时间序列分析方法第06章谱分析

1、时间序列分析方法讲义第6章谱分析1时间序列分析方法讲义第6章谱分析第六章谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t时刻变量斗的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：Yt -八-；=j =0我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t和.上的变量建和丫的协方差具有什么样 的启示。这种方法被称为在时间域（time domai n）上分析时间序列Yt的性质。在本章中，我们讨论如何利用型如 cosC .t）和sin（ t）的周期函数的加权组合来描述时间 序列Yt数值的方法，这里-.表示特定的频率，表示形式为：Yt =0（ J cos（ ,t）d , - o -.C .

2、） sin .t）d-.上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列Yt丄:性质时所发挥的重要程度如何。如此方 法被称 为频域 分析（frequency domain analysis）或者 谱分析（spectral an alysis）。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程 既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。§ 6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。6.1.1母体谱及性质假设Ytr.是一个具有

3、均值的协方差平稳过程，第j个自协方差为：j =cov（ Yt，Yt_j） =E【（Yt -二）（Yt一二）假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：gM 二 7 jZjj -这里z表示复变量。将上述函数除以2二，并将复数Z表示成为指数虚数形式 z =exp （-i），i ="匸1，则得到的结果（表达式）称为变量Y的母体谱：“）=丄 gY（e）=丄je-'j2兀2兀了乂注意到谱是-的函数：给定任何特定的值和自协方差j的序列 j；，原则上都可以计算SyCJ的数值。禾U用De Moivre定理，我们可以将 e丄j表示成为：e 亠j =cos（j） -i sin（j）因

4、此，谱函数可以等价地表示成为：1 书s丫 C ）j cos（ j） - i sin（ ，j）2 兀 j =PO注意到对于协方差平稳过程而言，有：j =，因此上述谱函数化简为:中SyC ) ocos( 0) -i sin( 0) 2兀丿送 了j cos( GO j) + cos( (0 j) _ i sin( AO j) i sin( j)j亠利用三角函数的奇偶性，可以得到：1 乞Sy (= 丿 To +2瓦 fj COS( j)，"17J假设自协方差序列 j二是绝对可加的，则可以证明上述谱函数 sY C .)存在，并且是, 的实值、对称、连续函数。由于对任意2二k，有：sY (：&#

5、39;亠2二k) = sY C：J，因此sY (,)是周期函数，如果我们知道了 0,二内的所有sY ( )的值，我们可以获得任意 时的sY 0 .)值。§ 6.2 不同过程下母体谱的计算假设随机过程Yt二:服从MA(：:)过程：Yt -t(L) ；t这里：广 2i处<!, S =t屮(L)=送屮jLj，送|屮j |<立，E(讥s)=丿j -0j 二J0, S Ht根据前面关于MA(：:)过程自协方差生成函数的推导：gY (z)-(z)因此得到MA (：)过程的母体谱为：Sy ( J'- (e 丄2 JT例如，对白噪声过程而言，'-(z) =1，这时它的母体

6、谱函数是常数：2CTSy C )2兀下面我们考虑MA (1)过程，Yt 二；t T “ 丄此时：(z) =1 rz，则母体谱为：1sY C )2(1 ve a ')(1 2 JT二丄;2 (1 re Aei /)2 二可以化简成为:1Sy 0 ')21 2 * 2VCOS( *，)2 二显然，当d o时，谱函数sYCJ在0,二内是的单调递减函数；当 V ：:0时，谱函数SyC )在0,二内是的单调递增函数。对AR (1)过程而言，有：Yt =c Yt丄亠肾这时只要|：:1，则有：'-(z) =1心- *)，因此谱函数为：1C21CT2Sy (; )2兀(1 一驾(1 一

7、帖凹)2兀(1 一帕弋一帖+护)2 二12 -2 'cosC )该谱函数的性质为：当© >0时，谱函数sY(C0)在0,兀内是的单调递增函数;时，谱函数sY C ）在0,二内是，的单调递减函数。 一般地，对 ARMA （ p, q）过程而言：Yt=C為丫七-J、；2丫七 2亠亠"pYt亠：.tTH；t 丄£；t 公Vq ；t _q则母体谱函数为:匚2（1 re丄，戈e丄2宀2 二（1 _ e 丄幕芒2 e 丄2' -(1 re_ reFi 咗qeiq ') (1 _ 討2' 一一 一pe仪)如果移动平均和自回归算子多项式可以进

8、行下述因式分解：2q17Z * HZ；qZ =（1 一 1Z）（1 一 2Z）（1 一 qZ）1 - 一 2Z2 -''pZP =（1 -春）（1 - Z）（1 - ' pZ）则母体谱函数可以表示为：q22 | 1 j -2 j cos( )i 4SY C 0:2兀2I 1 ，j 一2，j cos( Ji 士从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列 j；：,原则上我们就可以计算出任意的谱函数SyCJ的数值。反过来也是对的：如果对所有在0,二内的，已知谱函数SyCJ的数值，则对任意给定的整数 k，我们也能够计算k阶自协方差k。这意味着母体谱函数sY（，）和自

9、协方差序列汀二-：包含着相同的信息。其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出 的推断。下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题6.1假设 j：是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关 系为：k =Sy c .）ei' kd .-匸：上述公式也可以等价地表示为：-hrk =Sy （ J cosC -k）d .k 利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。解释母体谱函数假设k =0，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即0，计算公式为：0Sy C '）d - -51根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间-二，二内的面积

10、就是 0，也就是更一般的，由于谱函数过程的方差。SyCJ是非负的，对任意 - 0,二，如果我们能够计算:这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为Yt的方差中与频率的绝对值小于 M的成分相关的部分。注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：:- 1.SY C Jd =2 0 SY ( .)d'.-10这个积分表示频率小于.M的随机成分对Yt方差的贡献。但是，频率小于的随机成分对Yt方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们 考虑更为特殊一些的时间序列模型：MYt =7【tj cos( , jt)亠,sin( ,jt)j仝这里:j和：j是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t，有EYt

11、= 0。进一步假设序f 26E（O（jO（k ） =J0,列r-jMa和L'.j)是序列不相关和相互不相关的:j -kj = k厂 2,CTjE（6j 6k）=0,E (: j.k) =0，对所有的j和k这时Yt的方差是：MME（Y：） -v E（2）cos2（. ,jt） E（.j2）sin 2C 屮）L' 2 Cos 2 C ,jt） - sin 2 C ,jt） 1 j 二j 二M八上2j 土因此，对这个过程来说，具有频率-.j的周期成分对Yt的方差的贡献部分是 二2。如果频率是有顺序的：0 :： ，1 :： ，2 ：:：M ：二，则Yt的方差中由频率小于或者等于 ，j的

12、周期 形成的部分是：C12 V .2亠亠2。这种情形下Yt的k阶自协方差为：M2 2EMYtQ 二 E()cos( jt)cos【 ft k) - E(.j )si n( jt)si n【 j (t 一 k)j 土M2.j cos( ,jt) cos【，j (t k) sin( ,jt) sin【，j (t k)j唱M=zj筑因为过程Yt的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平稳 过程。但是，可以验证此时的自协方差序列 k；L不是绝对可加的。虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一般的情

13、形，著名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。对任意给定的固定频率0,二，我们定义随机变量:-C )和-C )，并假设可以将一 个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：Yt =，)cos( ，t) 、(，)sin( ，t)d，这里需要对随机变量：()和：()的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱表示定理的一般形式。§ 6.2 样本周期图Sample PeriodogramYt，我们已经定义在频率.处的谱对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程 函数值为：1

14、i 1 i jSyCJ9Y（e- '）je- J， j 三 E（Yt -）（£一 '）2兀2兀j =od注意到母体谱是利用汀表示的，而表示的是母体的二阶矩性质。给定由y2，,Yt表示的T个样本，我们可以利用下述公式计算直到（T _1）阶的样本自协方差:j =0,1，,T -1j 1, 2，T 14丄 一一（Tj） 二.（yty）（ yty）,t 卡对于给定的，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形，我们称其为样本周期图:1 T丄?（ ）?je 丄2兀j=x十样本周期图也可以表示成为如下形式:COS（ . j）类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差:?0 =

15、=SY样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：?0 =2 PyC更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。我们将要说明，对于平稳过 程的任意一个容量为T的观测值序列yy , y2，,yT，存在频率 M ,2，和系数?，?, ：?2,，？m，?1,鳥,，-?m使得t期的y值可以表示成为：Myt = ? cosj （t 一1）、?jSin j （t -1）j吐其中：当 j = k 时，:?j cos【，j （t 一1）与？k cos ，k （t -1）不相关；当 j - k 时，sinL j （t -1）与、?k sin k（t 1）不相关；对于所有的j和k，?j cos【（t 一1）与?

16、k sin k（t -1）不相关。y的样本方差是T二（yt _y）2，该方差中可以归因于频率为 j的周期成分的部分 由样本周期图sY （-.）给出。我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。这时yt可以表示成为由M三（T -1）/2个不同频率构成的周期函数，频率'1 , '2，* 'm如下：2兀4兀2M兀''1，2,' 'M ：'TTT因此最高频率为:2M 兀 2(T _1)兀'、：；MT2T我们考虑yt基于常数项、正弦函数和余弦函数的线性回归：Myt -' : j cos j (t -1)丄 o j si

17、n j (t _ 1) uj 2将这个回归方程表示成为下述方式：yt = 3 xt - ut其中：xt =1, cos 'i (t -1), sin - 'i (t -1),，cos M (t -1), sin m (t -1) ，这是 一个具有(2M1)二T个解释变量的回归方程，因此解释变量与观测值是一样多的。我们将证明解释变量之间是线性无关的，这意味着yt基于xt回归的OLS估计具有惟一解。该回归方程的 系数具有显著的统计意义：(:?2 ?2)/2表示yt中可以归因于频率 j的周期成分的 那部分。这就是说，任意观测到的序列y1,y2，yT,它都可以利用上述周期函数形式表示，

18、 并且不同频率的周期成分对方差的贡献都可以在样本周期图中找到。命题6.2 假设样本容量是奇数，定义M =(T _1)/2 ,并设定=2二i/T ,j =1,2，M，假设解释变量为：xt 二1, cos - '1(t -1), sin - '! (t 一1),，cos m (t1), sin-(t1)'：'=j >1, >2,、；2,，M ,、；M 则有:0进一步，假设(T /2)I tay1 ,y2，yT是任意t个实数，则下述推断成立:(a) 过程yt可以表示为：Myt = :?j cos ，j (t T)、?j sin j (t T)j 土这里:T

19、'' yt cosj (t T)t zi?j2 JT t4yt sinj (t -1)10时间序列分析方法讲义第6章谱分析#时间序列分析方法讲义第6章谱分析(b) yt的样本方差可以表示为：1 T1 M、d =八(：?2T t z!2 j 1样本方差可以归因于频率为j的周期成分的部分为(？2 - ：?j2)/2。(c) yt的样本方差中可以归因于频率为的周期成分的部分还可以表示为:12?24 '：.(:?j ' ?j )!?yC 'j )jjty j其中！?yC打)是样本周期图在频率*打处的值。T上述结果说明，二Xtx/是对角矩阵，这意味着包含在向量xt

20、中的向量之间是相互正交t ±的。这个命题断言：任何奇数个观测到的时间序列y1 ,y2，,yT可以表示成为一个常数加上T是偶数整数的时候，类似的具有(T -1)/2个不同频率的(T -1)个周期成分的加权和。当结果也是成立的。因此，这个命题给出了类似谱表示定理的有限样本的类似情况。这个命题进一步表明了样本周期图的特征是将y的方差按部分分解为不同频率的周期成分的贡献。注意到解释y的方差的频率 j都落在区间0, H中。为什么不使用负的频率时0 ?假 设数据确实是由上述过程的一种特殊情形生成的：Ytcos（- .t） ：Wsin（ - ,t）这里_ . 0代表某个特殊的负频率，:.和.是零均

21、值的随机变量，利用三角函数的奇偶性，可以将Yt表示为：Yt = :- cos（ ,t） 一sin（ ,t）因此，利用上述式子无法从数据中识别数据是从正发频率还是负的频率生成的。这时 一种简单的方式是假设数据是从具有正的频率中生成的。为什么只考虑二二作为最大的频率呢？假设数据真的是从频率 -7：的周期函数中生成的，例如=3二/2 :Yt = :- cos（ 3二 / 2）t亠肩 sin（ 3 二 /2）t这时正弦和余弦函数的周期性质表明，上式可以表示成为：Ytcos（-二/2）t丄我 sin（-二/2）t因此，根据以前的讨论，具有频率川=3二/ 2的周期在观测值上等价于具有频率川=恵/ 2的周期

22、。注意到频率和周期之间的关系，频率-.对应的周期为2?. / .。由于我们考虑的最高频率为.-，因此我们所观测到的能够自己重复的最短阶段是2二/理=2。如果.：=3二/ 2，则周期是每4/3阶段重复自己。但是，如果数据是整数阶段观测的，因此数据可以观测的时间间隔仍然是每 4个阶段观测到，这对应着周期频率是申="。例如，函数cos（二/ 2）t和 函数cos（3二/2）t在整数的时间间隔上，它们的观测值是一致的。命题6.2也为计算在频率 Oj =2兀（ j =1, 2,，M ）上的样本周期图的数值提供了方法。定义:?y C 'j )T 2?2r(?j -)12时间序列分析方法讲

23、义第6章谱分析#时间序列分析方法讲义第6章谱分析这里:2?j ' yt cosj (t -1)， T t壬、?jyt si n -.j(t -1)T tm#时间序列分析方法讲义第6章谱分析#时间序列分析方法讲义第6章谱分析因此可以得到:1?yC 'j )二_TJ JE yt cos d(t j) 2HTytsin#时间序列分析方法讲义第6章谱分析#时间序列分析方法讲义第6章谱分析§ 6.3 估计总本谱Estimating the Population Spectrum上面我们介绍了母体谱的意义和性质，下面我们面对的问题是：获得了观测样本心12丁以后，如何估计母体谱函数 syC.） ？样本周期图的大样本性质一个显然的方法是利用样本周期图?yC ）去估计母体谱函数sY C .）。但是，这种方法具有显著的限