《应用统计学教学资料》统计学 第七章 参数估计

1、统计学统计学第第七七章章 参数估计参数估计编辑ppt2 参数估计的一般问题 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本量的确定学习目标学习目标本章学习目标本章学习目标3参数估计的一般问题 4参数估计参数估计的一般问题的一般问题 估计量与估计值估计量与估计值评价估计量的标准评价估计量的标准点估计与区间估计点估计与区间估计12351.估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例, 样本方差等例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量2.参数用 表示，估计量用 表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x =80，则80就是的估计值估计量与估计量与估计值估计

2、值(estimator & estimated value)6估计量与估计值估计量与估计值评价估计量的标准评价估计量的标准点估计与区间估计点估计与区间估计123参数估计参数估计的一般问题的一般问题 71.用样本的估计量的某个取值直接作为总用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.无法给出估计值接近总体参数程度的信无法给出估计值接近总体参数程度的信息息点估计点估计(point estimate)81.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而

3、得到2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95% 样本统计量 (点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计区间估计 (interval estimate)9x95% 的样本-1.96 x +1.96 x99% 的样本 - 2.58 x +2.58 x90%的样本 -1.65 x +1.65 x区间估计区间估计 (interval estimate)101.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 2.表示为 (1 a）%a为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水

4、平值有 99%, 95%, 90%相应的相应的 a为，置信水平置信水平(confidence level) 11由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值置信区间置信区间 (confidence interval)12重复构造出重复构造出 的的20个个置信区间置信区间 点估计值点估计值置信区间置信区间 (95%的置信区间的置信区间)13估计量与估计值估计量与估计值评价估计量的标准评价估计量的标准点估计与区间估计

5、点估计与区间估计123参数估计参数估计的一般问题的一般问题 14无偏性：无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数无偏无偏性性(unbiasedness)15有效性：有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效 有效性有效性(efficiency)16一致性一致性(consistency)一致性：一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数17一个总体参数的区间估计18总体均值的区间估总体均值的区间估计计总体方差的区间估总体方差的区间估计计总体比例的区间估总体比例的区间估计计12319一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表

6、示样本统计量均值比例方差20总体均值的区间估计总体均值的区间估计1. 假定假定条件条件l总体服从正态分布,且方差() 已知l如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)2.使用正态分布统计量 z3.总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为21总体均值的总体均值的区间估计区间估计(例题分析例题分析)【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%1

7、12.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.322例题例题答案答案已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2。根据样本数据计算得： 。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的总体均值的区间估计区间估计(例题分析例题分析)23【例】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置

8、信区间 233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的总体均值的区间估计区间估计(例题分析例题分析)例题例题24总体均值的总体均值的区间估计区间估计(例题分析例题分析)答案答案解：已知n=36, 1- = 90%，。根据样本数据计算得： ， 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为岁岁25总体均值的区间估总体均值的区间估计计总体方差的区间估总体方差的区间估计计总体比例的区间估总体比例的区间估计计12326总体均值的总体均值的区间估计区间估计(小样本小样本)1.假定

9、条件总体服从正态分布,但方差() 未知小样本 (n 30)2.使用 t 分布统计量3.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为277.2 t分布分布t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布 28总体均值的总体均值的区间估计区间估计(例题分析例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间1510152014801500145014801510152014801490153015101460

10、14601470147029解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2 根据样本数据计算得： ， 总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为hh总体均值的总体均值的区间估计区间估计(例题分析例题分析)答案答案30总体均值的区间估总体均值的区间估计计总体方差的区间估总体方差的区间估计计总体比例的区间估总体比例的区间估计计123311. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2. 使用正态分布统计量 z3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为总体比例的区间估计总体比例的区间估计32【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗

11、职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35% 例题例题答案答案总体比例的总体比例的区间估计区间估计(例题分析例题分析)33总体均值的区间估总体均值的区间估计计总体方差的区间估总体方差的区间估计计总体比例的区间估总体比例的区间估计计123341. 估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差 2 的点估计量为s2,且4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为总体方差的区间估计总体方差的区间估计35总体方差的总体方差的区间估计区间估计(图示图示)36总体方差的总体方差的区间估计

12、区间估计(图示图示)例题例题【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.337已知n25，1-95% ,根据样本数据计算得s2 2置信度为95%的置信区间为 3641.39)24() 1(2025. 022

13、n该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为总体方差的总体方差的区间估计区间估计(例题分析例题分析)答案答案38一个总体参数的一个总体参数的区间估计区间估计(小结小结)均值均值大样本大样本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知Z Z分布分布小样本小样本 2 2已知已知Z Z分布分布 2 2未知未知t t分布分布比例比例大样本大样本Z Z分布分布方差方差 2 2分布分布39两个总体参数的区间估计40两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计41两个总体均值之差两个总体均值之差的区间估计的区间估计两个总体方差比的两个总体方差比的区间估计区间估计两个总体比例之差两个总体比例之差的区间估计

14、的区间估计123两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计42两个总体均值之差的两个总体均值之差的区间估计区间估计(独立大样本独立大样本)1.假定条件两个总体都服从正态分布，1、 2已知若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量 z431、1， 2已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为2、1、 2未知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的两个总体均值之差的区间估计区间估计(独立大样本独立大样本)44例题例题【例】某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之

15、差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表 。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间 中学中学1中学中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(例题分析例题分析)861x782x45两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(例题分析例题分析)解: 两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为 两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为分分答案答案46两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(例题分析例题分析)某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数

16、据如右表 。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间 中学中学1中学中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x例题例题47解: 两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为 两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为分分两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(例题分析例题分析)答案答案481.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1=2两个独立的小样本(n130和n230)2. 总体方差的合并估计量3.估计量x1-x2的抽样标准差两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(小样本小样本: 12= 22 )49两个总体均值之差的两个总体均值

17、之差的估计估计(例题分析例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间(单位：min)下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5例题例题50答案答案解: 根据样本数据计算得 合并估计量为两种方法组装产品所需平均时间之差的

18、置信区间为两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(例题分析例题分析)51两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 12 22 )1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：12两个独立的小样本(n130和n230)2.使用统计量52两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本小样本: 12 22 )53例题例题沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信

19、水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间 两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(例题分析例题分析)方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.254答案答案两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(例题分析例题分析)解: 根据样本数据计算得 自由度为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为55两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(例题分析例题分析)1.假定条件两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从

20、正态分布2.两个总体均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信区间为56两个总体均值之差的两个总体均值之差的估计估计(匹配小样本匹配小样本)1.假定条件两个匹配的小样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布 2.两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为57例题例题两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表 。试建立两种试卷分数之差d=1-2 95%的置信区间学生编号学生编号试卷试卷A试卷试卷B差值差值d17871726344193726111489

21、845691741754951-2768551387660169857781055391658答案答案解: 根据样本数据计算得两种试卷所产生的分数之差的置信区间为分分两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)59两个总体比例之差的区间估计两个总体比例之差的区间估计1.假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2.两个总体比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信区间为60两个总体比例之差的两个总体比例之差的估计估计(例题分析例题分析)例题例题【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有

22、45%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间 61两个总体比例之差的两个总体比例之差的估计估计(例题分析例题分析)解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1- =95%， z/2 1- 2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%答案答案621. 比较两个总体的方差比2.用两个样本的方差比来判断如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异3.总体方差比在1-置信水平下的置信区间为两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估

23、计63两个总体方差比的两个总体方差比的区间估计区间估计(图示图示)64两个总体方差比的两个总体方差比的区间估计区间估计(例题分析例题分析)【例】为了研究男女学生在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间 65解:根据自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2， F1-/2 12 /22置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为 两个总体方差比的两个总体方差比的区间估计区间估计 (例题分析例题分析)66均值差均值差独立大样本独立大样本 1 12 2、 2 22 2已已Z Z分布分布 1 12 2、 2 22 2未未Z Z分布