福建省高考数学试卷(理科)

1、20页CA.-1B.C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7. （5分）已知函数f (x)=y2+l y0二，则下列结论正确的是（COSX , K40A. f （x）是偶函数B. f （x）是增函数2014年福建省高考数学试卷（理科）、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. （5分）复数z=（3-2i）i的共腕复数工等于A.-2-3iB,-2+3iC.2-3iD.2+3i2. （5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（A,圆柱B,圆锥C.四面体D.三棱柱3. （5分）等差数列an的前n项和为若ai=2,&=12,则

2、a6等于A.8B,10C.12D.144. （5分）若函数y=logax（a0,且a*1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）D.5. （5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.406. (5分)直线l:y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A,B两点，则“k=1AOAB的面积为5”的（A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为-1,+oo)8. (5分)在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.=(0,0),同二(1,2)B.3=(T，2),=(5,-2)Ce=(3，5)，

3、匕2=(6，10)D-q=(2，一3),巴？=(2，3)29. (5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆缶+y2=1上的点，则P,Q两点间的最大距离是()A.5丁B.丁+丁C.7+1D.6丁10. (5分)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1表示一个球都不取、“熊示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取

4、出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+C2+c?+c4+c5)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置11. (4分)若变量x,y满足约束条件，x+2y-g0,则z=3x+y的最小值为.Lx)012. (4分)在ABC中，A=60,AC=4,BC=2际，则ABC的面积等于.13. (4分)要制作一个容器为4m3,高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造

5、价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(单位：元)14. (4分)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.15. (4分)若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四个关系：a=1;bw1;c=2；dw4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)吉.(1)若0Va0,b0)的两条渐近线分别为11：aby=2x,匕：y=-2x.(1)求双曲线E的离

6、心率；(2)如图，。点为坐标原点，动直线l分别交直线1i,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限)，且4OAB的面积包为8,试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选彳4-2:矩阵与变换20. (14分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时

7、，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c,总存在xo,使得当x(刈，+8)时，包有x23.2014年福建省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. (5分)复数z=(3-2i)i的共腕复数；等于()A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z,则其共腕可求.【解答】解：Vz=(3-2i)i=2+3i,工二2-3i.故选：C.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题.2. （5分）某空间几何体的正视图是三角形，则

8、该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可.【解答】解：圆柱的正视图为矩形，故选：A.【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题.3. （5分）等差数列an的前n项和为若a二2,&=12,则a6等于（）A.8B.10C.12D.14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2,进而可得公差，可得a6【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3&=12,解得a2=4,.公差d=a2-a1=4-2=2,.%=a1+5d=2+5X2=12,故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项公式

9、和求和公式，属基础题.4.（5分）若函数y=logax（a0,且a*1）的图象如图所示，则下列函数图象D.【分析】由题意可得a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.【解答】解：由题意可知图象过（3,1）,故有1=loga3,解得a=3,选项A,y=ax=3x=（,）x单调递减，故错误；选项B,y=x3,由幕函数的知识可知正确；选项C,y=（-x）3=-x3,其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D,y=loga（-x）=log3（-x）,当x=-3时，y=1,但图象明显当x=-3时，y=-1,故错误.故选：B.【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幕函数的图象，属基础题.5.

10、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.40【分析】算法的功能是求S=21+22+-+2n+1+2+-+n的值，计算满足条件的S值，可得答案.【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+2n+1+2+-+n的值，vS=2+22+1+2=2+4+1+2=9AOAB的面积为，”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解：若直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则圆心到直线距离

11、d=J,|AB|=2/i-d2=21一,41+/vi+k2Vi+k2若k=1,则|AB户/区3，d=-=走,则AOAB的面积为工xgx返达成飞2V1+122V22=X 2 X 根 - I、I =L1十/ 21+k2 1+k2 2立，即充分性成立.若4OAB的面积为工，则S=X,1X22Vii?即k2+1=2|k|,即k22|k|+1=0,贝(J(|k|-1)2=0,即|k|二1,解得k=1,则k=1不成立，即必要性不成立.故k二促AOAB的面积为工”的充分不必要条件.2故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.7+1Y

12、0二，则下列结论正确的是()COSK,K0A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为-1,+oo)【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可.【解答】解：由解析式可知当x0时，f(x)=x2+1,为二次函数的一部分，故f(x)不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C,对于D,当x0时，函数的值域为(1,+8),故函数f(x)的值域为-1,+00),故正确.故选：D.【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题.8. （5分）在下列向量组中，可以把向量a=（3,2）表示出来的是（）A.=（0,0）,同二

13、（1,2）B.砥=（T，2）,=（5,-2）C已（3，5）,匕2=（6，10）D）.已（2，3）,巴2=（2，3）【分析】根据向量的坐标运算，；二入3+以弓，计算判别即可.【解答】解：根据；二入耳+在二选项A:（3,2）=入（0,0）+小（1,2）,贝U3=%2=2必无解，故选项A不能；选项B:（3,2）=入（-1,2）+仙（5,-2）,贝U3=-叶552=2X-2%解得，入二211=1故选项B能.选项C:（3,2）二入（3,5）+小（6,10）,贝U3=3叶6%2=5叶10%无解，故选项C不能.选项D:（3,2）二入（2,3）+小（2,3）,则3=2入2%2=-3入+35无解，故选项D不能.

14、故选：B.【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据；二八式+四,列出方程解方程是关键，属于基础题.9. （5分）设P,Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P,Q两点间的最大距离是（）A.5工B.”十二C.7+二D.6三【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P,Q两点问的最大距离.【解答】解：设椭圆上的点为（x,y）,则.圆x2+（y-6）2=2的圆心为（0,6）,半径为近，椭圆上的点（x,y）到圆心（0,6）的距离为J八十（y-6）2=雨0（1-，）+（厂6）2=卜（/）2+5005&,.P,Q两点间的最大距离是5万+&=6/2故选：D.【点评】本题

15、考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10. (5分)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1表示一个球都不取、“熊示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)

16、5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+C2+c?+c4+c5)【分析】根据“+a+b+ab表示出来，如：”1表示一个球都不取、”旗示取出一个红球，而“abM表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5;从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5;从5个有区别的黑球中取出若干个

17、球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+clc+c|c2+cic3+cl!c4+CeC5=(1+c)5,根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5故选：A.【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置-y+l=C011. (4分)若变量x,y满足约束条件,x+2y-80【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值.【解答】解

18、：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y,得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,由图象可知当直线y=-3x+z,经过点A(0,1)时，直线y=-3x+z的截距最小，此时z最小.止匕时z的最小值为z=0x3+1=1,故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.12. (4分)在ABC中，A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积等于2匹.【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B,再利用三角形的面积公式求出ABC的面积.【解答】解：.ABC中，A=60,AC=4,BC=2/s,由正弦定理得：呼二区，sinAsinB.2sin60sinB解得s

19、inB=1,.B=90,C=30,人38勺面积4式030二蓊故答案为：一三.【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题.13. (4分)要制作一个容器为4m3,高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是一160(单位：元)【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a,b,成本为y,建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解：设池底长和宽分别为a,b,成本为y,则.长方形容器的容器为4m3,高为1

20、m,故底面面积S=ab=4,y=20S+102(a+b)=20(a+b)+80,a+b127&b=4,故当a=b=2时，y取最小值160,即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题.14. (4分)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为菖一e【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率.【解答】解：由题意，丫二皿乂与y=ex关于y=x对称，一阴影部分的面积为2jj(e-ex)dx=2(ex-ex)|J=2,边长为e(e为自然对数的底数)的正方形的

21、面积为e2,落到阴影部分的概率为与e故答案为：4-e【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15. (4分)若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四个关系：a=1;bw1;c=2；dw4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是6.【分析】利用集合的相等关系，结合a=1;b*1;c=2；d*4有且只有一个是正确的，即可得出结论.【解答】解：由题意，a=2时，b=1,c=4,d=3;b=3,c=1,d=4;a=3时，b=1,c=4,d=2;b=1,c=2,d=4;b=2,c=1,d=4;a=4时，b=1,c=3,d=2;符合

22、条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是6个.【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键.三、解答题：本大题共4小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.2(1)若0Va2L,且sina返，求f(a)的值；22(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.【分析】(1)根据题意，利用sin冰出cosa的值，再计算f(a)的值;(2)化简函数f(x),求出f(x)的最小正周期与单调增区间即可.【解答】解：(1).-0a,且sin2.cosa姿，2.f(a)=cosa(sin+cos&-

23、工2=&(亚忠)工2222工2，(2).函数f(x)=cosx(sinx+cosx)一2=sinxcos)+cos2x-2-sin2x+1+cos2x-222=-y(sin2x+cos2x)sin(2x4),- f (x)的最小正周期为T=2令2k：t工&2x+工&2k：i+工,kCZ,242解得k九一WE_&x&k#2L,kez；8,f(x)的单调增区间为l吩，k旧kCZ-【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目.17.(13分)在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1ABBD,CDBD,将AABD沿BD折起，使得平面ABD面BCR如图.(1)求证：ABCD;

24、(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可得出；(2)建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为9,利用线面角的计算公式sin8Ros1=3皿即可得出.In|AD|【解答】(1)证明：二.平面ABDXT面BCR平面ABDA平面BCD=BDAB?平面ABD,ABXBD,.AB,平面BCD,又CD?平面BCRAB，CD.(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系.VAB=BD=CD=1ABXBD,CD!BD,.B(0,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),D(0,1,0),M孤第聂.w乙元=(0,1,-1),BC=(1

25、,1,0),前二(0,u乙nBC=x+y=O设平面BCM的法向量G=(x,y,z),则1,n.BH令y=1,贝Ux=1,z=1.二=(1,1,1).设直线AD与平面MBC所成角为9.则 sin 8 HosV23【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin 81Posl =I nAD IIn I I AD I考查了推理能力和空间想象能力,属于中档题.18. (13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面

26、值为50元，其余3个均为10元，求：顾客所获的奖励额为60元的概率;顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【分析】(1)根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20,60,分别求出P(X=60),P(X=20),画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；(2)先讨论，寻找期望为60元

27、的方案，找至I(10,10,50,50),(20,20,40,40)两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【解答】解：(1)设顾客所获取的奖励额为X,cScl1依题意，得P(X=60)=，芸,Cz也即顾客所获得奖励额为60元的概率为上，2依题意得X得所有可能取值为20,60,1 31P(X=60)4,P(X=20)T二22 C；2所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)=20x1+60x1=4022(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60

28、元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1,对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2,以下是对这两个方案的分析：对于方案1,即方案(10,10,50,50)设顾客所获取的奖励额为Xi,则Xi的分布列为Xi6020100X的数学期望为E(X=20Xy+60X-1+100X-x6o-X1的方差D(X1)=(20GO)

29、?X%(60-6。)之然,+(100-60)2X；=，6363对于方案2,即方案(20,20,40,40)设顾客所获取的奖励额为X2,则X2的分布列为X240P6080X2的数学期望为E(X2)=40乂/+60X导200,b0)的两条渐近线分别为11：/b2y=2x,I2：y=-2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，。点为坐标原点，动直线l分别交直线h12于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限)，且4OAB的面积包为8,试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由.【分析】(1)依题意，可知=2,易知c=/5a,从而可求双曲线E

30、的离心率；22（2）由（1）知，双曲线E的方程为三-三=1,设直线1与x轴相交于点C,/4a22分l，x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l，x轴时，易求双曲线E的方程为工-42=1.当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m,与双曲线E的方16程联立，利用由Saoab二L|Oq?|y1-y2|=8可证得：双曲线E的方程为-=12416从而可得答案.【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为li：y=2x,12：y二-2x,所以二2.a所以_=2.a故c二a,从而双曲线E的离心率e=立.a22（2）由（1）知，双曲线E的方程为-j=1.z4a*设直线l与x轴相交于点C,当1，x轴时，若

31、直线1与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC=a,|AB|二4a,所以1|OC?|AB|=8,i22因此犷4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为台二1.16=1也满足条件.2以下证明：当直线1不与x轴垂直时,双曲线E的方程为亍-设直线1的方程为y=kx+m,依题意，得k2或k-2；则C（一黑0）,记A（七，y”,B（x2,y2）,k产kx+m阳2m日工田砥2m由，办行y1二tt，同理得y2Fr，产2x2-k2+k由SOAB=y|OC?|y1y2|得：建1|一也|?|一|=8,即m2=4|4k2|=4(k24).2k2-k2+kf 2由.V得：(4 k2) x2-2kmx- m2 - 16=

32、0,y=kx4-ip因为4-k20时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c,总存在小，使得当x(xo,+8)时，包有x2cex.【分析】(1)利用导数的几何意义求得a,再利用导数的符号变化可求得函数的极值；(2)构造函数g(x)=ex-x2,求出导数，利用(1)问结论可得到函数的符号，从而判断g(x)的单调性，即可得出结论；(3)首先可将要证明的不等式变形为x2a时，工x22x3,ccc3因此问题转化为证明当x(0,+OO)时，包有,ex.【解答】解：(1)由f(x)=exax,彳#f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1,解得a=2,.f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.由f(

33、x)=0,彳#x=ln2,当xln2时，f(x)ln2时，f(x)0,f(x)单调递增；二当x二ln2时，f(x)有极小值为f(ln2)=eln2-21n2=2-ln4.f(x)无极大值.(2)令g(x)=ex-x2,贝Ug(x)=ex-2x,由(1)得，g(x)=f(x)f(1n2)=e1n221n2=21n40,即g(x)0,.二当x0时，g(x)g(0)0,即x2ex；(3)首先证明当x(0,+oo)时，包有x30时，x2ex,从而h(x)0,h(x)在(0,+00)单调递减，所以h(x)h(0)=-10,即x3x0时，有工x2Lx3ex.cc3因此，对任意给定的正数c,总存在x0,当xC(x0,+00)时，包有x2cex.【点评】该题主要考查导数的几何意义、导