定积分的应用

1、第十章定积分的应用§ 1平面图形的面积1.求由抛物线y=x2与y=2-x2所围图形的面积.解 两曲线的交点是,所以所围的平面图形的面积为12.求由曲线y = lnx与直线x = ， x=10, y =0所围图形的面10积10 1 10解 S = J1 |ln xdx = h (In x)dx + J In xdx110 101 10= (xln xx)+(xln xx)11103.抛物线y2 =2x把圆x2 y2 <8分成两局部，求这两局部面积解抛物线y2 =2x与圆x2y2 =8的交点P(2,2),Q(2,-2),如图10-1所示,抛物线y2 =2x把圆分成s、S2两局部，记

2、它们的面积分 别为A、A2，那么2 1 y2 卫8 4A = J 8-y2dy = 84A2 =8二-A =8一 2二=6332兀+所以 A3 =2A26一49仃co孑创甘+2兀I2 1.扌3 3S1O2二asin3t(a 0)所围图形的面积(如图10-2).解所围图形的面积a0s =4 0 ydx =4 二y(t)x(t)dt2= 12a2 J (sin4t -sin6t)dt3旧2-8 .5.求心形线r =a(1 cos)(a 0)所围图形的面积 解所围图形的面积为1 ,兀2兀22S =2r2(r)d = a2(1 co s)2dr2 5$0： 2.2 -=oa (1 2cos co sR

3、d6.解JJ- QAf (一+2c oE+co 2日)d日0 2232a .2求三叶形曲线r =asin3“a 0)所围图形的面积.如图10-3所示，所求的面积为1上S =6 2 =an6a2s in 23如2 - 0ji=a4S10-37.求由曲线.，a订卄厂。与坐标轴所围图形的面积.所以，所求面积为a 厂S - b -2aX 2dx =b(1) dx0. a= 2ab 11-t2tdt 二辿.'0 68.求由曲线x二t-t3,y =1-t4所围图形的面积.解 当t=1,1时,x=0, y =0.故当t由-1变到1时,曲线从原点出 发到原点，构成了一个封闭曲线围成的平面图形，故1 1

4、,CS 二 4 y t x t dt 二 4 1 -t4 1 -3t2 dt二 1 1-t4-3t2 3t6dt.4359.求二曲线r =sin 与r 3 cos所围公共局部的面积 解如图10-4所示，解方程组解 曲线与x轴交点a,0,与y轴交点为O,b,y= Jb-r =s in 日j =<3 cos 9所围公共局部的面积1 2 .3 cos j d v2 s'空1 -cos2Q 3-0TT321 cos2rdTQ J J231-si n2v20 T咙_324 一 410.求两椭圆2 X2 ! 2 a2 2 y x y1与2 2 2 bb a=1a 0,b 0)所围公共局部的面

5、积解如图10-5所示图形关于两坐标轴对称，故只须求第一象限的 图形面积.在第一象限内，解得交点为(abEa2 b2, ab/a2 b2) 又根据对称性，所求面积S =80 ,其中abbarcs in2a2 b2bab2ab 1 a2 b22 2a2 b22 a2 b2abarcsi n vab2S = 4a b aar c s i-a2 b2S1D-510-6§ 2由平行截面面积求体积1. 如图10-6所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积解 如图10-6所示建立直角坐标系，那么椭圆柱面的方程为，2 2xy 110016 ".斜面的方程为z = X

6、.2用平面x =t截这个立体，得一长方形，其边长是812，所100 2以从而x2AW1 100-x2dx=4°°10032. 求以下平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积：(1) y =sinx，0 Ex_;绕x轴；(2) x =a (t -si nt), y =a (1 - cost) (a 0)，0二t 二 2二，绕 x轴; r =a(1 cos)(a0),绕极轴；2b2=1,绕y轴.2x a.H 2兀兀1x s i r2x2 |L 27 二 o sir xdx = § °(1 - cos2x)dx2 -(2) Va2(1-cost)2d a(t-sirt

7、)l=a2兀3(1 -cost)3dt2 2 二 2 3=a n fo (1 3cost +3cos t cos t)dt2 3=5二 a .(3) a(1 cos)(a 0)是心脏线，而 k =a(1 +co£)cos,介y =a(1 +co s)s i Q'2V =JI 2f 3dx,兀22 Hy dxJ 0L -ji33 =a是心脏线极轴之上局部的参数方程，故o (sin3 v 2sir3)cos)sir3 vcos2)(1 2cosv)dv 原方程可写成x =a-. 1-y2/b2 ,所以V=二 x2dy =2二 a42dyb.2.球半径为r,验证高为h的球缺体积V

8、=yh2 r - h 汀I 3 丿:证 球缺体积可看作是曲线 y =汀2 -x2, r -h岂x岂r绕x轴(J -x2)dx-r -hr-h2r -h旋转而得到的，所以体积为兀 fy2dx =nJ r _b| 213 r _.2h ',；=/xx 1 =砧丨 r 一一 i.13山I 3丿3 34.求曲线x = acos t, y = a sin t所围平面图形(图10-7)绕x轴 旋转所得立体的体积.a 2解 V =二 y dx_asin71 cos2 tdtnf 02633 r=二 a sin td(acos t)二-3an323= a .105y尸血图 10-T图1D75.导出曲边

9、梯形 0空y空f(x),a空x乞b绕y轴旋转所得立体的体 积公式为bV =2 二 xf (x)dx.a证明用元素法和柱壳法证明此题.所谓柱壳法，就是把旋转体看 成是以y轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的(图10-8),以此柱壳的体积作为体积元素.当dx很小时，此小柱壳的高可看作不变，即为圆柱薄壳.在区间x, x dx上的柱壳体积，即体积元素dV =2 x dx f(x) =2:xf(x)dx,于是旋转体体积bbV hi dV =2二 xf(x)dx.aa6.求0岂y ms in x,0岂x乞二所示平面图形绕 y轴旋转所得立体的 体积.解曲线可分成两局部x = arcs in y,0 _ y _

10、1x -二-arcsin y,0 _ y _1用y =t截这个立体，其截面面积为A(t)=：(ar cst)n - ( ar cst)n2 ar cst n即面积函数为A(y) _ 二3 _2二2 arcsin y ,故1V =(二 3-2 二 2arcsiny)dy=2二 2.-0§ 3平面曲线的弧长与曲率1.求以下曲线的弧长：3"(1) y =x 2,0 _x _4;(2) 、x . y =1 ;3 3(3) x =acos t, y = asin t(a 0),0_t_2二；(4) x =a(cost t si nt), y=a(si nt -tcost)(a 0),

11、0_t_2二;3 6 “(5) r =asin (a 0),0 上二上 3二;3(6) r =a日(a >0),0乞日兰2兀.13解(1)由于y"=3x2,故2!l9xdx='1+9x 4 =(1/10 -1 )!0427 140 27(2)由 一 x . y =1 得 y =(1 -、 x)2 ,0 岂 x 叮, 从而,丫 = -(1 一 jx) / . x ,所以,=2 o 2x-2.x 1 d、x1 (1-4x)2s 1、dxMx=1 In 1.2 .222由于 x =3acos tsint,y =3asin t cost,所以2 二 2 2 2 2s= o 3a

12、 , sin tcos t(sin t cos t)dt3 宀 =-a s i i2tdt =6a .2 $ o i(4)因为 x =atcost, y =atsi nt,所以2 二22 2 二 2sx y dt atdt =2二 a.+ 0 丿 + 0* r2甘日 2r*2r24(5) 因为 r (丁) =asincos,r (丁) r (丁) =a sin ,3 33所以 sr2 r r 2 v d = asin2 d -.7032(6) 因为 r (R =a, r2(v) 2(v)二a2(1' 2),所以s 二2 二 a .1)2d v 二01# In-二a T 4二2 ln 2

13、 亠 14 -22 V*2.求以下各曲线在指定点处的曲率：(1) xy =4,在点(2,2)；(2) y =ln x,在点(1,0);(3) x =a(t _sin t), y =a(1 -cost)(a 0), 在t 的点;2(4) x =a cos31, y = as in3 t(a 0),在 t =的点.从而所以,所以所以所以,44解y严yx=2曲线在点(2,2)处的曲率为-13(1 1) 2x=1XX3'由于y"1 xmx2止 4 .=i,yx£I13(1 12) 2由于 x - -a(1 - cost) =a ,2 t '2 2= asi nt一1

14、,Xz1= asi ntt =2+-acostt2ta,2t°,22 -a24aK3(a2+a2x (t) - -3acos2 tsint, x (t) - -3acost(cos21 -2sin21), y (t) =3asin21 cost, y (t) = 3a sin t(cos21 -sin21),G)342 tf(n3J2i=a x i i=a44,44,仆、3仕)3、；'2ya , ya ,4444a -F FFF !xy -x yjaaP2(t )dt = f "Ja2( b2 a2) cos2tdtJ 0故 K =32 2、2(X +y )2卜3.

15、求a、b的值,使椭圆x=acost, y =bsint的周长等于正弦 曲线y =sin x在0 _x _2二上一段的长.解设椭圆的周长为$，正弦曲线的周长为S2那么2応(2Six (t) y2】1 co2stdt,0由于 S1 = S2 .故 a =1，= 2，或 a =、2，b = 1.*4.设曲线由极坐标方程r二r(R给出，且二阶可导，证明它在点(r, R处的曲率为r2 2r 2 - rr证 方程为 从而当方程由极坐标系转换成直角坐标系时，曲线以日为参数的x =r (8)cos8, y = r (日)sin 8,x"(日)= r'(B)cos日r (日)sin B ,x&

16、quot;(T) =r"佝 cos日r'(0)sin 日 - r'(日)sin 8 r(T) cos日=卜(日)-r(0) bos日-2r'(G)sin8.y "(B) =r'(G)sin 日 +r (日)cos日,y"(日)=卜(日)r(日)3sin 日 +2r'(T)cos& ,故xy -x y =r 十2r -rr*2 丄 *2*2 丄 2x 十y =r 十r所以2 亠 c *2*r 十 2r -rrK =(r +r )K =,2-2X(r r )3/ 2*5.用上题公式,求心形线r =a(1 cos)(a -

17、 0)在v - 0处的曲 率、曲率半径和曲率圆.解 从上题得知 对于心形线r =a(1+cos日)(a >0), 由于 r(0)=2a.卫二一asin v =0,r a cost .r£ = a.故它在v -0处的曲率为|(2a 丫 -2a(a3K一虫2严4a曲率半径为R二丄=亠，K 3曲率圆的圆心在x轴上，半径为-a，方程为3(2a f . 2 I62xy a .39*6.证明抛物线 y =ax2 bx c在顶点处的曲率为最大 证 在点(x, y)处抛物线y二ax2 - bx - c的曲率半径为1"k(1 y 2)3/2y|(4a2x2 4abx b21)3/2f

18、(x) =4a2x2 4a bx b21f (x) =8a2x 4ab, f (x) =8a2故当x吧时，f»f(Aa2 0,这时f(x)取得最小值，所以R(x)也最小,而点2 鸟空口_正是2a 4a 抛物线的顶点，故在此点抛物线 y=ax2 bx c的曲率为最大*7.求曲线y =ex上曲率最大的点解由于yy =ex,故曲率八 2x、3/2(1 e )idK _ex(1 _2e2x)(1 e2x)2 dx _(1 e2x)3I n Q所以，X =- 是稳定点，且当X :： -In、2时,k (x) 0 ;当2x -1 n 2时，k (x) : 0，故k(x)在x = -In -.2取

19、得极大值,从而曲线 f厂3y=ex在点 In 狂主 处曲率最大.2§ 4旋转曲面的面积1. 求以下平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：(1) y =sin x,0 乞x_;绕x轴；(2) x =a(t-sint), y =a(1-cost)(a 0),0 Et E2二，绕x轴；x2y2(3) 厂绕y轴;a b(4) x2 +(y a)2 =r 2(r <a),绕x轴.解(1)根据旋转体侧面积公式，得旋转曲面的面积为S =2二 sin x ,1 - cos2 xdx =2二；2 ln(、. 2 1).* 0(2)旋转曲面的面积为S = 2 二 y x 2y 2dt-0=2a(

20、1-cost) . a2(1-cost)2 a2 sin2tdt-o3r 2 兀厂 22642=2、2a2(1-cost)2dta2.o3 因为x二a 1-y2,-byb.所以旋转曲面的面积为S =2 叮 x(y)訥 +x*(y)dy _bb i 42222 a2b=b时，2S =4二ab =4二a ， b时，S=2na a +b2.a2 -b2In.a2 -b2 a:b 时,b2arcs in.b2 -a2(4)此旋转体的外表可看作是由两个半圆y =aS =2册 a +r2 -x2r _ x _r上.b (a -b )y dyy =a _Jr2 _x2绕x轴旋转所得旋转曲面的面积S =2兀

21、f (a +£r2 _x2) J +rdxJ. r -x+ 2兀(a _p''r2 _x2)十 _ dxJV r -x2r r=4 二a dx-r22-r -x- xT2=4 二ra arcsin 一=4二 ar .- r _r2. 设平面光滑曲线由极坐标方程r 二r(R,a _ _ ： £卩-0,二卜 _0给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式解因为x = r (日 jcos 日y = rd sin 二x'2) - y 2(力=r 2(力 r2 所以S =2二r(d)s i n. r2(r) r 2(r)d =* a“3试求以下极坐标曲线

22、绕极轴旋转所得旋转曲面的面积(1) 心形线 r =a(1 cosv)(a0)；(2) 双纽线 r2 =2a2cos2v(a 0).解(1)把所给曲线化成以 二为参量的参量方程，x =a(1 cos" costy =a(1 cost) si nr .据对称性和参量方程曲线旋转体外表积公式，S=2二y(H.x2(d) y2(»dd-0ji6=2二 a(1 cos)sin 2aco-sd$ o /232 - 2a .5(2)曲线的参数方程为：2 - -JT-<0 <4y = 2a2 cos2r sin 亠由曲线的对称性S=2 2叮卫:4 2a2coQsi n2a22a

23、2 co 2二del=8二a2 °4 sin -8(1 -a2.x - 2a cos2vcos J,§ 5定积分在物理中的某些应用1.有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长为10米和6米, 高为20米.计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力解 建立如图10-9所示坐标系，过A(20,3) , B(0,5)两点直线方程y -5x -0 卄x，即 y5.3 -520 010在微小区间x,x dx上的压力元素xdP =1 x 2y dx = 2x(5-祜)dx .所以2020xP 二 dP = i 2x(5)dx=1466.7(吨)J0 J0 10=1466.7 X 9.

24、8=14374( kN).图 10-92.边长为a和b的矩形薄板，与液面成a(0 : a : 900)角斜沉于 液体中，设a b,长边平行于液面，上沿位于深h处,液体的比重为-.试 求薄板每侧所受的静压力.解 建立如图10-10所示坐标系，设M为液平面，矩形薄板ABCD 与液面成:-角,短边AD所在直线与液面的交点 O为坐标原点O . OA 方向为x轴正向.由题设知：AB = a在液体深h处与液面平行所以 sin,即 OA，而 OD =OA b b .OAsi nasi na由于薄板沉于液体中，故它每面所受的压力大小相等，方向相反,现观察薄板上的小薄片所受压力的压力元素.在AD上任一坐标为x的

25、点x处与液面的距离为 xF .那么xF二xsin,压力元素为dP =vxsin ： adx= avsin = xdx.所以丄勺1P =¥ - avsin : xdx abv2h bsin :.sin a2-WxHio-ii10米处，求球3. 直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下 面上所受的静压力解 取x轴和y轴如图10-11所示，当 x很小时，球面从x到x X的一层 F上各点的压强等于水的比重1吨/米2乘以深度，而 F上各点压强x 吨/米2.F 的面积-2 - ,32 - x -102-：x 米 2所以在AF上所受的压力 P x 2-32 -x -102.：x 吨从而dP =2

26、二x ,32 -x-102dx,于是P =2二 x 32 -x -102dx =90二2吨=1108.35kN.$ 7即球面上所受的压力为90二2 吨=1108.35 kN .4.设在坐标轴的原点有一质量为 m的质点,在区间la,a - l 1 a 0上有一质量为M的均匀细杆试求质点与细杆之间的万有引 力解 建立如图10-12所示坐标系，a M 'a+Z *E10-12一小段的细杆看作一质点，其质量为取x为积分变量，那么x三la, a -1 1.在la, a l上取区间X,x dx 1那么这 M .dxl '从而df 二k m ¥dxmMx2l-12dx.x所以a 1

27、 k m M 1 a1 kmM2dx = x a(a l)a ldf.k m Ma卅2dx = lx2l5.设有两条各长为l的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离C, 每根细杆的质量为 M.试求它们之间的万有引力提示:在第4题的基 础上再作一次积分解 建立如图10-13所示坐标系，在两个均匀细杆上分别取x , dx ' 和 x,x dx两小段，设其质量都集中在点x和x上.2I0+cnIl 啊 8A£10-13M .k Mdx Mdx那么 d- 一1kM2dx dx(X -x"2l2 (x x")2所以第二个细杆对 x ； x dx】的引力c 七I. _ kM

28、 2dx"df 二 df c十l2c 2l dxc I (x _ X)22kM dx 1(一l c I -x那么第二个细杆对第一细杆引力kM 2if df dx'二n-)dx'c 2I -xI22厂 I-1n(c I -x) in(c 2I -x) , -kM In- °I2o I2 c(c 2I)6.设有半径为r的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为、：，在圆心 处有一单位正电荷试求它们之间作用力的大小解 建立如图10-14所示坐标系，相应于小区间I上的微弧长ds二rd二，把它看作一个质点力微元l2其中由于kM2df 二 k，它对圆心处的单位正电荷的作用k为常

29、数.由密度均匀和对称性知dfy 二 df sin v 二:所求作用力分力fx =0,下求fyk sin Qr所以S10-15图10-14即引力f的大小为经7. 一个半球形直径为20米的容器内盛满了水试问把水抽尽 需作多少功？解 建立如图10-15所示坐标系，以球心为坐标原点，垂直向下为x 轴的正方向，水平向右为y轴的正方向，把容器中的深度为 x到x Ax 的一层水量 T抽出容器所作功为 W 那么W=x，AT的体积水的比重而.汀的体积、二102 -x2 . ：x米3.水的比重为1000公斤/米3,所以W =1000x 102 -x2 ：x公斤米，dW =1000 二x 102 -x2dx公斤米1

30、0W = 0 1000二x 102 -x2dx =25二 105公斤米8. 长10米的铁索下垂于矿井中，铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功？解 取x轴正向为铁索的下垂方向，当Ax很小时，把x到x+Ax 段铁索提出地面所作的功为W : x 8 x公斤米，即dW =8xdx公斤米10于是 W = Q 8xdx = 4 0 0公斤米=3920千焦39. 一物体在某介质中按 x=ct作直线运动，介质的阻力与速度dx密的平方成正比计算物体由X =0移至X二a时克服介质阻力所作dt的功解 建立如图10-16所示坐标系，由题设条件知物体所受阻力0 x2签，那么在小区间x，x dx 1上物体

31、克服阻力所作的功：dW 二 fdx 二 kidt丿3dx22因为，x = ct .所以， 3ct , dx = 3ct dt. dt是 dW =k 9c2t4 3ct2dt =27c3kt6dt .i当 x =0时,t =0;当 x =a时,t = a 1 2丿所以W f dW - i fdx = i27c3kt6dtJ 0J 0J 07227 = 27ka3c3.710. 半径为r的球体沉入水中，其比重与水相同试问将球体从中 捞出需作多少功？解建立如图10-17所示坐标系，将球从水中取出需作的功，相应于将-r,r 1上许多薄片都上提2r的高度时需作功之和在x处厚度为dx的一小薄片，它由A提升

32、到B时,在水中行程为r x,在水上行程为 2r(r x) =rx .由题得知，球的比重与水的比重相同，因此薄片所受浮力与重力合 为零因此，此薄片在水中由 A上升到水面时，提升力为0,不作功，由水 面再上升到B时,克服重力作功dW = F S = mg(r -X)= (r -x) 1 二y2(x)dxg2 2=(r - x)二g(r - x )dxr44从而W = dW gr.3* § 6定积分的近似计算2 dx1.分别用梯形法和抛物线法近似计算(将积分区间十1 x 等分).解(1) 梯形法2dx13101010& - +* + I1 x1041112190.1 (0.750.

33、9090.8330.7690.7140.6670.625 0.538 0.556 0.526)=0.1 (0.75 6.187) =0.6938.(2)抛物线法2仝，丄1丄4空召 22 20.2.201 x 60 IL 22123392224381.54 6.929 2 6.187 160:0.6931 .2.用抛物线法近似计算：Sindx 分别将积分区间二等分、'0 x 等分、六等分.解n =2时，inx兀L 丄2222 2f x 拓一 1+4 + +2 氐 1.8524.L0x12兀3 J兀兀24n =4 时，二sinx , dx'0 x1宀二|- ' 883 二

34、85 二 87 二sinsinsin3 二 85 二 87 二 81.8522.2 2 2+ JI 31n =6 时,二 sinx*二彳，12 .二 2 212 . 5 二12 . 7二dx 14 sinsinsin -0 x 36 |L * ；，：12 二 5-127 -12 m上sin£边？ W Z畧3二 211二 12 二 2 二 二4 二5 二锵 1.8517.3.图10-18所示为河道某一截面图，试由测得数据用抛物线法求 截面面积£10-16解由公式：bb - a If(x)dxy° y2n 4(% y3 亠亠 y2nJ)a6n2(y2 +y4 + +y2