必修一函数及其表示讲义

1、函数与其表示一、映射根据题意填空。X2+123434(1)(2)(3)(4)映射概念：一般地，设 A , B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素 x,在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称 对应f: At B是集合A到集合B的映射。如上图：是映射。象与原象：给定一个集合 A到集合B的映射，且a A , b B，如果元素a和元素 b对应，那么我们把元素 b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。注意：(1)集合A、B、对应关系是一个整体；(2)对应关系有“方向，强调从A到 B; ( 3)集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的， 这个唯一性是构

2、成映射的核心；(4) 集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个，集合 B中元素对应集合 A中的 元素可能不止一个。对应可以为“ 一对一或“多对一，但不能是“ 一对多；(5)集 合b中的元素在a中不一定有原象。(6)如果a有m个元素,，b有n个元素，那么从 集合A中到集合B的映射(不加限制).有_2个。例1:设集合A = N + , B = N +,对应关系f: xty = 2x,贝U(1) 集合A中元素2所对应的象是。(2) 集合B中元素2所对对应的原象是 。【解析】：(1) 4 ( 2) 1变式练习：设f: AtB是从集合A到集合B的映射，A = B = (x , y) | x R

3、, y R，假设 f: (x, y) t( x y, x+ y)(1) 求集合A中元素(一1, 2)在集合B中对应的元素 。(2) 求集合B中元素(一1, 2)在集合A中对应的元素 。1 3【解析】：(1) ( 3, 1)(2)(丄,)2 2二、函数(一)、函数的概念： 设A、B是非空的数.集，如果按照某个确定的对应关系 f，使 对于集合 A中的任意一个数 X,在集合.B中都有唯一确定的数.f(x).和它对应，那么就称f: At b为从集合A到集合B的一个函数。记作：y = f(x) , x A。其中，x叫做自变量，x的取值X围A叫做函数的定义域(集合)；与x的值相对应的 y值叫做函数值，函数

4、值的集合 f(x) | x A 叫做函数的值域(集合)。定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素。【解析】：B变式练习：设 A = xI 0< x w 2, B = y1 w yw 2，如以下图，能表示从集合A到集合【解析】：D(二)区间的概念：设a , b是两个实数，而且a v b我们规定：(1)满足不等式a wxw b的实数x的集合叫做闭区间，表示为a , b; (2)满足不等式a vxv b的实数x 的集合叫做开区间，表示为 (a , b)； (3)满足不等式awxv b或a vxw b的实数x的集 合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开 a,b和左开右定义名称符号数轴表示x |

5、 a x b闭区间a,bKabx | a x b开区间(a,b)abx | a x b左闭右开区间a,b)huabx | a x b左开右闭区间(a,b1Ik.ab "闭a,b区间。定义符号x|x(,)x|x aa,)x|x a(a,)x|x b(,bx|x b(,b)(三)、函数的定义域：自变量x的取值X围1、简单函数定义域的类型与求法：(1) 分式函数中分母不等于零；(2) 偶次根式函数被开方式大于或等于0;(3 )一次函数、二次函数的定义域为 R;(4) y = a (a > 0 且 a 丰 1), y = sin x, y= cos x，定义域均为 R;(5) y =

6、tan x 的定义域为x | x R 且 xm k + , k Z;2(6 )对数函数的定义域是真数大于0;(7)函数f(x)= xa的定义域与指数a的关系，对于不同的a值，定义域不同。(8 )由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。2、对于抽象函数定义域的求法：(1) 假设函数f(x)的定义域为a , b ,那么复合函数fg(x)的定义域由不等式 a < g(x) w b 求出；(2) 假设函数fg(x)的定义域为a , b，那么f(x)的定义域为g(x)在a , b上的值域。例3：求以下函数的定义域。(1) f(x) = , 2x 5(2) f(x)=1 x3 5x(3) f(

7、x) = + . x 13 x2(4) f(x) = x 5x 62(6) f(x) = ln( x 3x 4)55【解析】：(1) x>-( 2) xm - (3) x>- 1 且 xm 323(4) x >- 2 或 xw 3-( 5)- 4v xv 1变式练习 1:设 A = x I y= log2( x2 5x 4) , B = x | y= . x2 5x 6，那么 A n B。【解析】：1,23,4变式练习2：函数f(x) = log 05(cosx 一)的定义域为。222【解析】：(2k-, 2k +), k Z3 3变式练习 3：设 A = x I y= Ps

8、inx , B = x I y= J x2 x 12 ，那么 A n B =【解析】：A = (2k , 2k + ), B= - 4, 3,那么 A n B =4,3,例4：等腰三角形的周长为20,请将底边y表示为腰x的函数，并写出x的取值X亂【解析】y= 20 - 2x, 5 v x v 10x0x0x0y0202x0x105v x v 102xy2x202xx5例5: (1 )函数f(x)的定义域为1 , 4,那么f (x + 2)的定义域为 。(2) 函数f(2x + 1)的定义域为(一1 , 0),贝U f(x)的定义域为 。【解析】(1)T 1 < x+ 2W 4,.一Kx

9、W 2(2) 1v x v 0 , 2 v 2x v 0 , 1 v 2x+ 1 v 1 变式练习：(1 )函数f(x)的定义域为5, 5,那么f (3 2x)的定义域为 。(2)函数f(x + 1)的定义域为0, 3,贝U f(x2)的定义域为 。【解析】(1) 1, 4, (2) 0< x< 3, 1 w x+ 1 w 4, 1W x2< 4,那么一2W x< 1 或 1W x w 2例6:以下说法中正确的选项是()A : y= f(x)与y= f(t)表示同一个函数B: y = f(x)与y= f(x + 1)不可能是同一函数C: f(x) = 1与f(x) =

10、x0表示同一函数D :定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数【解析】A变式练习：判断以下各组函数，哪些是是同一函数(1)f(x) = x 与 g (x) = ( . x)2(2)f(x) = x与 g(x) = ' x2(3)f(x) =1 x 丨与 g(x) = . x2(4)f(x) = x2与 g (x) = (x + 1)2(5)f(x) = x 与 g(x) = Vx3(6) f(2 x ：x)=1与 g (x) = x 1x1(7)f(x) = x2 2x + 1与 g(t) = t22t + 1例7:函数f(x) = x2 2x 3,求(1)f(1) , f(2)(2)

11、f(a), f(a + 1)(3)f( 1), ff( 1), f f( 2)(4)假设 g(x) = 2，那么求 fg(x)和 gf(x)2变式练习1 :函数f(x)=二 ，求X211(1) 计算：f (1), f ，f ()2 11111(2) 计算：f (1) + f + f () + f + f () + f + f () + f + f () + f + f ()23456变式练习2:定义在R上的函数f(x)满足f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy ( x、y R),且f(1) = 2, 那么 f( 3)=()A: 2 B: 3 C: 6【解析】：f(1) = f

12、(1 + 0) = f(1) + f(0) + 0,得 f(0) = 0 f(0) = f( 1 + 1)= f( 1) + f(1) 2,得 f( 1) = 0f( 2) = f( 1 1) = f( 1) + f( 1) + 2，得 f( 2)= 2 f( 3) = f( 1 2) = f( 1) + f( 2) + 4，得 f( 3)= 6【解析】：cx2x 3cx2x 3220 2c 6c x (2c 6)x 9x 得 2c= 3 Bc2 9变式练习3:函数f(x)cx,(x满足ffx x那么常数c等于2x 32A : 3B :3C:3或3D: 5 或 3三、函数的值域一、值域：函数y

13、 f x，x的值域。A，我们把函数值的集合 f (x) / x A称为函数二、根本函数的值域:1、一次函数y kx b a0的值域为R;2、2二次函数y ax bx c (a0)；x R的值域4ac b20时，值域是晖R，4a)；a0时，值域是4ac4a$x4、指数函数y = a a >0且a丰1的值域为0,+ 5、对数函数y= loga x a >0且a丰1的值域为R；6、正弦y= sin x，余弦函数 y= cos x的值域1, 1;7、 正切函数y = tan x的值域为R;8、函数fx = xa的值域与指数a的关系，对于不同的 a值，值域不同。三求值域的具体方法1、观察法直

14、接法：例&求函数fx = 2x + 1, x 1 , 2, 3, 4, 5【解析】：y 3 , 5, 7, 9, 11f(x)=变式练习：求函数的值域：1 fx =、. x + 1【解析】：1 y> 1 2 y工02、配方法：利用二次函数 求值域【二次函数的对称轴 x=，顶点坐标(一,4ac b )】；2a2a 4a例9:求函数f(x) = x2 6x 7, x R的值域解：f(x) = x2 6x 7 = (x 3)2 16> 16,所以函数的值域y I y> 16或 16,。变式练习：求函数的值域(1) f(x) = x2 4x 3, x R(2) f(x) =

15、x2 6x + 7 x R(3) f(x) = x2 4x 3, x 1, 3(4) f(x) = x2 6x + 7, x1, 3(5 )设、是方程 4x2 4mx + m + 2 ( x R)的两实根，当 m为何值时，2+2有最小值？求出这个最小值。22,、2小21( )2mm 1【解析】：16m2 16(m2)0,m2或m1,A2当m1 时,(22)min12k3、 别离常数法：【形如反比例函数的值域y = - (kz 0),x2x 1例10:求函数f(x)=的值域。x 12x 12(x 1) 33【解析】：f(x) = 2yz 3x 1x 1x 15x 1 变式练习：求函数f(x)=的

16、值域。x 29【解析】：f(x) = 5 +yz 5x 24、单调法： 先判断函数f(x)的区间上的单调性，再代入端点求值域的方法。2例11：函数f(x) = (x 2,6)，求函数的最大值和最小值。x 1【解析】：函数f(x)在2 , 6上是减函数，所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与最 小值，当x= 2函数取最大值2,当x = 6函数取最小值0.4。3x变式练习1:求函数f(x) =(x 4,6)的值域。x 3【解析】：9, 121 f(x) = (?)2x2 2x 5变式练习2：求以下函数的值域(1)f(x) = 2 2x5【解析】：(1) f(x) = 2(x 1)2 4(2)

17、f(x)=(丄)"F 625、换元法例 12：求函数 f(x) = x+ 2x 1变式练习1：分别求以下函数的值域(1) f(x) = 2x + . 2x 3(2) f(x) = 2x 3x 1变式练习2：分别求以下函数的值域xx2(1) f(x) = 4 + 6X 2 3(2) f(x) = sin x+ 2cosx 36、根本不等式法【根本不等式章节重点讲解】3例13:求函数f(x) = x + (x > 1)的最小值x 13例14：求函数f(x) = xx (3 2x)(Ovxv )的最大值 27、三角函数法【三角函数章节重点讲解】8、导数法【导数章节重点讲解】9、三角代

18、换法(参数法)【极坐标与参数方程章节重点讲解】四、函数的表示法(一) 表示函数的方法有 ：有解析法、列表法和图象法三种。(1 )、解析法： 如果函数y= f(x) (x A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，那么 这种表达函数的方法叫做解析法(公式法)。(2) 列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。(3) 、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。(二) 求函数解析式1、拼凑法：fg(x)的解析式，要求f(x)的解析式,从fg(x)的解析式中拼凑出g(x) ,两边用“ X代替“ g(x) 即可得到1例 13：假设 f()=-x

19、 1f(x)的解析式。笃，求f(2)x1【解析】 f ()xx1 x2X(丄)2x变式练习：(1 )f (x + -)= x2 +xx2f(2)=豕 1，求xf (x)(2) f ( X + 1) = x + 2 _ x，求 f (x)【解析】：(1) f(x) = x2 2(2) f (x) = x2 12、换元法:函数f g(x)的解析式，令g(x) = t，求f(t)的解析式，用x代替两边所有的t，即可。例 14:函数 f (2x + 1) = x2 2x，求 f (1)【解析】令2x + 1 = t，贝U x =2f (t ) = (t 片2-2 x2t2 6t 542 x f (x)

20、=6x 5f (1)变式练习:(1) f ( . x + 1) = x + 2 X，求 f (x)1 x1(2) g(x) = 1 2x, f g(x) = (x丰 0)，求 f (-)x2(3) f (e*) = x+ e，贝V f(1) =o(4) f(3x) = 4xx log23 + 233,那么 f(2) + f(4) + f(8) + + f(28)的值等于 2 1【解析】：(1) f (x) = x2 1(2) f () = 15(3) f(1) = 12x8(4) 令 3 = t，那么 x= log3t，那么 f (t) = 4log2 t + 233,故 f(2) + f(4

21、) + f(8) + f(2 )=4+ 8 + 12+ 32 + 233 X 8= 20213、方程组法：f(x)与fg(x)满足的关系式，要求f(x)时，用g(x)代替两边所有的x, 得到关于f(x) , fg(x)的方程组，解方程组得f(x) o1例15:函数f (x)满足，f(x) 2 f () = 3x + 2,求f (x)的解析式。x111【解析】：用一代替x得：f () 2 f (x) = 3X+ 2xxx1f(x) 2f( ) 3x 2x1二解之得：f (x) = x 2f()2f(x)-2xxx变式练习：函数f(x)满足：f (x) + 2 f ( x) = x2+ x，求函数

22、f(x)的解析式。【解析】：f(x)=2cx 3x34、待定系数法：(1 )、初中所学一次函数、反比例函数、二次函数解析式的求法。k一次函数：f(x) = kx + b (k丰0); 反比例函数：f (x) = (k工0),xf(x)2 axbx c二次函数：f(x)a(xh)2 k (a 0)f(x)a(xxj(x X2)(2)假设f(x)函数的类型，求f(x)的解析式，可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。例16：一次函数f(x)满足ff(x) = 4x + 3,求f (x)的解析式。【解析】设：f(x) = kx + b (k丰0) ff(x)= f (kx + b) = k(kx

23、+ b) + b = k2x + kb+ b = 4x + 3k24k2k2-解之得或kbb3b1b3 f (x) = 2x+ 1 或 f (x) =- 2x 3例17:函数fx 是一 -次函数，且2 f (1) + 3 f =3, 2 f ( 1) 3 f (0) = 1，求 f (x)的解析式。【解析】设：fx = kx + b k丰0，由题意得2(k b) 3(2k b) 32( k b) 3(0 b) 1解之得: f (x) = 4x 199变式练习：(1) 一次函数f(x)满足ff(x) = 9x+ 8，求f (x)的解析式。(2) 一次函数 f(x)满足：3f(x + 1) 2f(

24、x 1) = 2x + 17,求f (x)的解析式。【解析】(1) f (x) = 3x + 2 或 f (x) = 3x 4(2) f (x) = 2x+ 7四、分段函数 :在定义域内，对于自变量 x的不同取值 不同，这样函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的 图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。注意：1分段函数是一个函数；2在分段时端点不重也不 漏；3分段函数的定义域为每段 X围的并集，值域也是每个 区域内值域的并集。一分段函数的图象例18:作出函数fx =| x |的图象。【解析:f(x) =| x | =x, x 0x,x 0变式练习：作出分段函数y |x 1 x 2

25、的图像(二)分段函数的求值。1x, x 22例 19:函数 f(x) =,2x2 求：(1) f (3)(2) f f (3) f f f 2x 4x, x 22【解析】：( 1) 3> 2 , f =32-4X 3 =- 3;1 3(2 ) 3v 2,. f f (3) = f ( 3)= X ( 3)=-2 233(3) 2v v 2,. ff(3) = f ()=22x 2, x 1 变式练习1:函数f(x) = 2x,1 x 2,1 2x , x 22(1 )求 f f ( 1) (2)假设 f( a)= 3，求 a 的值。3 【解析】：(1) f f ( 1) = 2(2) a

26、 = 或 a = . 624log2( x), x 0变式练习2：设a工0,函数f(x) =2，假设f(f( 2 ) = 4，那么f(a)等于()x ax , x 0A : 8 B: 4 C： 2 D: 1【解析】A课后综合练习1、如以下图(1) (2) (3) ( 4)四个图象各表示两个变量 x, y的对应关系，其中表示 y是x 的函数关系的有。【解析:(2) (3)2、函数y= f(x)的图象与直线x= a的交点的个数为()A :必有1个 B : 1个或2个 C:至多1个 D:可能2个以上【解析】：C 23、假设函数f(x)=寸ax 2x 1的定义域为R，那么实数a的取值X围是【解析】：a > 04、f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x + y) = f(x) + f(y) + xy，且f(1) = 1,求f【解析】：f (5) = 155、集合 A = x | OW xw 4 , B = y | 0< yW 2，以下不表示从 A到B的函数是()1 12LA