大一下高数下册知识点

1、高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数( 一 ) 向量线性运算定理 1 设向量 az 0, 那么向量 b 平行于 a 的 充要条 件是存在唯一的实数入，使ab=X、线性运算：加减法、数乘； 1、空间直角坐标系： 坐标轴、坐标面、 卦限 , 向 量的坐标分解式； 2b(ba)a,b,baa )(, , ； 3、利用坐标做向 量的 运算：设 zyxaaa )(, ab)b,ab,aab(a, zyx , ；那么 zyzyxx 、向量 的模、方向角、投影： 4222 xrzy ) 向量的模： 1；222) ) 两点间的距离公式：(xz)2AB(zx(yy 121122, ) 方向角：非零向量

2、与三个坐标轴的正向 的夹角 3cosyx ,cos,cos ) 方向余弦： 4z rrr 222 cos1coscosacosPrja 其中 5) 投影： a 的夹角。与为向 量uu，( 二 ) 数量积，向量积bcosba a 1 、数量积：2 aa a)i baba 0)2ababbabs zyxyxzcba 、向量积： 2a,b,cabsin 符合右手规那么， 方向：大小： 0) aa1 a/bab0 )2ijk aabaa zxy bbb zyxaab b 运算律：反交换律( 三) 曲面及其方程S:f(x,y,z) 0、曲面方程的概念： 1、旋转曲面： 20C:f(y,z)yoz ，面上

3、曲线22)0zxf(y,y 轴旋转一周：绕22,z)0yxf(z 轴旋转一周：绕、柱面： 3F(x,y)0zF(x,y)0 轴，准线为表示母线平行于的柱面0z、二次曲面 42yx 22 z 2 ab椭圆锥面:1222xyz2 1 a22b 椭球面：2C222xyz 2 1 a22ac 旋转椭球面： 222yxz2 1 a 22b单叶双曲面：3C222yxz21 a22bc双叶双曲面：4222 yx z a2b椭圆抛物面：52 xy 22za2b双曲抛物面马鞍面：6222 xy 1 32b椭圆柱面：7222 xy 1 2ab双曲柱面：822xay抛物柱面：9四空间曲线及其方程F(x,y,z) 0

4、、一般方程： 1G(x,y,z) 0xx(t)xacostyy(t)，如螺旋线:2ytas in z(t)zzbt3、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z)0 H(x,y)0xoyz 上的投影，消去，得到曲线在面0G(x,y,z) z0( 五) 平面及其方程x)B(yy)C(zz)0A(x 、点法式方程： 1000,y,z)(x n(A,B,C) ，过点法向量： 000 AxByCzDO 般式方程：2xyz 1 acb 截距式方程：n,B,C)n,B,C)(A(A ，、两平面的夹角： ， 322121211ACABC 2B21112 cos 22222 BACCB 2A 111222AABC

5、CB 2021211 12ACB 111 / 12 ACB 222P(x,z)AxCzD0,yBy 到平面、点 4 的距离：0000Ax By Cz D 000d 222BA C六空间直线及其方程AxByCzDO iii、一般式方程：1AxByCzDO 222xxyyzz 000、对称式点向式方程：2mnp,y,z) s(x (m,n,p) 方向向量： ，过点 000xmtx0yy 、参数式方程： 3nt 0zptz 0s,n,p)s,n,p)(m(m ， 4、两直线的夹角：22112121 mmnpp 2n12211 cos22222m2ppnmn22121 1mnnpp0m LL22111

6、2 21mnp 111 L/L 21 mnp 222的投5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上 影的夹角，Am BnCp sin 22222 n B ACm 2pL/ Am Bn Cp 0A B C Lm第九章多元函数微分法及其应用一根本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚 点， 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。维空间内的点集定义：设 n、多元函数:(212RD 是的一个非空子集，称映射 f : D-R 为定义在 D 上的 n 元函数。当 n >2 时， 称为多元函数。记为 U=f (x ，x，?,X) , ( X , X , ?, X) ? Do n1n1223

7、、二次函数的几何意义 : 由点集 D 所形成 的 一张曲面。女口 z=ax+by+c 的图形22+y 为一张平面，而的图形是旋转抛物线。z=X4、极限:( 1) 定义: 设二元函数 f(p)=f(X,y)的定义域D,pO(xO,yO)是D的聚 点D,如果存在 函数 A 对于任意给定的正数& ,总存在正数 5 ,使得当点 p (x,y )? DQ u (p0,5)时,都有 I f(p)-A I = I f(x,y)-AI <£成立那么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y) f (x , y )时的极限，记作 00limf(x,y) A定义 3 设元函 JS 八卩) 的定

8、义域为点 * />?儿 是其聚虑且 叫住“，如果 lim /(/>)= f(P 0)PT片則称 "元函 数八尸)在点化处 连续 .设人是雷数flP)的定义威的楽点，如果八P)在点化处不连续，那么称化是函數八 尸 的 间断点 ?(x,y) (x,y)00多元函数的连续性与不连续的定义5、有界闭合区域上二元连续函数的性质： (1) 在 有界闭区域 D 上的多元连续函数，必定在 D 上有 界，且能取得它的最大值和最小值；(2) 在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最 小值 之间的任何值。6、偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(x,y)是其 定义域D内一点。把y

9、固定在yO。而让x在xO 有增量 x，相应地函数z=f(x,y)有 增量(称为对 x/y的偏增量)如果 z与厶x/ y之比当 x 0/ y 0时的极限存在， 那么此极限值称为函数 z=f(x,y)在(xO,yO)处对 x/y 的偏导数记作6f(x)f(x,y)x,y oooo )f(x,y lim oxoxx07、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数和 f(x,y) 在 D(x,y)f yx xy 内连续，那么在该 区域内这两个二姐混合偏导数必 相等。, coscosfff 其中为、方向导数：的方向角。l 8 yxl9、全微分：如果函数 z=f(x, 在 (x,y) 处的全增<

10、z=f(x x, y y)-f(x,y)y)可以表示为 z=AAx+BAy+o( p )，其中AB不依赖于厶x, y，仅与x,y有关，当P一 0，此时称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微 分，AAx+BA y称为函数 在点(x,y)处的全微分， 记为 z=f(x,y) zz dydxdzxy(二)性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数 连续等概念之间的关系：12必要条件偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件42 定义3函数连续微分法ux定义：1z复合函数求导：链式法那么 2vyv(x,y)f(u,v),uu(x,y),v，那么假设zuzz vz z uvz， v xyuxv u yyx

11、3隐函数求导： 两边求偏导， 然后解方程 组三应用1、极值zfx,y 1 无条件极值：求函数的极值f0x0f x,y ，令求出所有驻点，对于每一个驻 点解 方程组 y002BAOACO函数有极小值，假设，2B00AAC 函数有极大值；假设，2BAC假设，函数没有极值；2BAC假设，不定。zf(x,y)(x,y)O 下的极值 ) 条件极值：求函 数在条 件2L(x,y)f(x,y)(x,y) 令：Lagrange 函数LOxLO 解方程组 y(x,y)O2、几何应用1) 曲线的切线与法平面 xx(t)y(t) ，那么 ,y,z) ( 对应参数为 t )处的 M(x 上 一点 曲线 :y 0000

12、z(t)z 8xxzzyy 000000法平面)x(t切线方程为：)z(ty(t)(x)O)(zzy(t)(yy)z(tx)x(t方程为：000000) 曲面的切平面与法线 2 :F(x,y,z)0 处的切平面方程为： 上一点曲面，那么 000 )0(x,y,z)(zz,z)(xx)F(x,y,z)( yy )FF(x,y 000y0000000z0x0 xxzzyy 000 法线方程为：),y,z(xF(x,y,z)F),y,zF(x 00x0000y 00z0重积分第十章(一)二重积分)limf(f(x,y)d, 、定义 1kkk0 Dk1条 62、性质：、几何意义：曲顶柱体的体积 、计算

13、：4 ) 直角坐标 1(x)(x,y) (x)yD 12 ，bxa(x)b 2 f(x,y)dxdy f(x,y)dydx (x)a 1 D(y)(y)x 12 (x,y)D ， ycdfj2 dyf(x,y)dxdy(y)c 1D2极坐标()()21 D(,)p $ '卩1P 0 'p af(x,y)dx)2f(cos, sin ) f(x,y)dxdydd)(1D (二)三重积分 nf(,)vlim 1f(x,y,z)dv、定义：kkkk。ki2、性质：3、计算： 1)直角坐标 z(x,y) 2f(x,y,z)dv dxdyf(x,y,z)dz “先一后二D(x,y)z i

14、 b dzf(x,y,z)dxdy f(x,y,z)dv “先二后DaZ一 2)柱面坐标 xcos siny ,z)dddzf(cos,sinf(x,y,z)dv zz3) 球面坐标of 4Ig e甘申H.-IffSOOUISXsiny rsin rcosz2sindrddsin ,rcos)rf(rsin f(x,y,z)dvcos,rsin( 三) 应用f(x,y),(x,y)DS:z 的面积：曲面 z2) )dxdyzA1( 2Dyx第十二章无穷级数常数项级数1、定义：UUUUU 无穷级数： 1n2n31n1Sn局部和： uuuuu ， n 32k1n 1ku， u 正项级数： 0nnn

15、1nu， u01 交错级数： nnmSlimS 级数收敛：假设 2 存在，那么 称 级数 u 收敛，否那么称级数 u 发散 n nn n n1n13绝对收敛： u 收敛，那么 u 绝对收敛； nn n1n1条件收敛：u收敛，而u发散，那么u条件收unnn nlnlnl定理：假设级数u绝对收敛，那么nn nlnl必定收敛2、性质： 1级数的每一项同乘一个不为零的 常数后， 不影响级数的收敛性；ab 收敛且，其和为nn b,那么分别收敛于和 s 与 2级数 a 与 b nnn1 n1n1s+b3在级数中任意加上、 去掉或改变有限项， 级 数仍然收敛；4级数收敛，任意对它的项加括号后所形 成的级数仍

16、收敛且其和不变。5必要条件：级数 u 收敛即 limu0. nn n n13、审敛法u， u 正项级数： 0nnn1SlimS )定义： 1 存在； n n2) U 收敛 S 有界； nn n1v(n1,2,3,)u 为正项级数，且 v, u) 比拟 审敛法 ： nn 3nn1n1nv 收敛，那么 u 收敛；假设 u 发散，那么 v 发散 . 假设 nnnn n1n1n1n1mnmtf,v 为正项级数，假设存在正整数，当， ) 比拟法的推论： u4nnmnm ukv 时，当， v 收敛；假设存在正整 而 n1n1数 u 收敛，那么 nnn nn11nukv，而v发散，那么u发散.nnnnnln

17、lp);比拟大小；1/np级数做题步骤：找 比拟级 数(等比数列，调和数列，是否收敛。5比拟法的极限形式： 设 u，v 为正项级数， nn n1n1u unlim 1，而收敛； ll0 假设 v 收敛， 那么 n nVn n inni UU nnlimlim 20 或假设v 发散，那么 u 发散. ，而 nn vvnn nn n1n1 lulim li 时，级数，那么当 uu 收 6比值法： 为正项级数，设 n nninu n niini 时，级 lil u 发散；当时，级数数敛；那么当 u 可能收敛也可能发散 . nnniin l nl ，那么当 ulim i 为正项级数，设 u 时，级数 u7 根值法：收敛； n nni 时，级 lil 数发散；当时，级数那么当uu可能收敛也可能发散 . nn n1n1limnu0 limnu 为正项级数，假设 8) 极限审 敛法：u 或，那么级 nnnnnn1p1p )limnu ，那么级数 u 收敛.，使得 11(0 发 散；假设存在 u 数 nnnn n1n1交错级数