文科圆锥曲线大题复习

1、高三数学圆锥曲线专题一.知识要点1、 直线的斜率公式：k tan匕一 x1 x2 为直线的倾斜角x2 X-两种常用的直线方程：1点斜式2斜截式2、 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种，其判断方法有：几何法常用方法假设圆心到直线的距离为 d,圆的半径为r,那么：d r直线与圆相切d r 直线与圆相交 d r直线与圆相离代数法由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，那么：0直线与圆相切0 直线与圆相离0直线与圆相交3、圆的弦长假设圆心到弦的距离为 d,圆的半径为r,弦长是I，那么I 2彳 d2 .4、 圆锥曲线的定义包括长轴，短轴，实轴，虚轴，离心率，双曲线的渐近线等1椭

2、圆:2双曲线：3抛物线：2 25、点P(x0, y0)和椭圆 务1 ( aa b2 2点P(xo,yo)在椭圆上卑 卷=1；a bb 0的关系：1点Px0,y0在椭圆外3点Px°,y。在椭圆2Xo2yob22西2a2 yo b21相交:0直线与椭圆相交;0 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一疋有0,6、直线与圆锥曲线的位置关系 ：由直线方程与圆锥曲线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，那么:当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平

3、行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 件，但不是必要条件。0也仅是直线与抛物线相交的充分条2 相切：0 直线与椭圆相切；0 直线与双曲线相切;3 相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离;0 直线与抛物线相切;0直线与抛物线相离。提醒：1直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点7、弦长公式：假设直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，贝U ABX2，假设y，y2分别为A、B的纵坐标，那么y2，假

4、设弦AB所在直线方程设为 X ky b，那么 |AB = Vi k2|y1 y2二.例题分析题型1:圆锥曲线定义的问题例题1. (07年高考)在平面直角坐标系 xOy中，圆心在第二象限，半径为 2 2的圆C与直线y x2 2相切于坐标原点O ,椭圆 冷 - 1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 .a29(1) 求圆C的方程；(2) 试探究圆C上是否存在异于原点的点 Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF的长假设存在，请求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.变式1: (2021年一模)圆G：(x4)2y21,圆C2:x2(y2)21，圆C1,C2关于直线丨对称(1) 求直线丨的方

5、程；(2) 直线l上是否存在点 Q，使Q点到A( 2 2,0)点的距离减去 Q点到B(2、2,0)点的距离的差为4 , 如果存在求出 Q点坐标，如果不存在说明理由变式2： (2021年一模)椭圆G的中心在坐标原点，两个焦点分别为 R( 2,0) , F2 2, 0，点A(2, 3) 在椭圆G 上,过点A的直线L与抛物线C2 :x2 4y交于B, C两点，抛物线C2在点B, C处的切线分别为l1, l2,且l1与l2交于点P.(1)求椭圆G的方程； (2)是否存在满足 PF1 PF2 AF1 AF2的点P?假设存在，指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标)；假设不存在，说明理由题型2:圆锥曲线

6、的定值问题2X 例题2 :( 2021年二模)椭圆Ca詁1(a b 0)过点(0,1)，且离心率为于(1) 求椭圆C的方程；(2) A,B为椭圆C的左右顶点，直线l :x 2、2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A, B的动点，直线AP,BP分别交直线丨于E,F两点.证明：当点P在椭圆C上运动时，|DE | |DF |恒为定值.2 2变式1：( 2021年一模)椭圆 令与 1( a b 0)上任一点P到两个焦点的距离的和为 6，焦距为 处2， a b代B分别是椭圆的左右顶点.(I)求椭圆的标准方程；(n)假设P与A,B均不重合，设直线 PA与PB的斜率分别为k,k2，证明：kjk2为定值；题型

7、3:直线与圆的位置关系问题例题3. ( 2021年一模)动点P与点F (1,0)的距离和它到直线l : x1的距离相等，记点 P的轨迹为曲线G 圆C2的圆心T是曲线G上的动点，圆C2与y轴交于M,N两点，且| MN | 4.(1) 求曲线G的方程；(2) 设点A a,0 (a 2),假设点A到点T的最短距离为a 1,试判断直线丨与圆C2的位置关系,并说明理由.变式 1: (2021年一模) A( 2,0) , B(2,0) , C(m, n) (1) 假设m 1, n 3，求 ABC的外接圆的方程；(2) 假设以线段 AB为直径的圆O过点C (异于点 代B),直线x 2交直线AC于点R，线段B

8、R的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论.题型4:直线与圆锥曲线位置关系问题例题4. 2021年咼考在平面直角坐标系X2y2xOy中，椭圆 G：r21a b 0的左焦点为a bF1(1,0)，且点 P(0,1)在 G 上.(1)求椭圆G的方程；(2)设直线I与椭圆G和抛物线C2: y24x相切，求直线I的方程.变式1 11二模椭圆C :2 x2 a2.,_3b21a b 0的离心率为云，过坐标原点0且斜1 率为丄的直线I与C相交于A、B，|AB| 2 10 .2求a、b的值；假设动圆x m2 y21与椭圆C和直线I都没有公共点，试求m的取值围.题型5:圆锥曲线的相关最值(围

9、)问题例题5. (2021年高考)抛物线C的顶点为原点，其焦点F 0,c c 0至煩线l : x y 2 0的距离为鼻2 .设P为直线l上的点，过点2P作抛物线C的两条切线PA,PB，其中代B为切点.求抛物线C的方程;(2)当点P x0,y0为直线l上的定点时，求直线 AB的方程;(3) 当点P在直线l上移动时，求 AF BF的最小值.变式1:(2021年一模)动点P到定点F 72,0的距离与点P到定直线l : X2、2的距离之比为(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 设M、N是直线丨上的两个点，点E与点F关于原点O对称，假设e|fn0，求MN的最小值._ _ 2变式2: (2021年一模)

10、在平面直角坐标系中，点P(1, 1)，过点P作抛物线T0: y x的切线，其切点分别为 M(Xi,yJ、N(X2,y2)(其中 Xi x?).(I)求x-i与x2的值；(n)假设以点 P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的方程；(川)过原点 0(0,0)作圆E的两条互相垂直的弦 AC,BD，求四边形 ABCD面积的最大值题型6:综合性问题2例题6. (2021年一模)椭圆x2 乞 1的左、右两个顶点分别为 A、B 曲线C是以A、B两点为4顶点，离心率为,5的双曲线设点 P在第一象限且在曲线 C上，直线AP与椭圆相交于另一点 T .(1) 求曲线C的方程；(2) 设点P、T的横坐标分别为x1、x

11、2，证明：x1 x21 ；(3) 设 TAB与 POB (其中O为坐标原点)的面积分别为 S与S2，且PA PB 15，求S? M 的取值围.2y n 8 .该圆与参考答案例1、解：(1)设圆心坐标为(m n) (m<0, n>0),那么该圆的方程为直线y = x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，贝U竺上=242 .<2即m n = 4,又圆与直线切于原点，将点(0, 0)代入，得 m+ n2= 8.联立方程和组成方程组解得m 222，故圆的方程为 x 2 y 28.2 2(2) a = 5 , a2= 25,那么椭圆的方程为 1 .259其焦距c = #25 9 =

12、 4,右焦点为4, 0,那么OF = 4.要探否存在异于原点的点Q使得该点到右焦点 F的距离等于 OF的长度4,我们可以转化为探求以2 2右焦点F为顶点，半径为 4的圆x 4 y 8与1所求的圆的交点数.4 12通过联立两圆的方程解得 x= - , y=上.5 5即存在异于原点的点 Q 4 , 12 ，使得该点到右焦点 F的距离等于 OF的长.55变式1、解：1因为圆C1, C2关于直线丨对称,圆C1的圆心C1坐标为4,0，圆C2的圆心C2坐标为0, 2,显然直线l是线段C1C2的中垂线， 3分线段C1C2中点坐标是2,1 , C1C2的斜率是k y 匪- , 5分x1 x24 021所以直线

13、l的方程是y 1x 2，即y 2x 3. 6分k2假设这样的Q点存在， 因为Q点到A 2、.2,0点的距离减去 Q点到B2、2,0点的距离的差为4 ,所以Q点在以A 2、2,0和B2、2,0为焦点，实轴长为 4的双曲线的右支上,2 2即Q点在曲线 1(x2) 上,44y2x 310分又Q点在直线l 上, Q点的坐标是方程组2 xy2的解，1412分4消元得3x212x 130 ,122 43 130 ,方程组无解，所以点P的轨迹上是不存在满足条件的点Q.14分2 2变式2、1解法1：设椭圆G的方程为牛 E 1 aa b22依题意：a22a32 b2 b24.2 ab216,12.二椭圆C1的方

14、程为2 X16y121.解法2:设椭圆C1的方程为2 X2 a2 y b2根据椭圆的定义得2aAF1AF28，即a c 2 , b212 .椭圆C1的方程为2 X162y121.1解法1：设点B(x1,-42BA (2 X1,3X142X1 ), C(12X2,X24)，贝U BC(X2 X1，；(X|X12), A,B,C三点共线 Be /bA.- X2x132X12X22X1化简得:X2)12.由x2-x2,得 y -42(分抛物线C2在点B处的切线11的方程为y1 2；X1X1),X1X21 24 X1 .分同理,抛物线C2在点C处的切线12的方程为X2X21 2产.设点P(x, y)，

15、由得：2X1 x21 24X1X2X21 24X2，1而 Xi x2，贝y x(Xi X2).分1代入得 y _ % x2, 10分4那么2x Xi X2, 4y X1X2代入 得4x 4y 12，即点P的轨迹方程为y x 3.分 11假设PFjPF2ARAF2 ，那么点P在椭圆C1上，而点P又在直线y x 3上，12分直线y x 3经过椭圆G 点(3,0),直线y x 3与椭圆G交于两点分3解法 2：设点 B(X1, y1),C(X2, V2), P(Xo,yo),2121由x 4y,即y X ,得y x.份2X-jl1的方程为y y11 (x X1),12分y1 抛物线C2在点B处的切线X

16、112x y1 X1 .2212-y1-X1 , y4X1 x2点 P(x0, y°)在切线 l1 上,同理,X2- y0- x0 y1 .6 分27 分 2 ° x综合、得，点 B(X1，yJ,C(X2，y2)的坐标都满足方程y。 -X0 y.8分经过B(X1,yJ,C(X2, y2)两点的直线是唯一的，直线L的方程为y0 Xx0 y ,9分2点 A(2,3)在直线 L 上，- y0 x0 3. 分点P的轨迹方程为yx3.11 分假设PFi PF2 AFi AF2 ，那么点P在椭圆Ci上，又在直线y x 3上，12分直线y x3经过椭圆G 一点3,0,直线y x 3与椭圆

17、G交于两点满足条件 PF1PF2AF1 AF2的点P有两个. 14分解法3:显然直线L的斜率存在，设直线 L的方程为y k x 23，y k x 23,2由消去y，得x2 4kx 8k 120. 4分2 .x 4y,设 B x1, y1, C x2, y2,那么 x1x24k, x1x28k 12. 5分2121由 x24y,即 yx2,得 y x.分42即yx2y1 2xf.1 212-y1X1 , yxx1 .424同理，得抛物线C2在点C处的切线x21 2l2的方程为y2 xx224X11 2冶X2y-xx1,x2k,由24解得2yx2x1 2X?,yx1x22k 3.244抛物线C2在

18、点B处的切线l1的方程为y y1xj ,分10分11 P 2k, 2k 3 . PF1PF2 ARAF2 ,2 2点P在椭圆c1 : L 1 上.16 122 22k 2k 3 1.16 12化简得 7 k212k30.(*)2由124732280,13分14分满足条件PF1PF2AF1AF2的点P有两个可得方程*有两个不等的实数根满足条件的点P有两个.例2、解：1由题意可知，b 1 ,a 22,22且 a b c .(2& 2)y。x° 2(2、2 2)y。x 2即 | DF | (2 & 2) 1 y01;|x。2| DE | | DF | (2、一 2 2) 1

19、 y0 1(2、一 2 2) 1 % 1|x° 2|x° 2|2而x° y 1，即4y： 4 x,代入上式，4 | DE | | DF | 1 , 所以 | DE | |DF | 为定值 1.4y：|x0 4|4y：4 xo10分12分14分解得a 2,2所以，椭圆的方程为 y21.4(2) A( 2,0), B(2,0).设 P(x°,y°) ,22 ,直线AP的方程为y (X 2)，令x 2 2，那么y X02即 |DE | (2 迈 2) | y0 | ;|X02|直线BP的方程为y2)，令x 2.2，那么yx。 2又 2c 4.2 ,

20、c 2 2 , b2a2c24设卩心丫00, A3,0),B(3,0),2Xgyo1，即 y0贝U k1yo, k2xo 3y。xo 349(9勺X：9221 Xo_即ki k2 J 汽Xo 9 Xo 9ki h为定值8例3、(1)解法1：设动点P的坐标为 x,y ,依题意，得PF x 1 ,即J X 1 2 y2 x 1 ,2分化简得：y2 4x,曲线C1的方程为y2 4x.4分解法2：由于动点P与点F(1,0)的距离和它到直线l : x 1的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点，直线丨为准线的抛物线.2分曲线C1的方程为y2 4x.4分(2)解：设点T的坐标

21、为(x。，y。),圆C2的半径为r ,t点T是抛物线G : y2 4x上的动点，2 y。4xo( xo 0).i122二 AT xo ayo 0 6 分:jfXo 2ax° a4x°x0 a 2 4a 4. a 2, a 2 0,那么当x0a 2时，AT取得最小值为2，8分依题意得 2-.厂1a 1,两边平方得a2 6a 50,解得a 5或a 1 (不合题意，舍去).10分二 Xo a 2 3, y2 4x) 12,即 y 2.3.圆C2的圆心T的坐标为 3,2-.3 .T圆C2与y轴交于M ,N两点，且| MN | 4, I MN | 2.厂x4.- r 4 x2.13

22、.12 分点T到直线丨的距离d x0 14 Vl3 ,y2 Dx Ey F 0,直线l与圆C2相离.14分法2 :线段AC的中点为直线AC的斜率为k1342DF 0由题意可得42DF 0解得DE 0,F4,13 D、3EF0 ABC的外接圆方程为x22y420，即xy2 4.-6变式1、解：1法1：设所求圆的方程为 x2线段AC的中垂线的方程为、3X *，线段AB的中垂线方程为x 0 ,ABC的外接圆圆心为0,0，半径为r 2 , ABC的外接圆方程为2 2x y 4. 6分2为半径法 3: :ioc| ；1 02 3 02 2，而 |OA| |OB| 2 , ABC 的外接圆是以 O 为圆心

23、， 的圆， ABC的外接圆方程为x2 y24. 6 分法4 :直线AC的斜率为k13，直线BC的斜率为k2<3, k1 k21，即AC BC3 ABC的外接圆是以线段 AB为直径的圆， ABC的外接圆方程为x2 y24 .分2由题意可知以线段 AB为直径的圆的方程为 x2 y2 4，设点R的坐标为2,t, A,C, R三点共线,分，而 aC (m 2,n) , aR(4,t)，那么4n t(m 2),直线CD的斜率为. mnk2nR的坐标为(2,上丄m 22nnm 2m 212)，点D的坐标为(2,m(m 2)n 2nm24分，.直线2n2)，CD的方程为y10m)，化简得mx ny 4

24、圆心O到直线CD的距离dr，所以直线CD与圆O相切.14例4、解：(1):依题意：c=1,贝V： a2b21,2 2 设椭圆方程为： x yb21 b2将P(0,1)点坐标代入，解得：b2 1所以 a2 b2 11 12故椭圆方程为:(2)设所求切线的方程为：y kx my2 x 2kx m消除y2 '(2 k 1) x2 24kmx (2m2)1 (4km )24(2k21)(2m22)m2 2k21化简得:同理：联立直线方程和抛物线的方程得:y kx my2 4x消除y得：k2x2 (2km 4)x m202 2km 42 4k2m2 0化简得：km 1将代入解得：2 k4 k21

25、0解得：k2 -,k21舍去，故k二或者k 2 2 2当k 1时，m 2,当k 1时，m 2巧F2_故切线方程为：y x 、.2或者y- x . 2229分10分12分14分变式1、解：1证明：将2 y b21，消去X，得(a2 b2)y2 2b2yb2(1a2)由直线I与椭圆相交于两个不同的点,422-4b 4b (a b )(1 a )4a2b2(a2b2 1)0所以a2 b21(2)解：设 A(x1, y1)，B(X2, y2)由,y1y22b2a2 b2，y1 y2b2(1a2)a2 b2因为AF2FB,得y12y2所以,y12b272 口y2，yyb2(1 a2)a2 b222y2消

26、去y，得b2(1 a2)a2 b22(-)2化简，得(a2b2)(a2I)8b21i分因F是椭圆的一个焦点，那么c=i, b2=a2i代入式，解得a29b2-1Q Zk13分2，2所以，椭圆的方程为2x22y2i 1 4 分97例5、解析(i)依题意d -0 c 23逅解得c i (负根舍去)2抛物线C的方程为X24y ；(2)设点 A(Xi, yi), B(x2, y2) , P(xo,y°),2 1 2 1由 x 4y,即 y x ,得 y x. ks5u42抛物线C在点A处的切线PA的方程为yyiXi),Xi12x yi Xi .222Xiyi 4xi, y 7x yi .点

27、P(xo, y°)在切线 h上，- y°x° yi .2同理，yo x2 xo y2.2x综合、得，点 A(Xi, yi), B(X2, y2)的坐标都满足方程y。 一 x。 y.2经过A(xi, %)月(冷，y2)两点的直线是唯一的，x直线AB的方程为y0 x0y，即xox2y2y00 ；2(3)由抛物线的定义可知AFyi i, BF y2i ,所以 AF BFyi i y2 iyi y2 y,y2 i4y2y2yoy1y22xo2yo,1 *yo2o联立YiY2AFBF2yox2消去X得y22yo2yo x(? 1=yo 2yo2 y02Xoyo=2yo2y&

28、#176;+5=221 9yo+2 2当yoAF BF取得最小值为变式1、(1)解：设点P x, y ,依题意,X ,2y2x 2闷2整理，得4所以动点P的轨迹C的方程为1.(2)解：点E与点F关于原点O对称,点E的坐标为 、,2,o ./ M、N是直线丨上的两个点,N .2, y2 (不妨设可设 M 2 .2, % ,/ eMjfN o,- 3迈 yj .2,Y2即 6y1y20 .即y2y1由于 y2，那么y1y1 y26y1 *y2o.26 .当且仅当比.、6 , y2V6时，等号成立.故MN的最小值为2J6.变式2、解析：I由y X2可得，y 2x .直线PM与曲线T0相切，且过点P1

29、, 1 , 2为2X1Xi'2，或为12,同理可得：x22，或 X212X1X?，X1X2n由I知,X1X22, X1X21，那么直线MN的斜率ky1 y22X12X2x1X2X1X2X1x2 , -6 分直线M的方程为:X1 X2XX1)，又 y12X1 , y X2 (X1X2)Xx1 x1x2，即 2x y点P到直线MN的距离即为圆E的半径，即|2 1 1|4、厂 '一 521664故圆E的面积为S 4 r2455|bd1川四边形 ABCD的面积为S - AC2不妨设圆心E到直线AC的距离为d1，垂足为E1 ；圆心E到直线BD的距离为d2,垂足为E2 ;AC2 . r2d

30、12, BD2 , r2 d2,10EE1OE2d12dfOE2(120) ( 10)2 211所以(BD2 .'r2 dl 'r2 d；,2 x 2小 2z ,2d2) 2r (d1d|)2222 ，当且仅当d1d2时等号成立14例 6、(1)解：依题意可得，A( 1 , 0)、B(1 , 0),b=2.所以双曲设双曲线C的方程为x2 £ = 1(b>0)，因为双曲线的离心率为.5 ,所以 厂尸、5，b21线C的方程为x2证法1:设点程为 y=k(x+1).y = k(x +1)联立方程组2,2 y dx += 142£=1.4P(X1, y1) , T(X2, y2) , (xi>0 , yi>0 , i=1 , 2)，直线 AP的斜率为 k(k>0)4分,那么直线AP的方整理，得(4+k 2)x 2+2k2x+k2 4=0,解得 x= 1 或,2X=±A.所以4+k2_ 4 k2X2 = 4+k2，同理可得，洛=,4 k2-8分y1) , T(X2, y2) , (Xi>0,所以X1 x 2 =1.证法2:设点P(x 1,yi>0, i=1 , 2)，那么kAP十X1 +1，kATy?x2 +1因为kAF= k AT,所以y2x1