2024年第一次广东省普通高中数学学业水平合格性考试真题卷含答案

2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试真题卷(时间：90分钟，满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{1，2}，N＝{－1，0，1}，则M∪N＝()A．{0，1，2} B．{1}C．{0，1} D．{－1，0，1，2}2．函数y＝eq\r(x－2)的定义域为()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]3．已知角α的终边过点P(3，4)，则tanα等于()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)4．命题P：∀x∈R，x2≥0的否定命题是()A．∀x∈R，x2<0B．∃x∈R，x2≥0C．∀x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2<05．下列函数图象中为偶函数的是()6．不等式x2＋4x－12<0的解集为()A．{x|－6<x<－2} B．{x|－2<x<6}C．{x|－6<x<2} D．{x|2<x<5}7．要得到f(x)＝cos(x－eq\f(π,4))的函数，只需将余弦曲线()A．向左平移eq\f(π,4)个单位长度B．向右平移eq\f(π,4)个单位长度C．向左平移eq\f(1,4)个单位长度D．向右平移eq\f(1,4)个单位长度8．若f(x)＝log3x，则f(9)＝()A．1 B．－2C．2 D．49．sin30°cos60°＋cos30°sin60°＝()A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(3,2) D．eq\f(\r(3),2)10．已知向量a＝(x，3)，b＝(2，1)，若a⊥b，则x＝()A．6 B．－eq\f(3,2)C．－6 D．eq\f(3,2)11．从某班所有同学中随机抽查10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10根据这组数据，下列说法正确的是()A．众数是7B．平均数是7C．第75百分位数是8.5D．中位数是812．已知l，m均为直线，α为平面，且直线m⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．13．已知z＝2－i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝________．14．已知幂函数f(x)＝xα过点(2，4)，则α＝________．15．函数f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))的最小正周期为________．16．已知x>0，则x＋eq\f(4,x)的最小值为________．17．一个边长为2的正方体八个顶点都在一个球上，则球的半径为________．18．三个人过关，甲带560元，乙带350元，丙带180元，共要交100元的关税，若按照比例缴纳，乙应交________元．(结果保留整数)三、解答题：本大题共4小题，第19，20，21题各10分，第22题12分，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝8，C＝eq\f(π,3)，求c和sinB.20．某城市为鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户每月用电量不超过200kw·h的部分按0.6元/(kw·h)收费，超过200kw·h的部分，按1.2元/(kw·h)收费．设某户月用电量为xkw·h对应电费为y元．(1)请写出y关于x的函数解析式；(2)若某居民本月用电量为230kw·h，求此用户居民本月应交纳的电费．21．在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了16道，乙同学猜对了12道．假设猜对每道灯谜都是等可能的．(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少有一人答对的概率．22．如图所示，直线EA和DC都垂直于平面ABC，且AB⊥AC，AB＝AC＝AE＝2，F是线段BE上的一个动点．(1)求证：DC∥平面ABE；(2)求△ACF面积的最小值．参考答案2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试真题卷1．D由题意得，M∪N＝{－1，0，1，2}．2．A已知y＝eq\r(x－2)，则x－2≥0，故x的取值范围为[2，＋∞)，即定义域为[2，＋∞).3．B已知角α的终边过点(3，4)，则角α的正切值tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(4,3).4．D命题的否定要否定条件否定结论，存在量词命题与全称量词命题的否定需要改量词否结论，原命题P为∀x∈R，x2≥0，则命题的否定为∃x∈R，x2<0.5．C偶函数的图象关于y轴对称，观察图象可知A选项的图象关于坐标原点对称，为奇函数；B选项为指数型函数图象，为非奇非偶函数；D选项的图象关于坐标原点对称，为奇函数．故选C.6．C原式可化成(x＋6)(x－2)<0，根据口诀大于取两边，小于取中间可求出解集为{x|－6<x<2}，故选C.7．B根据左加右减的原则，将余弦函数y＝cosx的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度即可得到y＝cos(x－eq\f(π,4)).8．Cf(9)＝log39＝log332＝2.9．Asin30°cos60°＋cos30°sin60°＝sin(30°＋60°)＝sin90°＝1.10．B因为a⊥b，所以a·b＝0，即2x＋3＝0，所以x＝－eq\f(3,2).11．B众数是4，A错误；平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(4＋4＋4＋7＋7＋8＋8＋9＋9＋10)＝7，B正确；第75百分位数是9，C错误；中位数为7.5，D错误．12．A因为l⊥α，m⊂α，所以l⊥m，所以充分性成立；因为l⊥m，m⊂α无法推出l⊥α，必要性不成立，所以是充分不必要条件．13．解析：求2－i的共轭复数只需要改变虚部的符号，即eq\o(z,\s\up6(－))＝2＋i.答案：2＋i14．解析：由题意得，f(2)＝2α＝4，所以α＝2.答案：215．解析：最小正周期T＝eq\f(2π,|w|)＝eq\f(2π,|2|)＝π.答案：π16．解析：运用基本不等式即可得x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝2时等号成立．答案：417．解析：设球的半径为R，由正方体外接球的直径等于正方体的体对角线得，eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)＝2R，所以R＝eq\r(3).答案：eq\r(3)18．解析：100×eq\f(350,560＋350＋180)≈32.答案：3219．解：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25＋64－2×5×8×eq\f(1,2)＝49.因为c>0，所以c＝7.由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(8,sinB)＝eq\f(7,\f(\r(3),2))，得sinB＝eq\f(4\r(3),7).20．解：(1)当0≤x≤200时，y＝0.6x；当x>200时，y＝0.6×200＋(x－200)×1.2＝1.2x－120，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.6x（0≤x≤200）,1.2x－120（x>200）)).(2)因为230>200，所以y＝1.2×230－120＝156.即该居民本月应交纳的电费为156元．21．解：(1)设甲猜对为事件A，乙猜对为事件B，由题意可得P(A)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)设甲和乙至少有一人答对的概率为P，P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(23,25).22．解：(1)证明：因为EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，所以EA∥DC.因为EA⊂平面ABE，DC⊄平面ABE，所以DC∥平面ABE.(2)因为EA⊥平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC.因为AB⊥AC且EA∩AB＝A，又因为EA，AB⊂平面ABE，所以AC⊥平面ABE，因为AF⊂平面ABE，所以AC⊥AF.故S△ACF＝eq\