最新北师大八年级数学第一章三角形教学设计

1、第一章三角形的证明本章总体设计介绍本章是八年级上册第七章平行线的证明的继续，在“平等线的证明” 一章中，我们 给出了 8条基本事实，并从其中的儿条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论.运用这 些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论.在这之前，学生己经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历 过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章 进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形 有关，主要包括：1. 等腰三角形的性质和判定定理：2. 直角三角形的性质定理和判定定理：3. 线

2、段的垂直平分线性质和判定定理：4角平分线性质定理和判定定理。本章教学建议对于己有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获 取严格证明的思路：对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题 与其他己有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关 注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学 生的I主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学

3、中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的 基本要求，字握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。11等腰三角形（一）一、学生知识状况分析在八年级上册第七章半行线的证明，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有 关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验：在七 年级下，学生也己经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本 节有关命题做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等 腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生 在回顾的基础

4、上，自主地寻求命题的证明，为此，碓定本节课的教学目标如下：1. 知识目标：理解作为证明基础的儿条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理：在证明过程中，进一步感受证明过程，第握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能 够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理：熟悉证明的基本步骤和书写格式。2. 能力目标：经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的白然延续 和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力：鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平：3. 情感与价值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互

5、依赖和相互补充的辩 证关系：培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4. 教学重、难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语育正确表达等。三、教学过程分析学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折亮实验用）: 教师课前准备：制作好的儿何画板课件.本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾旧知导出公理；第二环节：折纸活动探4#索新知；第三环节：明晰结论和证明过程；第四环节：随堂练习 巩固新知；第五环节：课 堂小结；第兀环节：布置作业。第一环节：回顾旧知导出公理活动内容：提请学生回忆并整理己经学过

6、的8条基本事实中的5条：1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这财条直线平行：2. 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3. 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）：4. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）：5. 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）：在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相 等的两个三角形全等（AAS）,并要求学生利用前面所提到的公理进行证明：2回忆全等三角 形的性质。活动目的：经过一个转假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既 是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证

7、明这个推论，可以 让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。活动效果与注意事项：由有了前而的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个昙假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析B条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。 具体证明如下：已知：如图，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.求证：厶小。仝ZDEF.证明：V ZA=ZD,ZB=ZE （已知）,乂上A+ZB+ZC=180。，ZD+ZE+ZF=180° （三角形内角和等于 180°）, ZC=18O°-(ZA-l-ZB),ZF=180

8、76;-(ZD+ZE),AZC=ZF （等量代换）。乂 BC=EF （已知），/. AABCADEF （ASA）o第二环节：折纸活动探索新知活动内容：在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再 次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？ ”的基础 上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一 般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生 小组的

9、交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中, 教师应注总小组的巡视，提醒学生思考多种证明思跻，思考不冋的辅助线之间的关系从而得 到“三线合一”。第三环节：明晰结论和证明过程活动内容：在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个 个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明，其余学生挑选其一证明.其后，教师通 过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合活动目的：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生口主经历命题的证明过程；明 晰证

10、明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2,则是前面命题的直 接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。第四环节：随堂练习巩固新知活动内容：学生自主完成P4第2题：如图（图略），在AABD中,C是BD ±的一点，且AC丄BD, AC=BC=CD,（1）求证：Aabd是等腰三角形：（2）求ZBAD的度数。活动目的：巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。第五环节：课堂小结活动内容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。活动目的：形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。活动效果与注意事项：教师注意对学生的

11、感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上, 明晰部分收获供学生共亨，如：1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提 供了丰富的理论依据.3、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性.第六环节：布置作业P5习题12!1!教学反思本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 “探索一发现一猜想一证明”的活动过 程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。 当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的半衡，具体齐部分时 间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。1

12、. 等腰三角形（二）一、学生知识状况分析在八年级上册第七章平行线的证明，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有 关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七 年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学 生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等耍三角形的判 定定理都做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特 殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下：1. 知识目标： 探索一一发现一一猜想一一证明等腰三角形中

13、相等的线段，进一步熟悉证明的基本步 骤和书写格式，体会证明的必要性；2. 能力目标： 经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的门然 延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力： 在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提奇学生的学习 能力和思维能力，提高学生学习的主体性； 在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的儿何直觉；3. 情感与价值观要求 鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲. 体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.4. 教学重、难点重点：经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，能够用综合

14、法证明有关三角形 和等腰三角形的一些结论.三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究； 第三环节：经典例题 变式练习：第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质：第五环节：9随堂练习及时巩固；第八环节：探讨收获 课时小结。第一环节：提出问题，引入新课活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段（如角半分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线 段吗?你能证明你的结论吗？活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础：同时，宜接提岀新的问题，过渡 自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于

15、提高学生提出问 题的能力。第二环节：自主探究活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有 哪些相等的线段，并尝试给出证明。活动目的：让学生再次经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，进一步体会证 明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究 出：等腰三角形两个底角

16、的平分线相等: 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等.并对这些命题给于多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下而的证明方法:已知：如图，在ZXABC中，AB二AC, BD、CE是ZXABC的角平分线.求证：BD=CE.证法 1： TAB二AC,ZABC=ZACB（等边对等角）.Z1 二* ZABC, Z2=j ZABC,AZ1=Z2.在ZBDC 和 ACEB 中，ZACB二ZABC, BC=CB, Z1=Z2./.ABDCACEB(ASA).A BD=CE (全等三角形的对应边相等)证法2：证明：TAB二AC, ZABC=ZACB.又 VZ3=Z4.在 A

17、BC和 ACE中，Z3=Z4, AB=AC, ZA=ZA. AABDAACE (ASA).BD二CE(全等三角形的对应边相等).在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竞严格证明表述经验尚显不足，因此， 教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程， 借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和 指导。笫三环节：经典例题变式练习活动内容：提诸学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线 段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图1一4的等腰三角形ABC中，如果ZABD ZABC, ZACE

18、=J ZACB呢？由此，你能得到一个什么结论？(2)如果AD=| AC, AE=| AB,那么BD=CE吗?如果AD=| AC, AE=| AB呢？由此你得到什么结论？活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的弓导，因为学生先前这样的经验比较少， 可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等.如果 是三等份、四等份结果如何呢？从而引出“议一i义”。由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述 这些问题的皋础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；

19、 当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而耍求部 分学优生解决所有的问题，扶至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如 何想到这些问题的”。在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。下面是学生的课堂表现：生在等腰三角形ABC中，如果ZABD=| ZABC,那么BD二CE.这和证明等腰三角形两底 角的角平分线相等类似证明如下：TAB 二 AC,ZABC=ZACB（等边对等角）.乂 IZABD斗 ZABC, /. ZACE ZACB,:.ZABD=ZACE.在ZXBDC 和 ACEB 中，V ZABD=ZACE, BC=CB, ZAC

20、B=ZABC,BDC竺ZCEB（ASA）BD=CE （全等三角形的对应边相等）生如果在AABC 中，AB=AC, ZABDZABC, ZACE二N ZACB,那么 BD=CE 也是成立 44的.因为AB=AC,所以ZABC=ZACB,利用等量代换便可得到ZABD二ZACE, ABDC与ZiCEB全 等的条件就能满足，也就能得到BD二CE由此我们可以发现：在ZABC 中，AB二AC, ZABD=Z- ZABC, ZACE=- ZACB,就一定有 BD二CE 成立.nn生也可以更直接地说：在AABC中，AB二AC, ZABD=ZACE,那么BD=CE.师这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论.请同

21、学们把一般结论的证明过程完整 地书写出来.（教师可巡视指导）下面我们來讨论第（2）问，请小组代表发言.生在ZABC 中,AB二AC,如果 AD兮 AC, AE=| AB,那么 BD二CE：如果 AD=| AC, AE=| AB,12那么BD=CE由此我们得到了一个更一般的结论：在ZkABC中,AB=AC, AD丄AC, AEAB, nn那么BD=CE.证明如下：VAB=AC. 1 1又 VAD=- AC, AE=- AB,nnAAD=AE.在 ZXADB 和 ZAEC 中，AB二AC, ZA=ZA, AD=AE,/.AADBAAEC（SAS）BD=CE （全等三角形的对应边相等）.生一般结论也

22、可更简洁地叙述为：在ZXABC中，如果AB二AC, AD二AE,那么BD二CE.师这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的 一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究，我们可以 发现等腰三角形中，相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可 分的.第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质: 等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60。.己知：如图，A ABC中，AB=BC=AC求证：ZA=ZB=ZC=60°.证明：在A ABC中，

23、VAB=AC, a ZB=ZC（等边对等角）.同理：乙C=/A, ZA=ZE=ZC （等量彳弋换）.又vzA+ zB+ zC = 130° （三角形内角和定理），.-.zA=zB=zC=60° 活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写岀对于“等边三角形三个内 角都相等并且每个内角都等于60。”的证明过程：第五环节：随堂练习及时巩活动内容；在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。1如图，已知AAEC和厶BDE都是等边三角形.D10求证:AE=CD活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步举握综合证明法的基本要求和步骤, 规范证明的书写格式

24、。第六环节：探讨收获课时小结本节谍我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳 出一般结论，四、教学反思本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程， 因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的 调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务， 可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可 以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。141. 等腰三角形（三）一、学生知识状况分析本节课是等腰三角形的第三课时，通过前面两课时的学习，学生已经

25、掌握了等腰三角形 的相关性质，并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定理 奠定了知识和方法的基础。二、教学任务分析本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生 反过來思考猜想新的命题，并进行证明。这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证 法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一。因此，本节课的教学 目标定为：1. 探索等腰三角形判定定理.2. 理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.3. 了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。4. 培养学生的逆向思维能力。三、教学过程分析本节课的教学过程设计了以下六

26、个环节：复习引入一逆向思考，定理证明-一巩固练习 一一适时提问 导出反证法-一拓展延伸一一课堂小结。第一环节：复习引入活动过程：通过问题串凹顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考 后再进交流。问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等？活动意图：设计是问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是对 上节课内容有效地检测手段。第二环节：逆向思考，定理证明活动过程与效果：教师：上而，我们改变问题条件，

27、得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方 法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径.例如“等边对等角”，反过來成立吗？也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？生如图，在ZXABC中，ZB=ZC,要想证明AB=AC,只要构造两个全A等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.师你是如何想到的？生由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分 线，或作BC上的萬，都可以把AABC分成两个全等的三角形.师很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论.生我们组发现，如果作BC的中线，虽然把AABC分成了两个三角形，但无法用公理和 已证明的定

28、理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分 别相等，是不能够判断两个三角形全等的.后两种方法是可行的.师那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来.（教师可让两个同学 在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）（证明略）师我们用“反过來”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理一一等腰三角形的 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简单叙述为：等角对等边.我们不仅发现了儿何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美.第三环节：巩固练习活动过程与效果：将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生进 行分析。己知：如图，ZCAE是ZXA

29、BC的外角，ADBC且Z1二Z2求证：AB=AC.证明：TADZ/BC,DAZ1=ZB（两直线平行，同位角相等）,Z2=ZC（两直线平行，内错角相等）. 又VZ1=Z2, AZB=ZC.AB二AC（等角对等边）.第四环节：适时提问 导出反证法活动过程与效果：我们类比归纳获得一个数学结论，“反过來”思考问题也获得了一个数学结论.如果否定 命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗?我们一起來“想一想”:小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？有学生提出：“我认为这个结论是成立的.因为我画了儿个三角形，观察并测最发现，如 果

30、两个角不相等，它们所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样却很难证明，因 为它的条件和结论都是否定的的确如此.像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢？我们来看一位同学的想法：如图，在AABC中，己知ZBHZC,此时AB与Ac要么相等, 要么不相等.假设AB二AC,那么根据“等边对等角”定理可得ZC=ZB,但 己知条件是ZBHZC. “ZOZB”与己知条件“ZBHZC”相矛盾，因此ABHAC你能理解他的推理过程吗？再例如，我们要证明AABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是宜角，不妨设ZA二90° , ZB=90°，可得

31、ZA+ZB=180°，但 ABZA+ZB+ZC二 180° , “ZA+ZE二180° ”与“ ZA+ZB+ZC二180° ”相矛盾,因此AABC中不可能有两个直角.引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢？引出反证法。都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛 盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法.接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等 边”，最后结合实例了解了反证法的含义.笫五环节：拓展延伸活动过程与效果：在一节课结束之际，为培养学生思维

32、的综合性、灵活性特安排了 2个 练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基 础上再小组交流。1.如图，BD 平分ZCBA, CD 平分ZACB,且 MNBC,设 AB=12, AC=18,求AAMN 的周长.2现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发，将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片，问此时的等腰三角形的顶角的度数?第六环节；课堂小结（1）木节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪儿种？（3）结介本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系.（4）举例谈

33、谈用反证法说理的基本思路1.等腰三角形（四）一、学生知识状况分析在前两节课，学生己经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题, 这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识慕础和活动经验呈础。二、教学任务分析本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30。角的直角三角形的性质定理，应该说, 这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节 课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的 分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论， 因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动

34、的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这 实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。为此，确定本节课的教学目标:1.知识目标理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并 能利用这两个定理解决一些简单的问题。2能力目标 经历运用儿何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽 象思维. 经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理 能力和初步的演绎推理的能力： 在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能 力。3情感与价值观要求 积极参与数学学习活动，

35、对数学佝好命心和求知欲. 在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立门信心.教学重点 等边三角形判定定理的发现与证明. 含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4教学难点 含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. 引导学生全面、周到地思考问题.三、教学过程分析学具准备：两个带30度角的三角板。本节课设计了六个教学环节：第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第 四环节：变式训练 巩固新知；第五环节：畅谈收获 课时小结：第六环节：布置作业。第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边 三角

36、形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？ 乂如何判别一个三角形是等腰三角形 呢？从而引入新课。活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质：对于等边三角形的 判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分 步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提 出问题：如果己知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？下面是实际教学中的部分师生活动实况：生等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了 等边三角形

37、.生等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60。我认为等腰三用形的三个内角 都等于60。，等腰三角形就是等边三角形了.22（此吋，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论.教师 可让同学代表充分发表自己的看法）生我不同意这位同学的看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根 据等用对等边，三个内角都是60。，所以它们所对的边一定相等.但这一问题中“已知是等 腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费！师给三个用都是60。，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们 可在小组内交流自己的看法.（2）你认为有一个角等于60

38、。的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的 证明思路与同伴交流.（教师应给学生自主探索、思考的时间）第二环节：自主探索活动内容：学生白主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论， 教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出 下表：性质判定的条件等腰三角形（含等边三角形）等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰 三角形顶角平分线， 底边上的屮线、高互 相重合有一角是60。等边三角形三个角 都相等，且每个角都 是60。三个角都相等的三角形是等边三角形活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的门主探究能力。活动注意事

39、项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：顶角是60。的等腰三角形是等边三角形；底角是60。的等腰三角形是等边三角形：三个角都相等的三角形是等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形。对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部 分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分 类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路.并要求学生 思考证明中的注意

40、事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到.第三环节：实际操作提出问题活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过胃角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30。角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30。角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你 能得到什么结论？说说你的理由.活动目的：让学生经历拼摆三 角尺的活动，发现结论：在直角三 角形中，如果一个锐角等于30。， 那么它所对的直角边等于斜边的一 半.活动注意事项与效果：学生一 般可以得出下面两种图形：其中笫1个图

41、形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=| AB,从而得出：在直角三角形中， 如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。具 体的说明过程可以如下：方法1：因为 ABDACD,所以 AB=AC.又因为 RtAABD 中，ZBAD=60°,所以ZABDF0。，有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.方法 2 ： 图（1）中，ZB=ZC=60 , ZBAC= ZBAD+ZCAD=30°4-30°=60° , 所 以 ZB=ZC=ZBAC=60°,即ZABC

42、是等边三角形.如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并 要求学生思考其中哪些线段点接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么 结论。然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。定理：在之角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 己知：如图，在 RtAABC 中，ZC=90°, ZBAC=30°.求证：BC=j AB分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D,使CD=BC,连接AD.证明：在AABC 中，ZACB=90°, ZBAC=30°ZB=60°.延长BC

43、至D,使CD=BC,连接AD（如图所示）.D*. ZACB=90°. ZACB=90°VAC=AC, A AABCAADC（SAS）.AB=AD（全等三角形的对应边相等）.等边三角形).BC=| BD=| AB.AAABD是等边三角形（有一个角是60。的等腰三角形是第四环节：变式训练巩固新知活动1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。吗?如果是，请你证明它.在师生分析的基础上，给出证明：己知：如图，在 RtAABC 中，ZC=90°, BC=| AB. 求证：ZBAC=30°证

44、明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD.V ZACB=90°, /. ZACD=90°. 乂 TAOAC AACB 9 AACD (SAS).AB=AD VCD=BC, .-.BC=j BD 乂.*BC=| AB, AAB=BDAB=AD=BD,即 ABD是等边三角形./. ZB=60° 在 RtAABC 中，ZBAC=30°.注意事项；该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前而原命题探究活动过程的铺垫，可 以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作 法中能否得到启示？活动2 :呈现例题，在师生分析的基础上,运用所学的

45、新定理解答例题。例题等腰三角形的底角为15。，腰长为2恥分析：观察图形可以发现在RtAADC 中,AC=2a而ZDAC是AABC的一个外角， 而ZDAC=xl5°=30°,根据在胃角三角形中, 30。角所对的直角边是斜边的一半，可求出求腰上的高CD的长.26#解：VZABC=ZACB=15° ZDAC=ZABC+ZACB=15°+15°=30oCD=| AC=j x2a= a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等 于斜边的一半）.活动目的：在例题求解中巩固新知。第五环节：畅谈收获 课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总

46、结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含 其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。第六环节：布置作业!1!教学反思本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的锐角等于30。”和“直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半”，由 于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法 多样，取得较好的效果。2. 直角三角形（一）一、学情分析克角三角形全等的条件和勾股定理及英逆定理在前面已由学生通过一些百观的方法进 行了探索，所以学生对这些结论己经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出 來例如以前我们曾

47、用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的儿 条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生來说，这些都有难 度，因此教科书将其两种证明方法放在“读一读”中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生 裳握，其逆定理的证明方法对学生來说也是有一定难度的.二、教学目标1. 知识目标：（1）第握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解 决与直角三角形有关的问题。（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命 题不一定成立.2. 能力目标:（1）进一步经历用儿何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号

48、感， 发展抽象思维.（2）进一步学握推理证明的方法，发展演绎推理的能力.3. 教学重点、难点重点 了解勾股定理及其逆定理的证明方法. 结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命 题不一定成立.难点勾股定理及其逆定理的证明方法.三、教学过程本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：讲述新课：27第三环节：议一议；第四环节；想一想；第五环节一随堂练习；第/弋环节：课时小结；第七 环节：课后作业。1:创设情境，引入新课通过问题1,让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。问题1一个直角三角形房梁如图所示，其中BC丄AC, ZBAC=30&#

49、176;, AB=10 cm,CBi丄AB, EiC丄ACi，垂足分别是Bi. CH那么BC的长是多少？ B】Ci呢？解：在 RtAABC 中，ZCAB=30° , AB=10 cm,. 1 1 «BC=2 AB =2 x10=5 cm.TCBi丄AB, ZB+ZBCBi=90。又 VZA+ZB=90°.ZBCBi =ZA=30°在 RtAACBi 中,BBi=| BC=|- x5= - cm =2.AAB1 =AB=BBi =102.5 =7.5(cm).在 RtAQABi 中，ZA=30°1 1.BiCi =2 ABi=2 x 7.5=3.

50、75(cm)解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30。角的直角三角形的性质”.由此提问:“一般的直角三角形具有什么样的性质呢？”从而引入勾股定理及其证明。教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推导出的 定理，能够证明勾股定理吗？请同学们打开课本P18,阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理, 证明勾股定理的方法.2:讲述新课阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请 有兴趣的同学课后阅读.(1) .勾股定理及其逆定理的证明.己知：如图，在ZkABC 中，ZC=90°, BC = a, AC=b,

51、 AB = c.求证：a2+b2 = c2证明：延长CE至D,使BD=b,作ZEBD = ZA,并取BE = c,连接ED、AE（如图）,则厶 ABCABED. NEDE = 90JED = a(全等三角形的对应角相等，对应边相等).四边形ACDE是直角梯形.S 梯形 Acde=|, (a+b)(a+b) = j (a+b)2.ZABE = 180° -(ZABC+ZEBD) = 180° 一90° =90° ,AB=BE ASAABE=j c21 - 2+ab1 _ 2+2C1 _ 2*.*S 梯形 ACDE = S abe+S .abc+S. .be

52、d，a2 222 "ab,.a2+b2 = c2教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调.具体如 下：勾股定理：直角三角形两直角边的半方和等于斜边的平方.反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的 方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗？师生共同來完成.已知：如图：在厶心。中，ab2+ac2=bc2求证：AABC是直角三角形.分析：要从边的关系，推出ZA=90°是不容易的，如果 能借助于AAEC与一个直角三角形全等，而得到ZA与对应角 （构造的三角形的直角）相等，可证.证明：作 RtAABC,

53、使ZAz=90° , AB=AB, AC、AC(如图), 则AB2+a，cQ(勾股定理).VAB2 + AC2=BC2, AE'hAE, AC/.BC2 = B,C/2BC=BCA AABCAA (SSS)/A=Z4=90° (全等三角形的对应角相等).因此，AABC是直角三角形.总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形.（2）.互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命 题吗？通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的

54、结论，结论 是第二个定理的条件.这样的情况，在前面也曾遇到过.例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论， 就得到“内错角相等，两直线平行”.又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它 所对的直角边就等于斜边的一半”.交换此定理的条件和结论就可得''在直角三角形中，如果 一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。”。3：议一议观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题 的区别与联系。让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题 的题设和结论，能够将一个命题写出“如果;那么”的形式，

55、以及能够写出一个命 题的逆命题。活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交 给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定发烧.如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命 题的条件.在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个 命题称

56、为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就 为原命题.再來看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命 题，另一个则为逆命题诸同学们判断每组原命题的真假.逆命题呢？在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.在第三组中，原命题和逆命题都是真命题.由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题.4：想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条 件变换成结论，就得到了逆命题.请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命 题吗？从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗？并通过具体的实例说 明。如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理. 其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理.能举例说出我们已学过的互逆定理？如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直 线平行”“全等三角形对应边相等”