离心率的求法情况总结

1、圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值：1.利用a与c的关系式（或齐次式）2 .几何法3 .与其它知识点结合求范围：1.利用圆锥曲线相关性质建立a、c不等关系求解.4 .运用数形结合建立a、c不等关系求解5 .利用曲线的范围，建立不等关系6 .运用函数思想求解离心率7 .运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1利用a与c的关系式（或齐次式）题1:（成都市2010第二次诊断性检测）已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为解Wf记裟红的中虑为FFi-ZOM.呼方程得593*题2:已知以双曲线C的两

2、个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°,则双曲线C的离心率为-622题3：设双曲线*2焉=1a>0,b>0的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的a2b2离心率等于()(B)(C)5(D),62£_bx,代入抛物线方程 a整理得ax bx a 0 ,因渐近线与抛物线相切,以 b2 4a20,解：由题双曲线%a>0,b>0的一条渐近线方程为题4: (2009浙江理)过双曲线°b2直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为(A)2(B) F3c25a2.5,故选择Co1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该uuu1u

3、mrB,c若ABBC,则双曲线的离心率是(2(05(D)10解析对T叔“卫人则宜线方程为工丁一“一山直线与购新班线的交阳M冷击汁q启厂图卜则有尬(-舄,翟尊卜因为百&所iyd二块二岳*故逸U2.几何法题1:以椭圆的右焦点E为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M,若直线MFi(B为左焦点)是圆F2的切线，M是切点，则椭圆的离心率是MFi=1,FiF2=2,MFi=3,e=3-1题2: Fi, F2为椭圆的左、右两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PFia PQ,且PFi = PQ,求椭圆的离心率.如图2,设I PFiI,则1 PQ 1= h I fiQ 1= 72.PFtr

4、 + fPQf + lQF； 2 4.'2a =2c =/I PFIV +fPF2 lz-7 1: + (2d - 1 )2 = y.= e =至=在 一 题3：（05全国）设椭圆的两个焦点分别为 吒、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若FfF2为等腰直角三角形，贝【J椭圆的离心率是B.宁 C. 2-2D. .2-1（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）解：如右图所示，有2c椭圆的定义2c离心率的定义c e 八7TT2a故选 Da2c 1 -V2 12 2c 2c2 1I I + t MF i:3.与其它知识点结合题1:已知M为椭圆上一点， F2是其两个焦点，且/ MFiF2

5、= 2a, / MF2Fi=a （a工0,）则椭圆的离心率为（）(A)1 - 2si na (B)l - sin 2a解由已知及正弦定理，得JMF】I_sin Q sin叱例性喷.得”密Isin a + sin 2a(C)1-cos2a(D)2cosa -1sin 3a! F血!sin 3aFvFzlw03“sina十sin2a3血二sira(1+2coe«)34sin?a"_=Tz一=Zoosa-112gvx故选D题2:已知P为双曲线右支上一点，Fi、F2是其左、右两焦点，且/PFiF2=15°/PF2Fi=75°,则双曲线的离心率为.练习:22Xyb

6、直线I的距离为一3c,则双曲线的离心率为(41 .设双曲线一片1(Ovavb)，半焦距为c,直线I过点(aQ),(O,b)两点，已知原点到a2、33A2 .已知双曲线的渐近线为y=?3x,则双曲线的离心率为55343过双曲线的一个焦点F作垂直于实轴的弦MN,A为双曲线的距F较远的顶点，/MAN=90双曲线的离心率等于2a+c4. (07安徽卷)22酥吃分别是双曲线X2)21(ao,b0)的两个焦点，A和B是以。为圆心，以|0划为半径ab的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(A. 3B.C.D. 1 +- 35. （07全国口）22设R、F2分别是双曲线与焉伯

7、勺左、右焦点，若双曲线上存在点A,使FiAF298,ab且|A£|3|AF2,则双曲线的离心率为（B）A.违B.C.J5D.、5222二、求离心率的取值范围1 .利用圆锥曲线相关性质建立a、c不等关系求解.22题1:（2008福建）双曲线笃每1（a>0,b>0）的两个焦点为Fi、F2,若P为其上一点，ab且|PFi|二2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.（1,3）B.1,3C.（3,+）D.3,分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义如何找不等关系呢？解析：|PFi|=2|PF2.|pfi|PF2|=|

8、PF2|=2a,|PF2|ca即2aca3ac所以双曲线离心率的取值范围为1e3,故选b.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于ca）则可建立不等关系使问题迎刃而解22题2：（04重庆）已知双曲线笃M1,（a0,b0）的左，右焦点分别为FuF2,点p在ab双曲线的右支上，且|PFj4|PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为：（|pf2 c2 a即一|PFi|=4PF2|,*|PFi|r|PF2|=3|PF2|=2a,所以双曲线离心率的取值范围为i e5故选3B.练习:2x1.已知Fi, F2分别为一2yb7(aO,b0）的左、右焦点,P

9、为双曲线右支上任PR 点，若PF2的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是（A (1,2C2,3D3,PF12 解析 1PF2I(2a IPF21)21PF24a21 _ -pf2PF214a2 J40n 4a 8a,欲使最小值为8a ,需右支上存在一点p,使pf22a,而 PF2ca即2a c a所以1 e 3.2 .利用曲线的范围，建立不等关系XV题1.设椭圆_+_=i(a>b>0)的左右焦点分别为Fi、F2,如果椭圆上存在点P,ab使？RPF290。，求离心率e的取值范围。解：设尸(兀刃因为么'尸5?=90。，所以隅，F芯玛的昂二-1工+匚XCa+yy，可解得a

10、a 一氏且rS但由椭圆范围及今尸耳二9。InoAr3 <Z73从而丽邑八二Y1“2所央日¥为2/与1(abO)的两焦点为E(c,0),F2(c,0),椭圆上存在点M使bULUVUUULVFMgF2M0.求椭圆离心率e的取值范围；uuuvUUJIV解析设M(x,v),FM仅2代入得X2蝮 Q0X2将这个方程与椭圆方程联立，消去点评：务占1(abO)Blx是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视3,运用数形结合建立。不等关系求解22题1：(06福建)已知双曲线笃禹1(aO,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为ab60的直线与双曲线的右支有且只有一个

11、交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A)(1,2(B)(1,2)(02,)(D)(2,)解析欲使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率3a即c2a23a2c24a2即e2故选c.题2：直线L过双曲线91(a0,b0)的右焦点，斜率k=2,若L与双曲线的两个b2交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。如图1,若l二，贝yL与双曲线只有一个交点；若右支上，/->2>>2aA>>5a2J,贝yL与双曲线的两交点均在22题3：已知F1、F2分别是双曲线t0,b0)的左、右焦点，过F1且垂直于Xa轴的直

12、线与双曲线交于A、B两点。若/ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取伯布雨.解：如图2,因为ABF2是等腰三角形，所以只要/角即可,即/AF2Fi<450则AF2B是锐乂码<齐码IF<2（八新<2acre-a1-2ac<0f1<0T1<1+八2八4.运用函数思想求解离心率22题1：（08全国卷n）设a1,则双曲线笃V21的离心率e的取值范围是a（a1）C.（2,5）D.（2,.5）A(运,2)B.(迈,45l12-1(1一)Va111-2aa/,2e,5,故选B.解析：由题意可知eJi（刍一产5.运用判别式建立不等关系求解离心率2题1：（全国I）设

13、双曲线c：字y21（a0）与直线l:xyaA、B.求双曲线C的离心率e的取值范围1相交于两个不同的点解析由C与I相交于两个不同的点，故知方程组1'有两个不同的实数解.消去v并整理得22xy1.(l-a2)x2+2a2x2a2=0.2所以a-4224a8a(1a)0.双曲线的离心率e1QOaaYa2解得0a迁且a1.-2JLa1,/e6JLe2所以双曲线的离心率取值范围是f2)UZ)练习:220）两条渐近线含实轴的所成角为q,离心率e?段月鼓2,2,则qxy1。设r2l(a0,bab的范围由刍二7.二?，I-T.-二刍丘:垮卫丘号号放选匚1。分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题

14、设是双曲线_点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义如何找不等关系呢？解析：|PFi|=2|PF2|,.|PF“|PF2|=|pF2|=2a,|pf2|ca即2aca3ac'所以双曲线离心率的取值范围为1e3,故选b.(双曲线上任一点到其对应点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论焦点的距离不小于ca)则可建立不等关系使问题迎刃而解2,T|PFi|=4PF2|,.|PFi|PF2|=3|PF2|=2a,|PF2|ca即a3所以双曲线离心率的取值范围为1e5,故选b.3练习：|PF r(2a|PF2 r解析 一pf2 pf2.i-2 4a 2(4a2|pf2 r4a8a,

15、欲使最小值为8a,需右支上存在一点 p,使pf22a,而 PF2 c a 即 2a ca所以1 e3.因为/耳PF?=50。，所以尹F±PF八上纸七期二-(X-l-Cx<3.2+y=c将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得但由椭圆范围及耳二93执而得上2也才al所央日专UJHVULULV2,解析设M(x,y),FMF2M0xyca2求得将y2b2“2x2代入得x22a2b2aa22xy点评：一1(abO)中xa,是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数ab范围问题中经常使用，应给予重视.3组1,解析欲使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，-斗3,即b.3a即Ca23a2/.aa22c4a即e2故选c.2,解：如图1,若-J，则L与双曲线只有一个交点；若-J,则L与双曲线的两交点均在右支上，a3,解：如图2,因为ABF2是等腰三角形，所以只要/AF2B是锐角即可，即/AF2Fi<45°则12(1 ±) 2 - a 1 1 1 ±2|曲码X冈一b2<e2-a2-2acvO*e2-2e4&#