弹性力学试地的题目及答案详解

1、弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。_2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力止的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量 ,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1 MT-2。5、弹性力学的根本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问

2、题。7、 一点处的应力分量 匚x =100 MPa，二y =50 MPa， "10 50 MPa，那么主应力G = 150MPa，2 = 0MPa，-冷=35 16。&一点处的应力分量,二 x=200 MPa ,二 y=0MPa ,000 MPa，那么主应力 g = 512 MPa，二 2 =-312 MPa，:1 = -37 °57'。9、 一点处的应力分量，；x=：-2000MPa，匚y=1000 MPa, xy*400 MPa，那么主应力匚尸1052MPa，匚 2二-2052 MPa ,:计-82°32'。10、在弹性力学里分析问题，

3、要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法讲行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两局部。15、每个单元的位移一般总是包含着两局部：一局部是由本单元的形变引起的，另一局部是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两局部：一局部是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点

4、不相同的，即所谓变量应变；另一局部是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得岀正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应 当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值一连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时 ,也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、 在有限单元法中，单元的形函数 Ni在i结点Ni=1 ；在其他结点Ni=Q及刀Ni=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变

5、化情况：二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高二、判断题请在正确命题后的括号内打，在错误命题后的括号内打“ X1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。V5、 如果某一问题中，二Z，zy =0，只存在平面应力分量 二X，二y , - xy，且它们不沿Z方向变化，仅为X, y的函数，此问题是平面应力问题。V 6、 如果某一问题中，辽二“2=今=0，只存在平面应变分量；x , ； y , xy，且它们不沿Z方向变化，仅为x, y的函数，此问题是平面应变问题。V 9、 当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。V 10、 当物体的位移分量

6、完全确定时，形变分量即完全确定。V14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。V 三、分析计算题并考虑以下平面问题的应力分量是否1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，可能在弹性体中存在。(1)二 Ax By，二 y 二 Cx Dy , “ 二 Ex Fy ；xyA Cxy ；二 x=A(x2 y2)，匸 y=B(x2 y2),其中，A, B, C, D, E, F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足以下条件1在区域内的平衡微分方程如xf c-十=0ex -內IcTy xy= 0:y : xf 2朋、2在区域内的相容方程C , C3 在边界上的应力边界条件+r

7、2r 2a 9丿x 上4对于多连体的位移单值条件"二 fXs m ；y I xy s =f y S1 此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E。此外还应满足 应力 边界条件。2 为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0 ;为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。 上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、应力分量 二x "Qxy2 Gx3,二y-Qzxy2, 乂人-Czy3-C3X2y,体力不计，Q为常数试利用平衡微分方程求系数 C1, C2, C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程 精彩文案f2222Qy2+3Gx

8、 2 3C 2y2-C 3X2=03C 2xy2C3xy=0代22(3C1-C3 x -(Q+3C 2 "=0J3C2*2C3Ay=0由x, y的任意性，得3C -C3 =oQ 3C2=03C2 2C3 =o由此解得，一6，弓,C3弓3、应力分量 匚x? q，匚 y*q , ? xy=0,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将应力分量二x? q,二y q， xy =0，代入平衡微分方程旳 x Wtyxx+X=0tx cyYy - xy-丄 Y=0:y:x可知，应力分量=-q，二y = -q满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：? xy =0 般不满足平衡微分方程，只有

9、体力忽略不计时才-2 (二二 x 戸 2(1 ?y:x: xy将应力分量 二X q，二y- q， ? xy =0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：将应力分量匚x-q，y =7，? xy =0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑以下平面问题的应变分量是否可能存在1； x二Axy，； y二By3，xyA-Dy2 ；2 22； x=Ay，； y=Bx y， xy =Cxy ；3； x = °； y =0， xy =Cxy ；其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即C思x丄C名y C x

10、y +.=鋼:x将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知 ：1相容。B=0，2A=C22A? 2By=C 1分；这组应力分量假设存在，那么须满足:30=C ;这组应力分量假设存在，那么须满足:C=0，那么浪=0， ； y=0， Xy=O 1 分5、证明应力函数=by2能满足相容方程，并考察在如下图的矩形板和坐标系中能解决什么问题体力不计，b=0ih/2xh/2“ 1/211/2 .解：将应力函数=by2代入相容方程可知，所给应力函数 北y2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为xycxcy力分别为:对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面fx

11、=( xy) h=0,y 七2 2fAA- y) h =0 ;h上边，y , 1=0, m=T,2下边,右边,可见,左边,X=,1=12xx=2 , 1j,，m=0， fx=(；Ox)I =2b，fy=(xy)h/21 一0。 x d.一.XX)lJ-2 bh/2f ，y -(xy)叫0仁十I/2rI =0上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力二by2能解决矩形板在X方向受均布拉力b>0和均布压力b<0的问题。2b。因此，应力函数6、证明应力函数=axy能满足相容方程，并考察在如下图的矩形板和坐标系中能解决什么问题a体力不计，=0 。解：将应力函数；：=axy代入

12、相容方程hy 石，1=°，2, fAxyyA0 , fy*yyjO ；2 A0x:x :y可知，所给应力函数-二 axy能满足相容方程。rexa-xy由于不计体力，对应的应力分量为cxcyh上边，r，冋，"T, fx_ 心广，“一音0 ;对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面 力分别为:下边,h厂 2 十 0，HP , DyjF，fy 十 y右边,左边,I "，fx+)X=O，fy" ( xy)2_I =a ； x Ix ，1=1，m=o ， fx= ( ； x) I =0， fy=( xy) I*ax可见，在

13、左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如下图的矩形截面的长坚柱，密度为；-，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。X解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设二x=o由此可知二=0y将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式:x,yi=fi(x)y f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程那么可得44yd f i(x) d f2(x)=0dx4dx4这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它)，可见它的系数和自由项都应该等于零，即4fi(x

14、) =0d f2 (x)dx4of2(x) = Dx 3 Ex2 Jx Kfi (x)=Ax3 Bx2 Cx I，这两个方程要求代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得=y (Ax3 Bx2 Cx) Dx3 Ex2=02对应应力分量为.：2二 y = A=y(6Ax 2B) 6Dx 2E_gy cxx汽 2-xy = - -3Ax 2Bx -Ccxcy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x =0 , ai ,m=0，沿y方向无面力，所以有-(xy)x=0 二 C = 0右边，x =b , l -1 , m =0 ,沿y方向的面力为q，所以有(xy)x 土 =-3Ab

15、-2Bb=q上边，y £,1=0, m - _1，没有水平面力，这就要求.xy在这局部边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0( xy)y -0 dx二将，xy的表达式代入，并考虑到 C=0，贝卩有(_3Ax 2-2 Bx) dx= - Ax 3 -Bx2 0=- Ab3 -Bb2 =0bby在这局部边界上而0 Gxy ) y卫0dxR自然满足。又由于在这局部边界上没有垂直面力，这就要求合成的主矢量和主矩均为零，即b0(；y)yAXdxOb0Ay)yAdA0 ,将二y的表达式代入，那么有°(6Dx 2E)dx=3Dx 2 2Ex。=3Db2 2Eb=0f(6Dx +2E)xdx

16、=2Dx 3 +Ex2 b =2Db3 +Eb2 =0由此可得A qr, B，C=0 , D=0 , E=0 bb应力分量为6=0,巧切吕 1-3 彳-Pgy , Jy=q £3八-2 |bi b丿bj b丿虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 y:V，其中V是势函数，那么应力分量亦可用应力函数表示为，试导出相应的相容方程。:xy证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量衡微分方程 二x , _ y , xy应当满足平gg

17、ACT yx 勺泳科泳 1Py : xy N分0还应满足相容方程:y : X jy厂證!鳥cy 6+ar aa rc.c2炉X P引Jf对于平面应力问题对于平面应变问题 并在边界上满足应力边界条件1分。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为d t、抚室何X亠片 =0:XV IJ严、X这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为务_VX.x %: y yx根据微分方程理论，一定存在某一函数Ax，y，使得cA yxd i . y-V 二 y-yx 1 分ex同样，将第二个方程改写为可见也一定存在某一函数B x，y，使得由此得因而又一定存在某一函数x

18、,y，使得代入以上各式，得应力分量存1简写为2 -矽八內泳丿y -2 V，x-xy xy为了使上述应力分量能同量满足相容方程,应力函数:x,y必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得应仝f+vL(I+Aexj；x jyJ -2c ( CHK将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得2 20x矛人场2+V+ 2+V ,2 2 C +C -2 ex 211-4-2 -2C C =2b专厂占伶寺孑+ II +.2 2 2汰2丿；x : y -y9、如下图三角形悬臂梁只受重力作用，丁，试用纯三次的应力函数求解。而梁的密度为简写为解：纯三次的应力函数为二 ax3 bx2 y c

19、xy2 dy3相应的应力分量表达式为?2 ?：'二 x2 -xfx =2cx 6dy；y?2:-yfy =6ax 2by_CT = y - 2 :Xgyxy2bx-2cy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适中选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边，y =0，丨=0 , m 1，没有水平面力，所以有精彩文案对上端面的任意 x 值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力，所以有对上端面的任意 x 值都应成立，可见因此，应力分量可以简化为y=Xta n： ,斜面,l=cos -由第一个方程，得4'2cX 6dXtan ：sin ： =0对斜面的任意 X

20、值都应成立，这就要求-(xy) y=2bx=0b=0y) y 卫=6aX=0a =0X=2cX 6dy ，匚 y-m； y l XvyXyXgy，Xy=_ 2cym=cos-cos ，没有面力，所以有0y -Xtan ： 丄sin：- -2cXtan ：cos： =-4cXsin ：- -6dXtan ：-4c-6dta n=0由第二个方程，得sin ：； *gXsin: =02cXtan ： sin：； *gXtan ： cos： =2cXtan由此解得 g cot (1 分), -X = ':gXco r -2gycot2 ： , ；y - - Jgy, y - ;?gycot ：

21、hx方Xy设三角形悬臂梁的长为I，高为h,那么tan ；.；=。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿l1向的分量为0，沿y方向的分量为glh。因此，所求二x在这局部边界上合成的主矢应为零21应当合成为反力-一：Qlh。J2dy glcot - _2 Jgycot 2 ： dy= glhcot - -: gh2cot2 ： =0 X± L0：? ?o xy x土 dy= 0_gycot: dA- :?gh coA- :?glh，下端作为无限长，承受重力及液体压10、设有楔形体如下图，左面铅直，右面与铅直面成角解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的 函数形式。取坐标轴如下

22、图。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两局部组成：一局部由重力引起，应当与 ig成正比应当与(g是2g成正比。此外，每一局部还与 二，X， y有关。由于应力的量纲是L-1 MT-2， Cg和：、2g的量纲是l-2mt-2:-是量纲Ad gx力，楔形体的密度为 入，液体的密度为 嘉，试求应力分量 一的X量，而x和y的量纲是L,因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是i gy，2 g ，2 gy四项的组合，而其中的 A，B，C，D是量纲一的量，只与 a有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式,因此，假设3223=ax3 bx y cxy dy3相应的应力分量表达式为xy二 x 二 2xfx =2cx 6dy ,二 y 二一-yfy =6ax 2by -:gy,. cy dx这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方