应用概率统计课程思考与问题

1、应用概率统计课程思考与问题第1章随机事件与概率问题与思考1.事件的和或者差的运算的等式两端一般是不能“移项的，例如由A B = C推不出A二C -B由A - B二D推不出A二D B但是，增加一些条件便可以“移项了，有下述结果：1假设 AB，且 A B=C，那么 A二C-B ；2假设 A二 B，且 A-B=D，那么 A = D B。利用事件的图示表示法可以证明上述结果。2 .计算古典概率时，有些初学者常常会问：如果需要用排列或组合计算时，在 什么情况下用排列，在什么情况下用组合？分析：对于这个问题，要在搞清题意的根底上，根据解题的简洁与方便或者 解题者的习惯，选择适合解决该问题的试验及样本，由此

2、决定采用排列或组合来 计算。对于这个问题，要在搞清题意的根底上，根据解题的简洁与方便或者解题者 的习惯，选择适合解决问题的试验及样本空间，由此决定采用排列或组合来计算。例如：10个产品中有6个正品4个次品，现从中任取2个，求以下事件的 概率：1 A :这2个产品都是次品；2 B :这2个产品1个是次品，1个是 正品；3 C :第一次取到的产品是正品，第二次取到的产品是正品。解：对于这个例子，有以下说明：1在没有特别指明的情况下，一般认为 产品都是不编号的，在此例中可以认为编号 1至6的产品为正品，7至10产品 为次品。2在概率中，“任意抽取2个与“随机地不放回抽取2个含义相同，对 于“任意抽取

3、2个有两种解释，一是每次随机地抽取1个记录其编号后不放回， 再取下一个，这样取了 2次共取了 2个产品，在这种情况下任取 2个产品是有 先后次序的；二是随机地不放回取 2个产品，在这种情况下任取 2个产品是没 有先后次序的。答：1解法一按照第一种情况，任取 2个产品是有顺序的，根本领件 总数m = A： =90 ， A的根本领件为kj=A4=12 ，于是 A的概率为 PA上 £。n 15解法二 按照第二种情况，任取 2个产品是不计顺序的，根本领件总数k 2n2二 =45，A的根本领件k2二C： =6，于是A的概率为PA 2n215解法二按照第二种情况，任取2个产品是不计顺序的，根本领

4、件总数2解法一按照第一种情况，任取 2个产品是有顺序的，根本领件总数门3 二 A0 二 90，B的根本领件为k3 = a6a4 + A4A6 =48，于是B的概率为P(B)8。压15n4 =c10 =45 ,B的根本领件为k4 =C；C4 =24，于是B的概率为PB -k =。 n 4153 有题意知，这是需要考虑顺序，根本领件总数 g二A： =90，C的根本 事件为k5 = A4A6 =24，于是C的概率为PC =4。门515由上述解法可见，对于1 、2用排列或组合都行，对于3就只能用排列了3 .一些初学者有这样的想法：既然在概率的公理化定义中规定了概率具有完全 可加性，那么概率的有限可加性

5、就自然成立了，何必证明呢？这种想法对吗？答：这种想法不对。有这种想法的初学者，他在推理过程中是利用了认为显 然成立的一个命题：“一个结论对可列无穷多个的情形成立，对有限多个的情形也 成立。实际上，这个命题是不对的。我们看个例子来说明。自然数1,2,3,？是可列无穷多个数组成的集，它存在一个真子集如正偶数集2,4,6，？与自然数本身一一对应。实际上，我们还可以得到更一般的结论：“可列无穷多个数组成的集，至少存在它的一个真子集与其一一对应。而有限多 个数组成的集，它的任何一个真子集都不能与其一一对应。所以，有限多个数组成的集不具有可列无穷多个数组成的集的上述性质。这个例子说明：有些结论对 可列无穷

6、多个的情形成立，对有限多个的情形未必成立。因此，虽然根据概率的 公理化定义知道概率具有完全可加性，但是概率具有有限可加性这条性质还是需 要证明的。4 .有些初学者容易混淆条件概率 pAb或者PB|A与的区别，认为PAb = PAB ?答：这种认为不对，我们通过古典概率和几何概率的两个例子来说明 p Ab、pb|a 和 pAb 的区别。例1 一个班级有35个学生，他们组成的情况如下表:籍贯性别北京籍非北京籍总计男81523女21012总计102535从这个班中随机地任选一名学生，设 A:男学生，B:北京籍。有古典概率知：随 机地任选一名学生既是男学生又是北京籍的概率为 P(AB) 8。随机地任选

7、一35名学生，在他是北京籍的条件下他又是男学生的概率为P AB 8。随机10地任选一名学生，在他是男学生的条件下他又是北京籍的概率为P B A 8。23例2设S为平面上的一个圆形区域，A、B为S中两个相交的正方形，如图示。sAB在以S为样本空间的几何概率中，正方形A、正方形B及这两个正方形相交 的局部是S中的三个事件，分别用A、B及AB表示。由几何概率和条件概率的定义知:B的面积P(BAs的面积，A的面积AB的面积PA的面积，P(ABA s的面积，P(AB)P(AB) AB 的面积-P(B ) 一 B的面积，PBA) p(ab)ab的面积-P(A) 一 A的面积，这说明P(AB)是AB的面积与

8、S的面积的比，P(AB)是AB的面积与B的面积 的比，P(B A)是AB的面积与A的面积的比。第2章 随机变量及其分布问题与思考1 以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？答：否。定义中要求对R, ：X( )< ，即PX乞x?存在。由于一般情况下这些单值实函数均能满足上述条件，故不再引入数学上更深的概念。2 非离散型随机变量就一定是连续随机变量吗?答：否。连续型随机变量是非离散型随机变量中最常见的一种。我们可以举出既非离散型又非连续型的随机变量设随机变量X U 0,2 1,令g(x),0< x<1;1,1<x<2.那么随机变量Y =g(x)既非离散型又非连

9、续型事实上，由丫二g(X)的定义可知 Y只在0,11上取值，于是当八0时,FY(y) =0;y -1 时，FY(y) =1 ;当 0 乞 y ： 1 时，FY(y)=P(g(X2八PX 曲专于是Q y v 0;FY(y)二 y,。曲门；2i,y -1.1首先丫取单点1的概率P(Y =1) = Fy(1) -Fy(1 -0) = 2 = 0，故Y不是连续型随机变量。其次其分布函数不是阶梯形函数，故丫也不是离散型随机变量。3设X为连续型随机变量，而g(x)为连续函数，丫二g(X)还是连续型随机变量吗？答：未必是连续型随机变量。反例可以参考上述例子4 不同的随机变量其分布函数可能相同吗？答：完全可能

10、。我们已经知道分布函数很好地刻画了随机变量取值的概率，从而对随机变量的研究可转化为对其分布函数的研究。但是不同的随机变量也可 能有相同的分布函数。设一几何概型的样本空间为 s=b,1】，随机变量定义如下：1,0 5 V1；2 X1B = X 2B = «11,兰 B < 1 . 2那么X1 = X2，但其分布函数相同，均为由此可知即使是同 随机变量。5 连续型随机变量答：否。虽然正 分布、指数分布的密第3章多维随机变量及其分布问题与思考1假设X与Y独立同分布，可否认为X =¥ ?答：否。举个简单例子。1设X与Y独立且都服从0-1分布，p二-，那么X,Y的联合分布如下:

11、21 11于是 P(X =Y) =P(X =1,Y - -1) P(X - -1,Y =1)二4 422 联合密度函数连续是否能推出边缘密度函数也连续?答：否。外表来看，联合密度函数经积分后得到边缘密度函数，似乎边缘密度函数的性质更优于联合密度函数，其实未必。例如f (x, y)二2, x 0;:y :亠-不难证明，f (x, y)在整个平面上连续，而边缘密度函数-Xce , x 00心0.在x = 0处不连续。3 对二维离散型随机变量，可定义为其分量均为一维离散型随机变量，那么对 二维连续型随机变量可否也类似定义其分量均为一维连续型随机变量？答：否。无论是一维还是多维，在定义连续型随机变量时

12、，其本质是它有概率密x度函数，即存在非负函数f满足概率密度函数的根本性质且 P(X乞X)二.f(t)dt，对于多维同样成立。在概率论理论上，将连续型随机变量定义为：存在密度函数 的随机变量。至于它可以在同一区间或区域内连续取值倒不是本质的，甚至也是不明确的。与多维离散型随机变量的定义不同，多维连续型随机变量不能简单定 义为：其分量均为一维连续型随机变量的那种随机变量。我们举反例如下：设乙U0,1，乙二Z1，那么随机变量乙,Z2的两个分量乙,Z2均为连续型随机变量，但是 Zi ,Z2却只能在单位正方形的对角线上取值，于是不可能存在-bcrbof(x,y)满足.f(x,y)dxdy=1，即 乙応

13、不可能存在概率密度函数，于是Zi,Z2不是二维连续型随机变量。元函数f(x,y)2 2x + y2 2x y ： 2;是一个密度函数吗F(x, y)=丿1， X + v >T0,其他；是一个分布函数吗?0,其他答：f(x, y)为密度函数必须具有下述性质：-bote(1) f (x,y) - 0 ; (2)I I f (x, y)dxdy = 1。而此处I if(x,y)dxdyf (x, y)dxdy = 2一 - 1-:- :x2 寸2故f(x,y)不是一个密度函数。作为一个二元分布函数，应满足矩形不等式, 即对于 _为：:X2, yi : y2有F(X2,y2)-F(xi,y2)-

14、F(X2,yi) F(xi,yj 一01 i对于此处的F(x, y)，取捲,x2 = 1, y1, y2 =1，贝U32111 1F(1,1)F(;,1)F(1,;) F(;,;)=仁 03 23 2于是此处F(x,y)不是一个分布函数。5. 假设联合密度函数不连续，其边缘密度函数可能连续吗？答：可能。设g(x)为任意一个连续的密度函数，满足 g(0) 0, g(-x) = g(x)。我们定义f (x, y) = *2g(x)g(y),xy>0;0, xy WO.那么显然有(1 )f(x,y)0;( 2)Jf(x,y)dxdy= 2g(x)g(y)dxdy =1。所以 f (x,y)-:

15、-:xy 0为一个概率密度函数，这里f (x, y)在点(0，0 )处不连续，而边缘密度函数g(x),g(y)均连续。6 联合分布为均匀分布是否能得到其边缘分布也是均匀分布？答：否。设D为x2 y2 <r2(r 0)所表示的区域，随机变量(X,Y)的联合密度为f 11_f(x, y)i D的面积二町2 ,(x,y) J D；0,其他.0, x二 r> r.于是随机变量(X,Y)服从D上的均匀分布，但1,x0,1 ；0,其他.g(x)H(0,1 )0,其他.不是均匀分布。7设X,Y为二维随机变量，对任意的实数 x,y ,P(X x,Y y) = 1 _ P(X _ x,Y _ y)吗

16、？答：不对。因为_ x,Y _ y与x,Y - y：不是对立事件。8两个随机变量的密度函数不同，它们的分布函数可能相同吗? 答：可能。如显然f(x) =g(x)，但对应的分布函数却相同，均为Qx £0；F(x)二 x,0 岂 x : 1;1,x _1.9 .正态随机变量的和仍为正态随机变量吗？答：我们知道，独立的正态随机变量之和仍为正态变量， 但对不独立的正态随机 变量之和就未必是正态随机变量了。如1设X1 N (0,1)，Y是参数为P = 2的0-1分布。又设X1与Y独立。令*1,当Y=0时；-X1，当Y =1时.分别求X2,X1 X2的分布。P(X2 乞 x) = P(X2 乞

17、x,Y =0) P(X2 乞 X,Y =1)二 P(X1 x)丄 P(Xj 空 x)丄2 2=1 C：(x)1 G(x) =(x)即X2 (0,1)。但X! X2不是正态随机变量。事实上,P(X1 X 0)= P(Y =1)= - - 02于是X1 X2是非连续型随机变量，更谈不上时正态变量了。用类似方法，可求得 X! X2的分布函数为,z ： 0;Fz (z)二第4章随机变量的数字特征问题与思考1 离散型随机变量X的数学期望的定义中为什么要求级数、Xi Pi绝对收敛？i答：离散型随机变量X (其分布律为Pi二pX二Xili =1,2,3/ )的数学期望假设 存在，那么它是一串数&汕勺

18、加权平均xiPi ,这个加权平均值应该是唯一的，即i改变这一串数中的某些数的求和次序时，其加权平均值不变。在数学上，这就等价于要求级数V xi pi绝对收敛。i2 连续型随机变量X的数学期望的定义中为什么要求积分： xf(x)绝对收敛？答：连续型随机变量X的数学期望是通过离散化的方法，由离散型的随机变量 的数学期望的极限而引入的，离散型随机变量的数学期望存在，要求级数绝对收 敛，这就等于连续型随机变量 X的数学期望存在，要求积分：xf(x)绝对收敛3 .数学期望不存在的例子答：(1)离散型随机变量X!的分布律为PX!=(-)*2k、iR =2,k =1,2,3,1(2) 连续型随机变量 X 的

19、概率密度函数为f(x) ，-: ：x： ： 兀(1 + x )称X2为服从柯西分布或自由度为1的t分布。验证它们的数学期望不存在。2k 1匸2k答: (1)因为送(1k 二=瓦-匚 1 7乙，所以，E X1不存在虽然oO1kk =12kk12k八-1 k1n2。心k(2)因为dx丄0x二 _一：1x21兀1 +x2ln 1x2 °- ln 1x22 2 二 01 x , 2dx： 01 x24 .数学期望存在、方差不存在的例子。3 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x 2 x2 一2厂3 x ：:，称X服从自由度为2的t分布，验证E(X)存在，D(X)不存在。答：当 XT 代或

20、XT 处时都有 x(2+x2 )2 =0 ； !， x2(2+x2 )2 =0 1 |，由 IX丿IX丿oO3昭3广义积分的比拟判别法知，f x(2 + x2尸dx收敛，J x2(2 +x2尸dx发散。故E(X)2存在，E(X )不存在，从而D(X)不存在。另外，易知E(X)为零。5 随机变量X,Y相互独立，但 *不存在的例子。答：设X,Y均服从自由度为2的t分布，且X,Y相互独立，那么CovX,Y =E XY -E X E Y =0但D(X)和D(Y)均不存在，所以，xy不存在，更谈不上，xy=0 了。这个例子告 诉我们(1)X,Y相互独立，推不出X,Y不相关；(2)CovX,Y =0也推不

21、出X,Y 不相关。6. 随机变量X,Y独立，但CovX,Y不存在的例子。答：设X(常数)，丫服从自由度为1的t分布，那么X,Y相互独立，由于E Y 不存在，所以Cov X,Y也不存在。这个例子告诉我们：那么 X,Y相互独立，但是Cov X,Y可以不存在，更谈不 上 CovX,Y =0 了。根据例5和例6，我们得出结论：(1) 假设X,Y相互独立，且 *存在，那么:?xy =0，即X,Y不相关；(2) 假设X,Y相互独立，且CovX,Y存在，那么CovX,Y =0 ;(3) 假设Cov X,Y =0，且:;x存在，那么Ly=0，即X,Y不相关。X,Y不相 关第5章大数定律与中心极限定理问题与思考

22、1 .伯努利大数定律的理论意义是什么？答：伯努利大数定律告诉我们，当独立重复试验的次数n很大时，事件A发生的 频率m接近它的概率p是一个实际上的必然事件。这从理论上证明了事件的频n率稳定于它的概率，并为用试验的频率估计事件的概率提供了依据。2 .什么是“小概率原理？它的理论依据是什么？答：小概率原理的含义是小概率事件 (即概率接近于零的事件) 在一次试验中可以认为它是几乎不发生的。小概率原理也称为“实际推断原理。3 .辛欣大数定律在实际应用中的指导意义是什么？答：在实际工作中，人们为了提高某物理量的测量精度， 往往是进行屡次独立重 复测量，然后取算术平均值，作为该物理量的值，这种做法的理论依据

23、就是辛欣 大数定律，其原理如下：设某物理量的真值为J，它的测量值为随机变量 X，如果测量没有系统误差的影响，可以认为 E(X)-。对该物理量进行n次独立 重复试验，第i次测量的结果为Xi，那么X-X2,，Xn相互独立且同X的分布。根、 1 n , 一据辛欣大数定律，当n很大时，' Xi接近)是一个实际上的必然事件。n i#(i n、 i如果D(X )=<r2存在，那么有D 瓦Xi =-a2。这说明：用n次独立重复试in y 丿 n验测量结果的算术平均值作为真值的近似值与用一次测量的结果作为真值的近似值，相比前者的精度要高。第6章 数理统计的根本概念问题与思考1 .设随机变量Xi服

24、从正态分布N叫，匚2 , i =1,2,3,n ,试问假设XX2,Xn可 以看作一组样本，那么它应满足什么条件答：我们所说的样本是简单随机样本，它必须满足二个条件： Xi,X2,，Xn相互 独立且与总体同分布，故此题中 Xi,X2 / ,Xn应相互独立，且宀,，7全相等才可以看作一组样本2 设总体分布服从正态分布NL,；2，“样本方差S2服从2分布的说法对吗?答：不对。由费歇定理可知，对正态总体NCf2而言，n!S服从自由度为CJn-1的2分布，其分布密度函数是(y, n-1)刊2 2j1. a_y y 2 e 2,y 020,0记Y = n _S - SCT2-百丫，Y2n一1，用求随机变量

25、函数的概率分布方法，可得S2的分布密度函数:f(x)二1n-1Lb2W TQx兰0n-12 X2- ,x 03设总体X分布服从正态分布N(.二2) , Xi,X2/ ,Xn是它的样本n .1，试问下述结论是否正确？并说明理由。Xr(1)=n-1ntn-1(2)(X)n tn-X)2答：(1)正确；(2)不正确。其理由如下:(1)由于总体XN(*；2)，由费歇定理可知' Xi -X匚2匚2=W 2(n-1):X与S2相互独立，故有U和W相互独立，由t分布定义可知W/(n -1)X 一 *(n_1 n t(n _1)i =1(2)由于总体XN(,2)，知Xi N(T2)，即丫 二'

26、N(0,1),i =1,2, ,n由X-X2, ,Xn相互独立，知丫2, ,Y相互独立，因此，由2分布定义可知2(n)X 卩又由费歇定理可知u二 N 0,1，但是不能由此就得W/n 服从 t(n)，这是因为U和W不独立。2 2例如，n=2 时，U = 丫丫,W =丫12+丫22，因为 丫1 +丫2 之V2Yj 丫22 -馆+丫2 前 -|，即W >U< 2丿可以证明U和W不独立。事实上，假设U和W独立，那么应该有PU 1,W : 1 二 P(U :：: 1)P(W : 1)但是由于W _U 2，上式左边为零，但右边不为零，所以上式不成立，故 U和W不独立。同理可证n取任何大于1的正

27、整数时，U和W不独立。第7章参数估计问题与思考1 矩估计是否具有唯一性？答：在一般情况下，矩估计不是唯一的。由于在求矩估计的过程中，选取哪些样本来计算总体的矩有一定的随意性。因而矩估计不具有为一行。例如：设总体X服从参数为的泊松分布，是未知参数，X1,X2 / ,Xn是来自该总体的样本。一方面，由于E X ,又E(XH X，所以的矩估计是 二A1 n /_另外，由于D(X)，按照矩估计可有D(X)二M2= a Xj -X ，这样得 n y I 丿到又一个矩估计2 举例说明最大似然估计不具有唯一性。答：例如，设总体X的概率密度函数为10-1兰X兰日+ f(x,W 220,其他®是未知参

28、数(X1,X2,，Xn )是来自该总体的样本值。其似然函数为<e +70,其他。此题无法通过解似然函数方程的方法求解 L的最大值点。要用最大似然估计定义来求解。要L最大，应满足2 i丄丄即推出m axxi1旦maxxi1兰日兰min Xi <0 +丄21空-所以，的最大似然估计二应满足上述不等式，而且凡满足上述不等式的估计量二都可作为二的最大似然估计，如=11= min xi +2 max xii1c<n |J -1A7123max xi + min xirc<n1 <<n41 _t_n-1等都是二的最大似然估计3 .似然方程假设有解，其解是否总是唯一的？假

29、设不是唯一的，其解是否都是未知参数的最大似然估计？答：似然方程假设有解，其解也不一定是唯一的，其解也不一定都是未知参数的最 大似然估计。所以通过解似然方程的方法求最大似然估计时，需要验证似然方程 的解是否是似然函数的最大值点。4 .试冋无偏估计是否总是存在的?答：无偏估计有时是不存在的。例如:设总体X服从参数为p的0-1分布，人是取自该总体的一个样本，可以证明p2不存在无偏估计量。因为X01p q p其中 0 ： p : 1 未知，q =1- p由于Xi的分布也是参数为p的0-1分布，对于参数p2，假设存在无偏估计g(XJ， 那么它必须满足等式：E g "J = p2即对一切 0 ：

30、 p ： 1，都有 g 1 p g 0 1 _ pi；= p2。由于上式左边是未知参数p的一次函数，而右边是p的二次函数，因此，对于0 ： p ：1该等式不可能皆成立。所以，参数 p2不存在无偏估计。5 从正态总体N(j22)中抽取容量为9的样本，由样本计算得x=15，于是得 到的置信度为0.90的置信区间13.9,16.1】，这一结果说明该区间包含未知参数J的概率为0.90。这种说法对吗？ 答：不对。因为区间13.9，16.1的两个端点是常数，而虽然未知，但它 是客观存在的某个常数，不是随机变量。而区间 13.9，16.1与的关系只能是 两种情况，要么这个区间包含 J，要么不包含J。不能说0

31、.90是这个特定区间 13.9，16.1包含参数的概率。第8章假设检验问题与思考1.假设检验的根本思想和根本概念。答：假设检验又称统计假设检验。“假设是指根据经验及知识或者问题的目的和 要求，提出有关总体分布的一个命题。“假设是否正确，需要判断。禾I用从该总 体中抽取的样本，用数理统计方法判断假设是否正确，称为检验。在数理统计中，把需要检验的假设称为原假设或者零假设，记作H。：。 与原假设对立的假设，称为对立假设或者备择假设，记作出：。约定备择 假设是零假设对立面的全体。故可以只写出原假设H。：。如果H。可以用有限 个实参数来描述，那么称为参数假设，否那么称为非参数假设。如果 H。或Hi 只

32、包含一个分布，那么称Ho 或Hi 为简单假设，否那么为复合假设。怎样根据样本值对原假设 H。进行检验呢？这要有一个检验法。所谓检验法 就是对所有可能的样本值Xi,X2,，Xn n固定组成的集合S的一个划分：S = 3 S2,Si S2 =当样本值Xi,X2/ ,Xn Si时，拒绝Ho ；当Xi,X2/ ,Xn S2时，接受H°。 称Si为该检验的拒绝域，S2为接受域。每一个检验法对应一个检验域。反之， 任给定S的一个子集W，那么存在唯一的检验法以它为拒绝域。 所以，常把检验法 与拒绝域等同起来。假设检验的思想是具有概率性质的反证法。2 .假设检验的一般步骤。答：1根据实际情况提出检验假设 Ho和备择假设Hi ; 2选择检验统计量Z Xi,X2,，Xn ,并且在Ho成立的条件下统计量的分布；3对于给定的显著水平: 1 ,根据检验统计量的分布，查出检验 H。的临界值，从而推出Ho的拒绝域Wo ；4根据样本值做出判断：当样本值属于H。的拒绝域Wo时, 那么拒绝H。；当样本值属于Ho的接受域W=W时，那么Ho相容。3 检验的风险一一两类错误答：当H。为真时，检验作出拒绝H。的推断，称为犯第一类错误；当H。不真时, 检验作出接受H。的推断，称为犯