数据波动易错点剖析

1、统计中的常见错解例如、概念理解不透造成错解例1.下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表，分数708090100人数13x1该小组本次数学测验的平均分是85分，那么测验成绩的众数是 A.80分B.85 分 C.90 分D.80 分或90分错解：选B.根据该小组本次数学测验的平均分是 85分，得70 X 1+80 X 3+90X x+100 X 仁85 X 1+3+x+l,解得 x=3.由于 80 分出现了 3次，90分也出现了 3次，所以这组数据的众数是 1 80+90=85分.2故此题答案选B.错解分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据.假设一组数据中，假设干个数据出现的次数相同，并且比其

2、他数据出现的次数都多， 那么这假设干个数据都是这组数据的众数.由此可见，一组数据中可以有不止一个众数.所以这组数据的众数是80分或90分，故应选D.造成这一错解的原因是：对众数的概念理解不透，并误用求平均数的方 法来求众数.正解：选D.根据题意，如同前面所解，得 x=3,所以在这组数据 中80分出现了 3次，90分出现了 3次，次数最多，所以该组数据的 众数是80分或90分.故答案应选D.例2. 一组数据的方差为s2，将这组数据中每个数据都除以3,所得新数据的方差是A. 1s2 B.2s 2 C.32s2 D.4s 29错解：选A.错解分析：错误的原因是由于对方差的概念没有深刻理解，误认 为只

3、要把原数据的方差也除以3就可得到新数据的方差.事实上，样本中各数据与样本平均数差的平方的平均数才叫方差 .通过相关计算 可得，新数据的方差应是 1s2.9正解：选C.设原数据为X1,X 2,x n,其平均数为X，方差为S2.根 据题意，那么新数据为1X1,丄乂2,1Xn,其平均数为1 X.根据方差的定义3333可知，新数据的方差为：S ' 2= 1 ( 1 X1 - 1 X )2+( 1 X2- 1 X )2+ +( 1 Xn- 1 M )2=丄 X n33333391( X 1- X) 2+( X 2-X)2+( X n- X) 2= 1S2.所以，此题答案应选 C.n9例3.在一次

4、数学测试中，某班2 5名男生的平均成绩是86分，23名女生的平均成绩是82分.求这些学生的平均成绩(结果精确到 0.01 分)错解：平均成绩为x= 心2 = 84 (分).2错解分析：错解在求平均数时，混淆了算术平均数与加权平均数 的计算公式.当数据中有些数据是重复的，要使用加权平均数公式计正解：平均成绩为x = 86-25 8223 84.08(分)48例4.假设组数据 x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x5的平均数为2,那么3xi 2,3x2 2,3X3 -2,3x4 -2,3 x 5 2的平均数为错解：数据3xi 2,3x2 2,3x3 - 2,3x 4 2,3X52的平均数仍为

5、2.答案：2错解分析：设原数据X 1,X2 X3,X4,X5，X n的平均数 为x .直接代入平均数公式计算，可知新数据 mx 1+k, mx 2 +k, mX 3+k,，mxn+k 的平均数为 m x +k。正解：数3xi 2, 3x2 2, 3x3 2, 3x4 2, 3x5 2 的平均数=4.答案：4例5.求一组数据7,9,5,3,2,4,927,8的中位数.错解：由于该组数据正中间的数是2,4,所以中位数为乙，=3.2错解分析： 根据中位数的定义知，在求一组数据的中位数时，应先按大小顺序排列数据.然后观察数据的个数，假设数据的个数为奇数，那么 最中间的就是中位数；假设数据的个数为偶数，

6、那么中间两个数据的平均数即为中 位数.错解错在没有将原数据按大小顺序进行排列就进行了判断.正解：先将这组数据按从小到大顺序排列22,3,4,5,7,7,8,9,9.正中间有两个数，分别是5和7,而它们的平均数是6,所以此组数据的 中位数是6.例6.某乡镇企业生产部有技术工人15人.生产部为了合理制定工人的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数如表加工零件数540450300240210120人数112632(1) 写出这15人该月加工零件数的平均数、中位数和众数. 假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260,分析这个定额是否合理？为什么？错解：(1)计算可知：平均数为260.中

7、位数为240.众数为240.(2) 合理.因为平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，表达了这组数据的集中趋势.错解分析：第(1)题解答正确.第(2)题解得不对，原因在于，每月 能完成260件的人一共是4人，还有11人不能到达此定额.尽管260 是平均数，但假设将其作为生产定额，不利于调动多数工人的积极性 .正解：(1)同错解；(2)假设生产部负责人把每位工人的月加工零件 数定为240件，比拟合理，因为240既是中位数，又是众数，大多数 人都能完成生产定额，有利于调动多数工人的积极性.二、未作分类讨论造成漏解例7. 一组数据5,7,7,x的中位数与平均数相等，求x的值. 错解：由于平均数为5

8、7 7 x ,而中位数为 乙丄=7,42所以5 7 7 x =7，解得x=9.4错解分析：错解的错误在于习惯性地认为该组数据是从小到大排列的事实上,x的大小可分三种情况：x < 5;5VX< 7;x>7.从而可知此题的中位数是不确定的，要分类讨论正解：当x < 5时，中位数为6,此时丄丄 匚弋=6,解得x=5; 4当5<x< 7时，中位数为，此时5 7 7 x =,解得x=5,不符合题242意,舍去;当x>7时，中位数为7,此时5 7 7 x =7,解得x=9. 4综上可知,x=5或x=9.例8. 一组数据-1,035,的极差是7,那么x的值可能有()

9、A.1 个 B.2 个 C.4个D.6 个错解：选A.根据题意，由x- (-1 ) =7,解得x=6，所以x的值有1个，故答案选A.错解分析：根据极差的定义知，数据中最大数据与最小数据的差叫做极差.因为-1,0,3,5四个数中，最小数为-1，最大数为5,它们的差是6.而题目中的极差为7,所以x可能是这组数据的最大数，或是最小数.错解中丧失了解.此题必须进行分类讨论才能求得正确答 案.正解：选B.根据极差的定义，对数据中的x的大小必须分两种情 况来讨论： 当x为这组数据中的最大数时，-1就为其最小数，那么有x-(-1)=7,解得 x=6. 当x为这组数据中的最小数时，5就为其最大数，那么有5-x

10、=7,解得x=-2.综上所述，x可取两个值：-2或6.故答案应选B.二、因审题不仔细、考虑问题不周全造成错解例9.有m个数的平均数为x, n个数的平均数为y，那么m+r个 数的平均数是A x y b x y c mx ny d my nx2m nm nm n错解一：选A.由题意可知，这是求 x与y的平均数，所以它们 的平均数是.故答案选A.2错解二：选B.由题意可知，所求m+r个数的总和为x+y, 所以，其平均数为 3 .故答案选B.m n错解分析：以上两个错解都是由于审题不仔细、考虑问题不周全 所造成的.错解一是误认为求 x,y的平均数，由此把样本容量当作2,把x+y 当作了样本总量.错解二

11、虽然确定样本容量为m+r,判断正确，但误将x+y 当作样本总量，而此时的样本总量应为mx+ny, 所以，它们的平均数是咏旦.m n正解：选C例10.甲、乙两工人生产直径为 40mm的同一种零件.现各抽取两 人加工的5个零件，量得尺寸如下单位：mm:甲：42,41,40,39,38乙: 40.5,40.1,40,39.9,39.5问哪位工人生产的零件质量较好？错解：甲、乙两工人生产的零件尺寸的平均数分别为：x甲=-X42+41+40+39+38 =40,5x乙=1 X 40.5+40.1+40+39.9+39.5 =40.所以，两工人生产的零件质5量一样好.错解分析：错解是由于掌握知识不全面，考虑问题不周全造成的.分析数据不应该只从平均数上分析，还应该知道利用方差、极差来解 决问题.极差、方差都可以反映数据的波动情况，由计算可知工人乙 的极差、方差都比工人甲的小，所以工人乙生产的零件质量较好正解：x甲=1 X( 42+41+40+39+38) =40,甲的极差是 42-38=4.5s 甲2=丄 X (42-40 ) 2+ (41-40 ) 2+ (40-40 ) 2+ (39-40 ) 2+ (38-40 )52=2.X乙二1 X( 4