圆心角圆周角

1、單元名稱圓心角圓周角教材來源統編本習作教師手冊任課教師鄧台元教學班級908班學生人數教學日期教學時間節分單元學習 能力指標1、能察覺量角器與半圓弧180度的關係。2、能察覺圓心角與所對弧度數關係。3、能嘗試理解扇行的算式原則。4、能察覺圓周角與所對弧度數的關係。5、能根據弧與圓心角、弧與圓周角之關係，來做圓心角與圓周角的關係做推理。單元教學目標1、知道圓弧的記法。2、知道圓心角、圓周角的意義。3、知道弧的度數就是它所對圓心角的度數。4、知道一弧所對圓周角的度數，是此弧所對圓心角度數的一半。5、知道一弧所對圓周角的度數，是此弧度數的一半。6知道半圓內的圓周角都是直角。7、能做圓周角、圓心角的簡單

2、運用。活動時間第一節活動一：圓心角與弧弦的關係。分配第二節第三節n活動二、三：圓周角、圓心角與弧、弦的關係。活動一：圓心角與弦、弧的關係教學前的準備：5一1、 教師：量角器、圓規、直尺厂、厂2、 學生：每人準備直尺、圓規量角器、心得本/ 卜一丸一教學資源：有色粉筆AB /7纔PRQ O蛾cc伴360活動一：1、盪過鞦韆的同學們，你盪過多高？ 通常弧度大的，表示盪的較高。 認識弧與度。 能使用量角器來測量角(1)(2)(3)(4)(5)並知道弧AB的度數。 認識圓心、半徑、直徑、 如右、上圖 介紹弧的記號如何表示。如右、上圖AOB的度數,弦、扇形、優弧與劣弧纔n2、介紹圓心角與弧的關係。說明兩條

3、半徑交點在圓心所成的夾角，稱為圓心角 請學生取出量角器，觀察量角器的外觀。量角器半圓弧上有刻度，這些刻度將半圓弧分成 提出問題，學生答复：1、在量角器上夾角1度，這個角度會對上幾等分的弧？2、又1等分的弧所對的角度是多少度？3、1等分的弧所對的圓心角是幾度？ 說明這個弧的度數就是1度。4、2等分的弧所對的圓心角是幾度？同時這個弧是幾度?(1)(2)(3)180等分。AOB5、如果想知道一弧的度數是幾度，那麼要如何測量呢? 請同學們將自己的想法及答案寫在心得本上。學生能答复出：量出這個弧所對的圓心角是多少度，那麼就是這弧的度數了。3、圓周一圈的度數。1請學生將兩個量角器上下合併，拼成一個圓形。2

4、提出問題，學生答复：1、這個圓被量角器上的刻度分成幾等份？CRABQEABA(2)OBAAOBBDCDn纔PRQm/AOB = 60?COD45蛾O AOB30隨堂練習： 在半徑為角 COD = 45 度,蛾cc伴360所以周長是 可以記為40兀 故所對弧的度數也是60度， 的1/6,其長為2 0/3X兀可以簡記為2 0/3兀公分 則 2 0/3 兀=20.94410公分的圓O上，有弧AB和弧CD兩弧，他們所對的圓心角分別為角 則弧AB與弧CD哪一弧較長？長幾公分？ 解：指定兩位學生上台練習，其餘學生在練習本上練習。AOB = 30 度,學生應能答复出：360度。2、圓周一圈所對的圓心角是多少

5、度？學生應能答复出：360度。3、圓周一圈弧的度數是多少度？ 學生應能答复出：360度。4、兩個點P、Q可將圓分成幾個弧？ 優弧、劣弧、半圓弧的度數你會求嗎？要求學生說明求法。弧的長度及扇形求法。一弧與夾此弧的兩條半徑所圍成的形狀稱為扇形。例1:如右圖，一圓的半徑是20公分，它的一個圓心角是60度， 求這個圓心角1所對弧的長度；2所圍扇形的面積。解：1小學時學過，圓周長二半徑X 2X圓周率兀習慣上，我們用希臘字母兀來表示圓周率，所以 圓周長二半徑X2X兀因為圓的半徑是20公分20X2X 兀T0X 兀因為圓心角是60度，這個弧是圓360度40 X 兀X1/6 =假设兀用3.1416來估計，圓面積

6、二半徑X半徑X圓周率=20 X20 X 兀=400 X 兀=400 兀因為60度圓心角所對扇形的面積是圓面積的1 /6， 所以扇形面積=400X兀X1/6= 2 0 0 / 3兀 平方公分假设兀用3.1416來估計，則2 0 0 / 3兀=209.44。4、5、同圓或等圓中1如果兩個圓心角相等，則它們所對的弧長仍是相等。2如果兩個圓心角相等，則它們所對的弦長仍是相等。3提出問題，請學生答复：1在不等圓時，半徑較長的圓，其相同大小的圓心角所對的弦長何者較長?2、在不等圓時，半徑較長的圓，其相同大小的圓心角所對的弧長何者較長?6、學生記下這節課的心得，剩下的空白時間是作下個例題。例2:如右圖，一圓

7、的半徑是20公分，它的一個圓心角是120 度, 試求這個圓心角所對的弦長。B第一節結束aAOB 琌 1 201 AB 元活動二、三：圓周角、圓心角與弦、弧的關係教學前的準備：1、教師：圓規、直尺、量角器、髮型設計掛圖、及各應用之掛圖。2、學生：每人準備圓規、直尺、量角器、心得本、竹籤。 教學資源：1、髮型設計掛圖。2、圓規，直尺、有色粉筆、掛圖。3、動動腦的附圖。活動二、三開始：1、請學生欣賞掛圖中，男生的頭髮的 三種梳理方式：左分、中分、右分, 何者較為好看？2、請學生觀察者三種髮型，在等圓內形成三種不同的角，但這在等圓內形成的三種不同的角，其所對的優弧度數卻是相同的。3、介紹圓周角。(1)

8、 什麼是圓周角呢？一般說來，當兩弦相交的交點在圓周上時，稱所成的角叫圓周角(2) 除了了解圓周角外，指導學生知道其相關名稱。(包括它所對的弦與所對的弧。)4、探索圓心角、圓周角與所對的弧的度數的關係。(複習圓心角與所對的弧的度數。)教師先 說明以下活動的目的，將學生採小組討論的方式，按照活動的三個局部,逐一操作，每進行一局部便作成果發表(教師機動巡視、支援。) 活動過程如下活動目的：探索圓心角、圓周角與所對的弧的度數的關係。第一局部：圓周角的一邊是直徑。活動步驟：BaABC 琌蛾 cc a癸 琌AC癸 琌ACBOC(1)觀察右圖，線段BC為圓O的直徑，角ABC為圓周角,弧AC是這個角所對的弧。

9、(2) 連接圓心0與A點，線段OA與線段0B有什麼關係？角ABC與角BAO有什麼關係？(3) 角AOC是哪個三角形的外角？角 ABC與角AOC的度數有什麼關係? 它們之間有什麼倍數關係？(4) 角ABC的度數與弧AC的度數有什麼關係？(5) 隨便再右方的圓上畫一個一邊為直徑的圓周角，令其為角ABC , 重複上面的步驟(1)(4)。圓周角、圓心角與弧的度數關係 還是不是和前面探索的一樣？第二局部 圓周角的兩邊都不是直徑，且圓心在圓周角內活動步驟:(1)(2)如右圖，過B作圓0的直徑，交圓0於另一點D， 連接線段A0、線段CO, 則1、角ABD與角AOD有什麼關係？2、角DBC與角DOC有什麼關係

10、？角ABC與角AOC有什麼關係？角ABC的度數與弧AC的度數有什麼關係？蛾 cc aABCD第三局部活動步驟:(1)(注：學生應能推理出，角AOB的度數二弧ADC的度數因角AOC =2X角ABC故角ABC的度數=2X弧ADC的度數)圓周角的兩邊都不是直徑，且圓心不在圓周角內aAOD单 马 D aABD如右圖，過B作圓O的直徑，交圓O於另一點D，則1、角ABD與弧ACD有什麼關係？2、角CBD與弧CD有什麼關係？3、角ABC與角ABD減角CBD有什麼關係？4、角ABC的度數與弧AC的度數有什麼關係？5、角ABC的度數與角AOC的度數有什麼關係？5、綜合以上，可得以下二結論：(1) 一弧所對圓周角

11、的度數是它所對圓心角度數的一半。(2) 一弧所對圓周角的度數是此弧度數的一半。6、請學生取出心得本，寫下這節課的心得，並利用剩下的空白 時間，作以下例題及隨堂例題，並檢討訂正。例二：如右圖，在圓O內，弧AB是圓周的1 /4, 則 角ACB、角ADB各是多少度？解：因弧AB是圓周的1/4360X1/4= 90角 ACB = 1/2X90 度=45 度同理角ADB = 45度7、半圓所對的圓周角都是直角。老師可用右邊圖形來為學生說明半圓所對的圓周角都是直角隨堂練習：如圖，線段AB是圓O的直徑，C為圓O上一點, 假设角ABC = 32度，則角BAC是幾度？B祇谋 aAFB,a AEB,aACBA 9

12、0尢S絬琿AB琌 呱&指定作業。第二節結束9、介紹圓周角的應用:(1) 教師利用提問的方式代替講解，複習圓周角與所對的弧的度數之關係(2) 如果兩條弦相交的交點不在圓周上時，這兩條弦所構成的角與弧的度數又有什麼關係？CDB(3) 如右圖，提出問題，學生答复：希望學生儘量答复。(學生可能的答复，以下未必正確的答案僅供參考。)1、對頂角。2、圓心角。(學生常誤認為圓心角。)3、四個夾弧。OB4、一個圓。5、二條線段。6、其他。(4) 要求學生取出竹籤，如下操作。將兩枝竹籤放在圓O上且相交，交點落在圓心 O點上 此時這四個角與弧的關係如何？要求學生答复。(導引學生思考：這兩支竹籤所形成的對頂

13、角的度數與兩弧有何關係？希望學生能主動探索所夾出的角與該角所對的弧的度數相等。)(5) 固定一支竹籤及交點，轉動另一支竹籤，觀察這些角的大小的變化與所夾弧的關係？(6) 如右下四圖：使兩支竹籤的焦點落在圓內 P點上。此時，你能由這個圖中看到什麼？(7) 固定一支竹籤及交點，轉動另一支竹籤，觀察這些角的大小的變化與所夾弧的關係？10、(8)兩弦交點在圓內(但不在圓心)如上三圖，角 APD、角APC介紹圓周角的應用之一：圓內角。例題：如右圖，線段AB、線段CD兩弦相交於圓內一點P，得對頂角角1、角2,如果知道角1= 55度，(1) 求弧AC與弧BD的度數和。(2) 弧AC和弧BD的度數和與角1有什

14、麼關係？ 角2呢？解：連接線段AD，得角3、角4如圖，弧 AC = 2X角4弧 BD = 2X角3弧 AC +弧 BD = 2X角4+2X角3, 角1 = 55度且是三角形APD的外角， 角4 +角3 = 55度， 2X角4 + 2X角3= 110 度, 弧 AC +弧 BD = 110度。角1是三角形的外角，角 1=角 3 +角 4 (角 3=1/2 弧 AC，角 4=1/2 弧 BD) = 1/ 2弧 AC +1/2弧 BD1/2(弧 AC + 弧 BD)。同理可推角2 =角3 +角4= 1/2弧 AC +1/2弧 BD= 1/2(弧 AC +弧 BD )。，所成的角稱為圓內角角BPC、角

15、BPD均是圓內角11、12、所以 又 所以 那麼 故知 因為 故cl本例完成綜合結論：圓內角度數等於任一圓內角與其對頂角兩角所對弧之度數和的一半。介紹圓周角的應用之一：圓外角。 先請學生作本隨堂練習。隨堂練習：右圖中，直線如果所夾弧弧(1)(2)(3)AB與直線CD相交於圓外一點AC = 65度，弧 BD = 25度,角1為幾度？角2為幾度？ 角P為幾度？P， C希望學生能仿圓內做法，去觀察並了解是否又如下之關係角 P=l/2(弧AC弧ED)利用空白時間請記下這節課的心得， 並請學生作以下隨堂練習然後當場檢討訂正。c12隨堂練習:1、右列有三個碗，每一個碗內的剖面圖都是圓弧， 同時每一個碗內都擺放一個直 角的曲尺。根據曲尺擺放的情形，判別哪一個碗的圓弧是半圓？ 為什麼？2、如右圖，弧 AC = 90度，角AED =