数学分析(2)复习题

1、数学分析(2)复习题2021-06第八章不定积分1. 利用换元法求以下不定积分、,(x a)(bx)dx (a b).dxd x(1) ; (2) 2 ;1 si nxxjx 12. 利用分部积分法求以下不定积分(1) ln(x .1 x2 2仮)d x; (2) arcsindx; (3)1 xarcta nxxe(1dx.22x )23.求不定积分Idx1 x22x2xdx. x第九章定积分11 求极限lim 1n nx cosn2x cos ncos"n(x R)参考：P207习题2f在a,b上可积2用可积准那么证明：假设 f(x)为a,b上的连续函数，那么参考：P209-P2

2、11可积类的证明3. 证明Riemann函数(见P211)是可积的。 参考：P211例3b4. 设f为a , b上的非负连续函数，证明：如果f (x)dx 0，那么af (x)0,x a,b。参考：P217例 2sin2 x0 ln(1 t)dt5. 求极限lim -0. 参考：P229习题1和3X 041 x 16. 设f是连续函数。证明o xf(sin x)dx § q f (sin x)dx并利用这一结果计算定积Ixsinx dx.参考：P230习题乙答案：一01 cos x417.设f(x)在0,a上可导，且n x a n n e0f(x)dx1f (a) (-a)n证明：(

3、0,a)使f()f ()08.假设f在a,b上连续增，F(x)1Xx a af(t)dt,x (a,bf (a),x a证明F为a,b上的增函数.参考：P237习题2第十章定积分的应用9求心形线r a(1 cos )的全长与它所围图形的面积.2 2 210.求椭球面 笃 每 务 1所围的椭球体的体积参见：P244例2a b c2 211 求椭圆X2 y2 1绕y轴旋转所得的旋转曲面的外表积.参见： P254例1 a b12. 一根长为I的均匀细杆，质量为 M，在其中垂线上相距细杆为 a处有一质量为m的质点.试求细杆对质点的万有引力.参见： P256例2 第十一章反常积分1 dx13.讨论瑕积分

4、-是否收敛？参见：P269习题2 ( 8)0 x(ln 対14.讨论反常积分-dx的收敛性.x参见:P278 例 215. 讨论反常积分e xlnxdx的收敛性.参见：P279习题3 (8)01n16. 计算瑕积分ln x dx (其中n为正整数)的值.参见： P279习题4 (1)17.设 I1x21 x4dx ,(1)证明A收敛;2证明I1 I2，并求丨1的值提示:I12(I112.答案：2.2第十二章至第十五章级数18.判别下面正项级的收敛性(1)n 133 sin (n 1)；2n(2)19.级数1)20.设正项数列21 .讨论级数122.23.24.25.26.丄)n2 、n3 2n

5、n2 ln(1(3)n 3 n(In n )(ln In n)Inan是条件收敛，还是绝对收敛。单调减少，且级数答案：分情况讨论,假设级数假设级数证明n求级数求级数把函数n1) an发散，证明1n 1 (1 an)n收敛。Cn1只有当2anan收敛，证明与 bnn 1收敛。参见:1x1 n(n 1)R的收敛性。1时收敛a；和an n 1 n pP1都绝对收敛。2都收敛且有anCnbn(n 1,2,),P25习题2n的收敛域与其和函数。1的收敛域与其和函数。2展开为关于X的幕级数并指出收敛域。1 x 2X227.将函数f(x)arcta11展开为x幕级数并指出收敛域。x28.把函数0 Tdt展开

6、为关于x的幕级数并指出收敛域。0, 1x 429.把函数f(x)1丄x 2展开为Fourier级数并指出收敛性。0,2 x130.把函数f(x)x (0 x展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数、口1112证明'22"。1358第十六章至第十七章多元微分学31. 证明：当且仅当存在各点互不相同的点列Po是E的聚点。参见P92习题332. 讨论二元函数PnE , Pn Po , lim PnR 时,n2 2x y x y f(x, y)x y在点0,0的二重极限与两个二次极限。参见P98例733. 讨论二元函数1,0 y x2f x, y卄宀0,其它在点0,0的二重极限、二次

7、极限、偏导数与沿任意方向的方向导数。注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。参见P95例4等34.证明:f(x,y)2 2x y2 2x y0(x y ) 20 ,2 2x y0在点0,0处连续且偏导数存在，但不可微。35.证明函数f(x,y)0,x2x236.37.在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在(0,0)不连续,而f在(0,0)可微.参见:参见:P117习题7fS) ，其中f为可微函数，求y zP123习题1u(x, y)可微，在极坐标变换 x r cos,yr sin下，求2u 的表达式。参见：P120例2y38.设函数f(x, y)在点(1,1)处可微，且f (1,1)1,fx(1,1)2, y3,(1,1)d 3(x) f(x, f (x, x)，求丁 (x).