离心率的五种求法

1、离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现椭圆的离心率0e1,双曲线的离心率e1,抛物线的离心率e1.一、直接求出ac,求解e已知标准方程或ac易求时，可利用离心率公式c来求解。e-a2例1.过双曲线C: x2两条渐近线分别相交于点yy1(b0)的左顶点A作斜率为1的直线1,若l与双曲线M的b2B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是()A. ,10B. 5 C.号 D. T分析：这里的a 1,cJb2 1,故关键是求出b2,即可利用定义求解。9解：易知A(-1,0),则直线1的方程为yx1。直线与两条渐近线ybx和ybx的交点分别为B(,-b-)、C(

2、,b-),又|AB|=|BC|,可解得b29,则b1b1b1b1c，1'10故有e-d0,从而选A。ca整体求出ea二、变用公式e£Jb.(双曲线)，ea.a例2.已知双曲线的离心率为(2x2a)21y2 1(ab0,b0)的一条渐近线方程为y - xA. 5 B. 433C. 54分析：本题已知b 4,不能直接求出a、c,可用整体代入套用公式。a 34解：因为双曲线的一条渐近线方程为y x,所以b3ae c卜(4)25,从而选Aoa 、334,则3221.设双曲线与一a b离心率等于(C)1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线yx2 1相切，则该双曲线的a. 3

3、B.2C.D.,6解：由题双曲线y2bx4=1 a>0, b>0的一条渐近线方程为 y bx , ba代入抛物线方bx a 0,因渐近线与抛物线相切，所以b2 4a2 0,2,即）程整理得ax24,5.222.过双曲线二y-i（a0,b0）的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的a2b2两条渐近线的交点分别为b,c.若aBbC，则双曲线的离心率是（）2A.72B.33C.后D.Vic答案：C【解析】对于 A a,0 ,则直线方程为x ya2ab a2ab、3B,C(,)BC a b a b a b a b因此 2AB bC, 4a2 b2,即 b2 4, a2 23 .过椭圆x

4、24 1( a b 0)的左焦点a2 b2若 F1PF2 60：,则椭圆的离心率为()a 0 ,直线与两渐近线的交点为B, C,2a2b2a2b""4 ab ab(-2 r-2， - 2 r-21AB， ra b a ba b a bF1作x轴的垂线交椭圆于点P , F2为右焦点,P(b2_33F1PF260：有生 a2a,即S 2从而可得a23【解析】因为c,a1 2故选B三、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率2y例3.已知椭圆彳1（ab0）的左焦点为F,右顶点为A

5、,点B在椭圆上，且bBF x 轴,直线AB交y轴于点P .若iP,则椭圆的离心率是（A. -321【解析】对于椭圆，因为 AP 2PB ,则OA2OF, a 2c,221.设F1和F2为双曲线35 1( aa b0,b0）的两个焦点，若 F1, F2,P(0,2 b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为A.32【解析】由tan 一6c2b4b2 4(c2B.2.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为Fi、F2,F1MF2120°,则双曲线的离心率为（解：如图所示,不妨设M 0,b，F1F2MF1|MF2Jc2b2 ,又"1F22c,在F1MF2中,由余弦定理，得cosF

6、1MF2.33|MFMF2F1F22MFiMF222222c b c b 4cO 2 I 22 c bb2 b22 c2 cb2c2a2,2c2_62故选B3.设4ABC是等腰三角形,ABC120则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（B）13B.24.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(A.,2B.sC.*D.'.512解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上,设其方程为:1(a0,b0),则一个焦点为F(c,0),B(0,b)一条渐近线斜率为：b,a直线FB的斜率为:b(一)cb2acc2a2ac0,解得e5

7、.设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2,F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是C.2D.21.,pf2解：由2b22c2aca化为齐次式2e226.双曲线二/ab直线交双曲线右支于1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2，过F1作倾斜角为30的A.67.设F1,且AF1M点，若MF2垂直于X轴，则双曲线的离心率为(B)2F2分别是双曲线Wa24的左、右焦点，若双曲线上存在点b23AF2,则双曲线的离心率为(10B.p15C.F1AF290D.5A ,3B . 5F2 AB是等边6.解析：连接 AFi, /AF2Fi=30°,|AFi|二c|A

8、F2|二J3c, ： 2a 他1)c ，AF1-AF22AF22a._2c_10222nae(AF1)2(AF2)2二(2c)21%，102228.如图，Fi和F2分别是双曲线勺与1（a0,b0）的两个焦点，A和B是ab以。为圆心，以OR为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且三角形，则双曲线的离心率为（,52双曲线的离心率为1J3,选D。2 X9.设匕、F2分别是椭圆-2 a2 匕 b11 (a0)的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为 3c（c为半焦距）的点，且F1F2F2P ,则椭圆的离心率是（）,2D22 X10.设双曲线三 a2 y b21 (0b）的半焦距为c,直线L过a,0 , 0,

9、b两点.已知原点到直线的距离为3_4 '则双曲线的离心率为A. 2B.D.233解：由已知，直线L的方程为bx ay ab 0 ,由点到直线的距离公式，得ab a2b23c4又c2 3e42a16e2b2,162 _., 一、:4ab v3c，两边平万,0,得 16a23c4 ,整理得得e244,又03b2-2 a与 2, ：e2 4, a2,故选A11.知FF2是双曲线2 x 2 a（a 0,b 0）的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A. 4 2.3 B. . 3 1C.? D. 3 1解：如图，设MF1的中点为P,OF

10、1P 600,PF1 c,xpc2,yp3c,gpp（ £,逸）22 2把P点坐标代人双曲线方程，有2c4 a2至二1, 4b2化简得e4 8e2 4 0解得e 1疵或e 1-x/3（舍），故选De是动点到焦点的距离 与相应四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题22rA_J1心.例4：设椭圆二冬1（a0,b0）的右焦点为弓，右准线为l若过目且垂直ab于x轴的弦的长等于点F1到I1的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，AB是过Fi且垂直于x轴的弦,AD11于D,：AD为到准线11的距离，根据椭圆的第二定义,AF1-

11、|abAD AD1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 椭圆的离心率为（）近,焦点到相应准线的距离为1 ,则该A .2解：eB 2B2AF2I2 2AD 11C - 2_2 22.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为22 ,焦点到相应准线的距离为则该双曲线的离心率为（）五、构建关于e的不等式，求e的取值范围221.已知双曲线1（a0,b0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为600ab的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A1,2B1,2C2,D2,222.椭圆t2r1（ab0）的焦点为'、F2,两条准线与x轴的交点分别为abM、N,若MN2F1F2,则该椭圆离心率的取值范围是（）A.0,1B.o£C.1,1222_2221.双曲线一2 丫2 1(aa2 b2DT10,b0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b>73,离心率 a22_ Ce =2aa2b2>4a：e>2,选Cb 0）的焦点为F1F2,两条准线与x轴的交点分别为222.椭圆=41(aa2b22 a2一, | F1F2 | 2c, c2，a一一、MN<