导线网条件平差计算

1、§ 3-3导线网条件平差计算2学时导线网，包括单一附合导线、 单一闭合导线和结点导线网， 是目前较为常用的控制测量 布设方式之一，其观测值有长度观测值和角度观测值。 在本节中我们主要讨论单一导线的平 差计算，先讨论单一附合导线问题。一单一附合导线条件平差A如图3-6所示，在这个导线中有四个点、n -1个未知点、n+1个水平角观测值和 n条边长观测值，总观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即需要两个观测值；要确定全部n -1个未知点，那么需观测 n -1个导线边和n -1个水平角，即必要观测值数t = 2n -2 ;那么多余观测个数

2、 r = (2n +1) -t = 3。也就是说，在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。设AB边方位角值为 Tab = To, CD边方位角值为 Tcd、计算值为 口+仆B点坐标的值为(XB , yB )或者(X1, y1), C点坐标的值为(XC,yC )、计算值为(Xn+1 , yn+1)。三 个条件中，有一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平差值应等于其值，即(3-3-1)纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标平差值应与终点的坐标值相等，即卩(3-3-2)Xn 1 _Xc =0(3-3-

3、3)1方位角附合条件式那么(3-3-1)式可写为T?+ =To +f?F± (n +1)18O°=To+Bi +vp严土(n+1) 180=T?+Tcd =To +氏 +vrF±( n+1) 18Ocd =0整理得v ： ： 1 -Wt =0其中Wt = -(To LT -(n 1) 180 -Tcd)2纵坐标附合条件式终点C坐标平差值表示为貳卄=Xb +砂；而第i边的坐标增量为承二 Si cos-?式中Si = S vsiT?二To ?j1 -i 180 二To Lj v - 1 _i 180 珂v1 ：j1 To _i 180 二v； Ti其中Ti是第i边的近

4、似坐标方位角T =片1 +T。土i 180=那么(3-3-6)式可表示为购=(Si +vs)cos(v1 +Ti)上式按泰勒级数展开，取至一次项，得购=细+cosT vs 兽邛1其中 徴=s cosTi，为由观测值计算出的近似坐标增量。(3-3-4)(3-3-5)(3-3-6)(3-3-7)(3-3-8)(3-3-8)式代入(3-3-5)式，并按vb合并同类项得_nyi)VXC =Xb. ：Xi cosTi Vs -理讯 打1= Xn 1 cosTi Vs：-1上式代入3-3-2 式，整理得1 nCOST： VsJ：、.(yn - yi)V i 1 Xn .1 - Xc = 0上式即为纵坐标条

5、件方程式，也可写为统一形式:cosT Vs ； ( yn 1_ yi )v i 1- Wx = 0(3-3-9)Wx = -(Xn 1 - Xc)(3-3-10)3横坐标附合条件式可以仿照纵坐标条件推导过程请同学们自己具体推导一下，写出横坐标条件式n 1 nsin T Vs：(x： 1 - xjv; ； Wy 二 0(3-3-11)Wy = (yn 1 -yc)(3-3-12)为使计算方便，保证精度，在实际运算中，S、x、y常以米为单位,w、Vs、V®以厘米为单位，那么3-3-9 和3-3-11写为1(3-3-13)(3-3-14)CosT VSi1n206(yn1yi)V"

6、;nf01sinTi vs265(Xn1Xi)V"nWy"综上所述，单一附合导线的平差计算的根本程序是：1计算各边近似方位角Ti和各点的近似坐标增量值AXi、Ayi;2参照3-3-4写出方位角条件式， 参照3-3-9、3-3-10、3-3-11 、3-3-12 或者3-3-13 、 3-3-14写出纵横坐标条件方程式;3按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。单一闭合导线条件平差单一闭合导线是单一附合导线的特殊情况，只要将图3-6中的B和C、A和D分别重合, 就可得到图3-7所示的闭合导线。图中有一个点和 n-1个待定点，观测了 n个转折角和n+1条导线边。

7、为了定向，还 观测了一个连接角 目。不难分析，闭合导线中也只有三个多余观测值，产生三个条件式。由于没有多余起算数据，因此没有附合条件，只有闭合条件，这一点是与单一附合导线不同的。1多边形内角和闭合条件由于导线网构成了多边形，其n+1个转折角的平差值应满足多边形内角和条件?21 - (n -2) 180 = 0写成转折角改正数条件方程形式(3-3-15)(3-3-16)v 訂；1 - W =0其中(3-3-17) - - i2 1 -(n -2) 1802坐标增量闭合条件从B点开始，依次计算每一条边的纵横坐标增量的平差值，其总和应分别满足如下关 系:(3-3-18)(3-3-19)参照单一附合导

8、线纵横坐标附合条件推导方法，可以得出坐标闭合条件的改正数条件方 程式:cosTi vs；十一吕(yn十一yjvpj； Wx =0(3-3-20)n1；sinTi Vsj1. (x； 1 xjv - h Wy =0(3-3-21)Wx =(Xn i Xb)(3-3-22)Wy 二如 1 -Vb)(3-3-23)如果S、x、y以米为单位,vs、叶以厘米为单位，那么3-3-20 和3-3-21两式可写为:COSTj Vs：206k(yn1yi)V"nWx"(3-3-24)(3-3-25)sin 人 vs；三.边角权确实定及单位权中误差导线网中，既有角度又有边长， 两者的量纲不同，

9、观测精度一般情况下也不相等。在依据最小二乘法进行平差时，应合理地确定边角权之间的关系。为统一确定角度和边长观测值的权，可以采用以下方法。取角度观测值的权及中误差为：Pb ? ；取边长观测值的权及中误差为：Ps、；：?s ；取常数；？0，那么角度及边长观测值的权为般情况下，可以认为同一导线网中测角精度相等,但是由于导线边长变化较大使得测边精度不等。可以取；？0二那么有(3-3-26)式中；？一：以秒为单位，Pb无量纲。在实际计算边长的权时，为使边长观测值的权与角度观测值的权相差不至于过大，应合理选取测边中误差的单位，如果?s的单位取为厘米，那么PS的量纲为秒2/厘米2；而在平差计算中，?s的单位

10、与改正数 VS的单位要一致，均以厘米为单位。按此方法确定的权，在平差之后还应进行统计假设检验。检验通过后才能说明其合理性,否那么，应作修正再进行平差和统计假设检验。由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误差应按下式计算:PsVsVsp yy r(3-3-27)如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中误差作为单位权中误差即mo = m3,所以在按3-3-27式算出的单位权中误差的同时，实际上也就计算出了测角中误差。测边中误差可按下式计算:(3-3-28)四例题如图3-8所示，为一四等附合导线，测角中误差? = ± 2.5,测边所用测距仪的标称精度公式?s= 5mm+5ppm Dk

11、m。数据和观测值见表 3-2。试按条件平差法对此导线进行平 差，并评定2号点的点位精度。表3-2坐标m方位角B (187396.252,29505530.009)Tab= 161?44 ' 07.2 C (184817.605,29509341.482)Tcd = 249?30 ' 27.9 导线边长观测值m转折角度观测值S1 = 1474.4443 = 85?30 '21.1 S2 = 1424.717也=254?32 '32.2 S3 = 1749.3223 = 131?04 '33.3 S = 1950.4123 = 272?20 '20.

12、2 3 = 244?18 '30.0 解：未知导线点个数n -1 = 3，导线边数n = 4,观测角个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表 3-2中表3-3近似坐标(m)近似方位角2 (187966.645,29506889.655)T1 = 67? 14 '28.3 3 (186847.276,29507771.035)T2= 141? 47'00.5 4 (186760.011 , 29509518.179)T3 = 92? 51'33.8 5 (184817.621 , 29509341.465)T4= 185? 11

13、9;54.0 T5 = 249? 30'24.0 (1) 组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式改正数条件方程闭合差项:w1 二 _(T5 - Tcd )=3.9 W2 = _(X4 - Xc )=-1.6 cmW3 - 3 -yc) =:1.7 cm改正数条件方程v；h -w04|4cosTj Vshg -丫" -w2 =0S 2062.65414sinTi Vs(X5 - xjv'h W3 = 02062.65HV 目 + Vp2 + V 目 + V 餅 + V®5 3.9 = 00.3868Vsi - 0.7857Vs2 - 0.0499Vs 3

14、-0.9959Vs4 -1.8479Vpi -1.1887V 化-0.7614VW + 0.0857V pt + 1.6 = 00.9221Vsi +0.6186Vs 2 + 0.9988Vs 3 - 0.0906Vs4 - 1.2502Vp1 -.5267Vp2-0.9840V33 -0.9417Vp4 -1.7 = 0 广1111rA= 0.3868 -0.7857 -0.0499 -0.9959 -1.8479 -1.1887 -0.7614 0.0857p9221 0.61860.9988 -0.0906 -1.2502 1.5267 0.9840 -0.9417W=3.9-1.61.

15、7 T第3点平差后坐标函数式X3 = % + 也£ + 也X2 = xi + ? cosT? + S2 cosT?3 = yr + 肉、+ 心y?2 = yi + § si n T? + s2 sin T?全微分得dX3 =cosT?ds；2 丄(y3 - yjd?；1d% =sin T?d?2 十帀(X3 xjd弭2fx3 = 0.3868-.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 Tfy3 = 0.92210.6186 0 0 -0.2662 -0.5427 0 0 0 T(2) 确定边角观测值的权设单位权中误差込= -2.5"；根据提供的标

16、称精度公式J?D = 5 mm + 5ppm?Dkm计算测边中误差根据(3-3-26)式，测角观测值的权为P 3 = 1；为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大,在计算测边观测值权时， 取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米(cm)。Pd =；?；(s2 /m2)那么可得观测值的权阵为4.14.33.33111(3) 组成法方程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得K =N °W =(APAT)W =3.2440 1.0599 3.4951T1 tTV P A1 K =10.6861 0.6965 1.0739 0.2463 0.8328 -0.8321 0.6118 0.0425 3.2440f ?、广1474.460、1424.7311749.3421950.417=85 3022.4 “p2254 32*30.7"f?3131 =04 34.6 °p4272 2021.5"041836.5"丿进一步