振动和波习题课Ⅰ教学基本要求振动和波动1掌握描述简谐振动和简

1、3 振动和波习题课I教学根本要求振动和波动1. 掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量(特别是相位)及各量间的关系。2. 理解旋转矢量法。3. 掌握简谐振动的根本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。4理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。5理解机械波产生的条件。 掌握由质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方 法及波函数的物理意义。理解波形图线。了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。6. 了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确 定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。7. 理解驻涉及其

2、形成条件。8. 了解机械波的多普勒效应及其产生原因。在波源或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿二者连线的情况下，能用多普勒频移公式进行计算。n内容提要、振动1. 简谐振动的定义：恢复力F= -kx微分方程d2x/dt2+ 2x=0运动方程x=Acos(t+ ;o)弹簧振子 =(k/m)1/2,单摆-=(g/l)1/2, 复摆=(mgh/J)1/2;2. 描述谐振动的物理量：(1) 固有量：固有频率 周期T,频率v其关系为=2 r/T=2 7: vv =1/T非固有量，振幅 AA=(xg2+v02/co2)1/2位相-t+ ；0初位相 0 tan 9=V0/(xo)(再结合另一三角函数定出;0

3、);3. 旋转矢量法(略);4. 谐振动能量：Ek=Esin2C t+ ;：0)Ep=Ecos ( t+ o)E=E k+ E p5. 谐振动的合成：(1) 同方向同频率两谐振动的合成A=A12+A22+2A1A2COS(勺10)1/2tg o=(A1sin 10+A2Sin20)/( A1COS10+A2COS20) (再结合另一三角函数定出；：0)拍=丄1拍频 ."： V = V 2V 1(2) 相互垂直振动的合成 :;尸；：；2时为椭圆方程：x2/A12+y2/A22 - 2(x/A1)(y/A2)cos( 20 10)=sin 2( 20 - 10)r与 2成简单整数比时成李

4、萨如图形二、波动1. 机械波的产生的条件：(1)波源,(2)媒质.机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播，质量并不迁移；2. 描述波的物理量：波长，频率v ,周期T,波速.u其关系为 T=1/ v = x/uu= /''/T= X' v3平面简谐波的波动方程y=Acos，(t_x/u)+ 0=Acos2 二(t/T -x/ )+ o=Acos2:( v H)+ 0224平均能量密度w= ；-A . /2,能流密度(波的强度)I= wu= ；-A2 2u/2 5惠更斯原理(略);6波的叠加原理：独立性，叠加性；7波的干预(1) 相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差

5、恒定。(2) 相干加强与减弱的条件：加强 .=2k 二 减弱 .：=(2k+1)-： 其中-= "20-io-2?.(r2-ri)/，(3) 驻波：波腹处振幅最大，波节处振幅最小， 相邻波节(或波幅)之间的距离为72；8半波损失：波从波疏媒质(6较小)向波密媒 质(较大)传播，在界面上反射时，反射波 中产生半波损失，其实质是位相突变二；9多普勒效应：只考虑波源和观察者在同一直线上运动时的频率变化公式波源运动(vs)等效波长改变v = v ou /(u-vs)观察者运动(Vb )相当于波速变化V = V 0(U+VB)/U(相互接近Vr vs取正)波源运动(Vs),观察者也运动(VB)

6、V = v o(u+vb)/ (u-vs)川练习十六至练习二十参考答案练习十六 谐振动选择题C A D B B二填空题21. 4/3,4.5cm/s2,x=2cos(3t/2 J2).20.2rad/s, -0.02sin(0.2t+0.5) (SI),0.02 rad/s 3. B C, B, + _/4.xo=A cos o=0 得b=±：/2所以 A=mvo/(M+m )/ =mvo/k(M+m )"20=二/2故系统的振动方程为1/2 1/2x= mv0/ k(M+m) cos k/(M+m ) t+二/2练习十七谐振动能量谐振动合成一. 选择题B D C D C.

7、填空题三.计算题1. (1) v= dx/dt= 3.0sin(5t 72) (SI) 所以Vo=3.0m/s22(2) F=ma= m Acos(5t 二/2)= m x 当 x=A/2 时F= 1.5N2. 弹簧振子的圆频率 =k/(M+m )1/2子弹射入木块时动量守恒，有-mvo=(M+m )v 得 v= -mvo/(M+m ) 即dx/dtx=o=sin 0= -mvo/(M+m)知 sin 0> 0即;o在一、二象限.因t=0时1. x = 0.02cos ( 4 二t 2二/3 )(si).2. ：2mA2/T2.3. 5.5Hz, 1.三.计算题1. (1)平衡时，重力矩

8、与弹力矩等值反向，设此时弹簧伸长为有mgl/2 kxol = mgl/2 kxol/ . 3 =0设某时刻杆转过角度为'；因角度小，弹簧再伸长近似为二I =二1/ . 3,杆受弹力矩为Mk= I Fk= (1/ . 3)( ：X0+d I/ . 3)k=k(.：xol/.、3+n f/3)合力矩为Mg+ Mk=mgl/2 k (.xol/ .3 + n 12/3)= k 二 f/3依转动定律，有2 2 2 2k l /3=J = (ml /3)d r /dtd2 日 /dt2+ (k/m)6=0即杆作简谐振动.(2) = Jk/mT=2 兀 Jm,k(3) t= 0 时,n, dr /

9、dt t= o=0,得振幅 * vo, 初位相o=0,故杆的振动表达式为卞 ncos( k m t)2 22. 因 A1=4 x 10 m, A2=3 x 10 m20= 74, 10= r/2，有2 2 1/2 2A=A1 +A2 +2A1A2cos(20- 10) =6.48 10 m tg 0=(A1Sin 1o+A2Sin20)/(A1COS10+A2COS 20) =2.0610=64.11 °0=244.11°因 X0=ACOS 0=X10+X202=A1 cos 10+A2COS 20=5.83 10 m>00在I、IV象限，故0=64.11 °

10、;=1.12rad所以合振动方程为-2x=6.48 10 cos(2 二t+1.12)(SI)。练习十八波动方程一.选择题 C C B D A二填空题1. 3, 3002. 0,3cm/s.3. 振动系统的固有频率，策划力的频率.三.计算题1. (1)假设取x轴方向向左，A为坐标原点，贝U 波动方程为y= 3cos4 二(t+x/c) -二=3cos(4 二 t+二 x/5-二)(SI)D(x= -9m)点的振动方程为yo=3cos4 二t+ 二(-9)/5 -二=3cos(4t _14 二/5)(SI)假设取x轴方向向右，A点左方5m处的O 点为x轴原点，有 A点坐标为x0=5m , D点

11、坐标为x=14m .那么波动方程为y=3cos4 二t(x5)/c-二=3cos(4 -_:x/5)(SI)D点的振动方程yD=3cos(4 二t -二?14/5)=3cos(4t-14/5)(SI)2. (1) y=Acos2 二(t/T x/')=0.1cos2 二(2t x/10) (SI)(2) y1=0.1cos2 二(T/4)/T (/4)/=0.1m(3) u= ：y/：t= 0.4si n2 二(2t x/10)=0.4二sin2二(T/2)/T ( /4)/ =0.4c. = 1.26m/s练习十九波的能量波的干预一. 选择题 B A D B C二. 填空题1. Sw

12、/2 二2. 5J.3. 0.三. 计算题1. (1) P=W/t =2.70 103J/s(2) I=P/S =9 10 2J/(sm2)-42(3) w=I/u =2.65 10 J/m .222. Ap=( A/n) +(A/2)+2(A/1)(A/2)cos二/2 -二+2(2 “)/ ' 1/2= 2 A/(5 )tan o=( A/rsin( -2 -ri/ + -/2)+(A/r 2)sin( _2二2/，+ M .计(A/ri)cos(-2二r，+ 二/2)+(A/r2)cos(-2 二2/，+ 二)=一1 yo=Acos 0=A/ricos(-2 rr 1/ +/2)

13、+(A/2)cos( -2 7T2/ + 二) =孙/(5 )<0所以：0=3/4故 y= , 2 A/(5 )cos(2 二 v t +3 ;/4).练习二十驻波多普勒效应一 选择题D B A C D二填空题1. 100k±50m(k 为整数).2. Acos2 二(t/T+x/ )+( + 44二L/ ).3. 802H z.三.计算题(1)另一列横波的波方程为y2=0.05cos2 二(t/0.05+x/4) (SI)(2)绳索上的驻波方程为y=y1 + y2=0.10COS(X/2)COS40 二t(SI)波节坐标X满足x/2=k 二+ 二/2即x=2k+1(k=0,_

14、1,_2,)离原点最近的四个波节点的坐标为x=于1m,?3m2. y=y 1+y2=Acos2：( v t-x/ )+2Acos(2 二 v t+x / )=2Acos2x/ cos2-： v t+A cos(2?. v t+x/ ) 最大振幅 Amax=3A坐标x满足2二x/ =k二 x=k /2(k=0,_1,_2,.)最小振幅 Amin=A坐标x满足2二x/ =k二+二/2 x=(2k+1) /4(k=0,_1,_2,.).IV课堂例题.选择题1. 一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为从t = 0时刻起，到质点位置在 x = - 2 cm处,_21x =4 10 cos(2二t ) (SI

15、).3且向x轴正方向运动的最短时间间隔为1(B) 6 s1(A) 8s1(C) 1s1(D) 3s1(E)2s2. 如下图，质量为 m的物体由劲度系数为 k1和k2的两个轻弹簧连接在水平光滑导轨上作微小振动，那么该系统的振动频率为(A)k1k2.m(B)(C)1 k1 k22 二，mk1k2(D)1k1 k22二，m1k1k2.J,'m(k1k2)3简谐振动曲线如下图那么振动周期是(A) 2.62 s .(B) 2.40 s .(C) 2.20 s .(D) 2.00 s .4一平面余弦波在t = 0时刻的波形曲线如下图，那么(A) 0.(B) 二(C) 二(D) 3:或 -1 7/2

16、5平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它 的能量是(A) 动能为零，势能最大.(B) 动能为零，势能为零.(C) 动能最大，势能最大.(D) 动能最大，势能为零.6.有两列沿相反方向传播的相干波，其表达式为y Acos2二(讥-x/，)和 科2二Ac 0 2二(讥x/ ).叠加后形成驻波，其波腹位置的坐标为：(其中的k = 0, 1, 2, 3,.)(A) x = ± k .1(B) x (2k1)，.21(C) x k .2(D) x 二(2k 1) ' /4.填空题1一单摆的悬线长I = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方0.45 m处

17、有一小钉，如上图示.设摆动很小那么单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为y (m)2.图示平面简谐波在t = 2s时刻的波形图，波的振幅为周期为4s,那么图中质点P的振动方程为3.3, S2为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方向垂直纸面，两者相距 3 /2 ( 为波长)如图. Si的初相为 二/2.M(1) 假设使射线S2C上各点由两列波引起的振动均干预相消，那么S2的初相应为.SIS2 cIn(2) 假设使Si S2连线的中垂线MN上各点由两列波引起的振动均干涉相消，那么 S2的初位相应为 .4. 一静止的报警器，其频率为1000 Hz，有一汽车以79.2 km/h的时速驶向和

18、背离报警器时, 坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是 和 (设空气中声速为340 m/s).三.计算题1. 一简谐波，振动周期 T=0.5s，波长 =10 m，振幅A = 0.1m .当t =0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值.假设坐标原点和波源重合，且波沿(1) 此波的表达式；(2) t1 = T /4时刻，X1 = /4处质点的位移；(3) t2 = T /2时刻，X1 = /4处质点的振动速度.2. 图示一平面简谐波在 t = 0时刻的波形图，求(1)该波的波动表达式；Ox轴正方向传播，求:(2) P处质点的振动方程.3. 如下图，两相干波源在x轴上的位置为Si和S2,其间距离为d

19、 = 30 m , 位于坐标原 点0设波只沿x轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变.xi = 9 m和X2 = 12 m处的两点是相邻的两个因干预而静止的点求两波的波长和两波源间最小相位差.4. 如下图，一平面简谐波沿 x轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面. 波由P点反射，0P = 3扎/4, DP =人/6.在t = 0时，0处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动.求D点处入射波与反射波的合振动方程.设入射波和反射波的振幅皆为A,频率为附V热学课堂例题解答一 选择题C B B B A C二填空题1. 3 PoVo , 5 P0V0 ! 8poVo2213R2. :.3. 不变，增加.4. To, Po33三.计