)设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，ABP的面积最大对yx2求导，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即P(2，2)此时点P到直线l的距离d.由得x24x40，则x1x24，x1x24，|AB| · ·4 .于是，ABP面积的最大值为×4 ×8 .二、函数法求最值【示例】

3、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由(1)由e ，得ab，椭圆C：1，即x23y23b2，设P(x，y)为C上任意一点，则|PQ| ，byb.若b1，则b1，当yb时，|PQ|max 3，又b0，得b1(舍去)，若b1，则b1，当y1时，|PQ|max 3，得b1.椭圆C的方程为y21. (2)法一假设存在这

4、样的点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m.由题意可得SAOB|OA|·|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90°时取等号，这时AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mxny1的距离为，则，得m2n22，又n21，解得m2，n2，即存点M的坐标为，满足题意，且AOB的最大面积为.(12分)法二假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有n21，即n21，m，又设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由，消去y得(m2n2)x22mx1n20，把n21代入整理得(32m2)x26mxm20，则8m2(3m2)0，而SAOB|OA|·|OB|si

5、nAOBsinAOB，当AOB90°，SAOB取得最大值，此时·x1x2y1y20，又y1y2·，x1x20，即33m(x1x2)(32m2)·x1x20，把代入上式整理得2m49m290，解得m2或m23(舍去)，m±，n± ±，M点的坐标为，使得SAOB取得最大值.老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法函数法是研究数学问题的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建

6、立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注三.定义法求最值 在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。但是, 一味的强调函数观点, 有时会使思维陷入僵局。这时, 若能考虑用圆锥曲线的定义来求解, 问题就显得特别的简单。例1、如图，M是以A、B为焦点的双曲线右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是（ ）A、 B、C、 D、分析：此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。解法如下：连结MA，由双

7、曲线的第一定义可得： 当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。如果此题就到此为止，未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究：（1）如果M点在左支上，则点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆上任一点，若点M到点与点B的距离之差为S，则S的最大值是多少？（3）如果M是以A、B为焦点的椭圆上任一点，若点M到点与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？分析：连结MA，由椭圆的第一定义可得：，当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值，如上图所示。对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了。练习1、如图，椭圆C的方程

8、为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P（1，0）, 且BPy轴，APB的面积为.（1）求椭圆C的方程；（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程.ABPxyO分析：同样, 此题若采用函数观点, 问题（2）将变得复杂化！若能利用双曲线的第一定义，则解答就容解易得多了。简解：（1） 又PAB45°，APPB，故APBP3.P（1,0），A（2,0），B（1,3）b=2，将B（1，3）代入椭圆得：得 ，所求椭圆方程为（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则易知F1（0,）F2（0，）， 直线的方程为：，因

9、为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须MF1MF2最大，设F1（0，）关于直线的对称点为（2，2），则直线与直线的交点为所求M， 因为的方程为：, 联立 得M（）又=MF1-MF2=MMF22，故，故所求双曲线方程为：2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线的焦点P为其一个焦点，以双曲线的焦点Q为顶点。(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求的取值范围。解：(1)抛物线的焦点P为(4，0)，双曲线的焦点Q为(5，0)可设椭圆的标准方程为，由已知有a>b>0，且a=5，c=4 ，椭圆的标准方程为 (2)设，线段CD方程为，即 点M是线段CD上，将代入得 ，的最大值为24，的最小值为。的取值范围是。 3、一动圆与圆外切，与圆内切(I)求动圆圆心M的轨迹L的方程()设过圆心O1的直线与轨迹L相交于A、B两点，请问（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R由题意，得， 由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1， 动圆圆心M的轨迹L的方程为 (2)如图，设内切圆N